用“數(shù)”開(kāi)好頭，為“式”鋪平路

文／浦?jǐn)⒌?/p>

初中代數(shù)板塊有“數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)”五個(gè)主題。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)之間有內(nèi)在的邏輯，所以，我們最先學(xué)習(xí)的是數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)的學(xué)習(xí)主要以正數(shù)和0 為研究對(duì)象，到了初中引進(jìn)“負(fù)數(shù)”的概念。正數(shù)、0、負(fù)數(shù)組成有理數(shù)，完成初中代數(shù)的第一次飛越；再到“字母表示數(shù)”，從特殊的數(shù)走向一般的式，便產(chǎn)生了代數(shù)式，完成了初中代數(shù)的第二次飛越。本章的主要內(nèi)容是實(shí)數(shù)，可以清晰看出初中關(guān)于數(shù)的學(xué)習(xí)沿著“負(fù)數(shù)→有理數(shù)→無(wú)理數(shù)→實(shí)數(shù)”這一路徑發(fā)展。

一、核心知識(shí)及其關(guān)聯(lián)

本章共有4 小節(jié)內(nèi)容，分別介紹了平方根（算術(shù)平方根）、立方根、實(shí)數(shù)、近似數(shù)等知識(shí)，內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，但知識(shí)背后的內(nèi)涵還是非常豐富的。在七年級(jí)的有理數(shù)學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)邊長(zhǎng)為1 的兩個(gè)正方形的分割，形成對(duì)拼接成一個(gè)新正方形邊長(zhǎng)的探究，得到了其邊長(zhǎng)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，即無(wú)理數(shù)的結(jié)論。事實(shí)上，對(duì)2 進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算求平方根，求得的結(jié)果是±，而是2的算術(shù)平方根。回顧前面有理數(shù)的運(yùn)算，有加、減、乘、除、乘方五種，其中加、減是互逆運(yùn)算，乘、除是互逆運(yùn)算，那么乘方必定也會(huì)存在一個(gè)互逆運(yùn)算，這就是本章的開(kāi)方運(yùn)算。這樣，加、減互逆，乘、除互逆，乘方、開(kāi)方互逆，六種運(yùn)算就完備了。于是，我們就可以得到圖1 的數(shù)系擴(kuò)充和圖2的運(yùn)算完備兩張關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖。

圖2

二、研究數(shù)的基本路徑

任何一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究都有其基本路徑，數(shù)的研究也不例外。在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，我們首先明白了什么是有理數(shù)，認(rèn)識(shí)了有理數(shù)的性質(zhì)，對(duì)有理數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)，再在此基礎(chǔ)上研究有理數(shù)的運(yùn)算。在學(xué)習(xí)本章時(shí)，也是如此。我們先學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的概念，明白了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，有正負(fù)之分，在此基礎(chǔ)上，將實(shí)數(shù)按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)。如實(shí)數(shù)可以按照正負(fù)性分成正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)，也可以分成有理數(shù)、無(wú)理數(shù)。有理數(shù)又可以分成正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)，無(wú)理數(shù)可以分成正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)。在分類(lèi)的基礎(chǔ)上，我們可以對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算，并且發(fā)現(xiàn)運(yùn)算的結(jié)果還是一個(gè)實(shí)數(shù)。因?yàn)閷?shí)數(shù)中有無(wú)理數(shù)，所以有時(shí)我們不需要精確的結(jié)果，于是在本章的最后我們還學(xué)習(xí)了近似數(shù)。

三、數(shù)式通性凸顯本質(zhì)

初中代數(shù)五大主題，數(shù)是第一個(gè)頂峰，可以說(shuō)開(kāi)了一個(gè)好頭。但初中代數(shù)研究的重點(diǎn)在于式，方程、不等式、函數(shù)都可以看成是式的應(yīng)用。數(shù)與式之間又構(gòu)成了特殊與一般的關(guān)系，數(shù)為式的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，指明了方向。

例如，由數(shù)的分類(lèi)到式的分類(lèi)。有理數(shù)可以分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，有理式就分成整式（單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）和分式（下學(xué)期學(xué)習(xí)）；實(shí)數(shù)分成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)，代數(shù)式可以分為有理式與無(wú)理式（下學(xué)期學(xué)習(xí)）等。又如，由數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算。整式的加減，就是合并同類(lèi)項(xiàng)，法則是“把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變”，本質(zhì)是把整式的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化成數(shù)的加減運(yùn)算；單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則是“把系數(shù)相乘，相同字母的指數(shù)相加，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母連同它的指數(shù)作為積中的一個(gè)因式”，本質(zhì)是把單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化成系數(shù)的乘法和指數(shù)的加法運(yùn)算，等等。可見(jiàn)，數(shù)與式的本質(zhì)是相同的，這就是常說(shuō)的數(shù)式通性，數(shù)學(xué)上通常把研究未知的式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究已知的數(shù)的問(wèn)題來(lái)解決。

通過(guò)以上分析，我們可以體會(huì)到，數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有先后邏輯關(guān)系的，知識(shí)之間又是相互關(guān)聯(lián)的，前面知識(shí)的學(xué)習(xí)為后面未知知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)千萬(wàn)不要因?yàn)榍懊嬷R(shí)簡(jiǎn)單而馬虎，也不要只學(xué)習(xí)知識(shí)的表象，要多從聯(lián)系、整體的視角來(lái)認(rèn)識(shí)知識(shí)以及知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。只有這樣，我們才能學(xué)到數(shù)學(xué)的精華，并且找到學(xué)好數(shù)學(xué)的最佳路徑。