勾股定理的“副產品”
——開不盡方的數

嚴格 整理

在學習過“勾股定理”之后，同學們了解了直角三角形三條邊的關系，知道了已知直角三角形兩條邊的長就可以求出第三條邊的長，并且認識了3、4、5，5、12、13，7、24、25 這樣的勾股數。但是在完成一些習題時，我們還是會遇到一些困難。例如，已知直角三角形一條直角邊的長為3，一條斜邊的長為4，求另一條直角邊的長。在學習過“實數”之后，同學們才能知道該三角形的另一條直角邊的長為，它是一個無理數！

無理數的發現可以追溯到古希臘的畢達哥拉斯學派。在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的數學家們致力于研究數的本質和性質。他們相信世界上的一切事物都可以用整數（或整數的比值）來表示。

然而，畢達哥拉斯學派的數學家希帕索斯發現了一個問題，即無法用有理數表示某些數，例如。可以看成是邊長為1 的正方形的對角線，而沒有任何整數或整數的比可以準確地表示它。這個發現違背了他們的數學信念，對當時的畢達哥拉斯學派產生了巨大的沖擊。

無理數的發現引發了第一次數學危機。但是后來越來越多像這樣的數被發現，希帕索斯的理論也逐漸被古希臘數學家們所接受，西方世界也開始了對無理數的研究。不過實數的概念并沒有在古代得到完整的發展和系統化。直到17 世紀，人們才開始對實數進行更深入的系統研究。