漫談無理數(shù)的“那些事”

文／江蘇省無錫市梅里中學(xué) 朱嘉穎

數(shù)學(xué)源于對(duì)真實(shí)問題的思考，離不開善于觀察的慧眼。數(shù)從自然數(shù)走向小數(shù)，從正數(shù)走向負(fù)數(shù)，從有理數(shù)走向?qū)崝?shù)的漫長(zhǎng)過程中，我們與無理數(shù)相遇了。

無理數(shù)的“真面目”

我們知道，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。我們還能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點(diǎn)。比如，我們可以在數(shù)軸上方畫一個(gè)Rt△ABC，點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在數(shù)軸1 的位置，AB=BC=1。在Rt△ABC中，AC2=2，AC=。以原點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)即為所求的（如圖1）。

圖1

觀察數(shù)軸，我們可以發(fā)現(xiàn)1＜＜2，那么到底是多少呢？我們可以通過不斷嘗試大于1 且小于2 的數(shù)，逐漸接近的精確值。在數(shù)學(xué)中，不斷縮小取值范圍可以通過“二分法”實(shí)現(xiàn)。我們先取1 與2 的中間值1.5，因?yàn)?.52=2.25＞2，所以1＜＜1.5。接著試1 與1.5 的中間值1.25，因?yàn)?.252=1.5625＜2，所以1.25＜＜1.5。為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，我們不妨嘗試計(jì)算1.3，因?yàn)?.32=1.69＜2，所以1.3＜＜1.5。接下來我們嘗試1.4，因?yàn)?.42=1.96＜2，所以1.4＜＜1.5。以此類推，的取值范圍不斷精確，最后，我們可以推得≈1.414。如果有興趣的話，你可以繼續(xù)用“二分法”來嘗試確定、的大小。

無理數(shù)“PK記”

既然無法精確表示無理數(shù)的值，我們?cè)撊绾伪容^無理數(shù)的大小？如和。

取中間值法、平方法、數(shù)軸法，我們可以從“數(shù)與形”兩個(gè)角度，比較兩個(gè)無理數(shù)的大小。

無理數(shù)的“分割術(shù)”

方法二，用“形”：在數(shù)軸上把表示3 的點(diǎn)畫出來。我們知道3 無法表示為一個(gè)兩條直角邊都是正整數(shù)的直角三角形的斜邊，所以我們只能逆向思維，表示為一個(gè)一條直角邊為1、斜邊為2 的直角三角形的另一條直角邊。如圖2，AB=1，用圓規(guī)在數(shù)軸上截取AC=2，則BC=。觀察可知，的整數(shù)部分是1，則小數(shù)部分是-1。

圖2

顯然用“數(shù)”的方法，我們可以更快地將無理數(shù)進(jìn)行“分割”。

無理數(shù)的“應(yīng)用界”

當(dāng)然，無理數(shù)還有很多的妙用。在數(shù)學(xué)中，我們可以在方格紙中畫一個(gè)三條邊長(zhǎng)都是無理數(shù)的三角形；在生活中，普遍應(yīng)用于藝術(shù)設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)等領(lǐng)域的黃金分割比也是個(gè)無理數(shù)……

我相信，只要我們擁有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，一定可以發(fā)現(xiàn)更多與無理數(shù)相關(guān)的“故事”。

教師點(diǎn)評(píng)：

小作者用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從有好奇心走向數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而分析問題、解決問題。我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于好奇，精于思考，成于堅(jiān)持。讓我們像科學(xué)家一樣思考，不斷提高自己的數(shù)學(xué)思維能力。