深挖教材 提煉方法 培養(yǎng)思維
——淺談初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想

陳友杰

(福建省閩清縣第二中學(xué),福建 福州 350811)

在初中數(shù)學(xué)解題中,解題方式較為靈活,一道習(xí)題可能會(huì)有多種解題方式,不同類型的題目也可能有著相同的解題思路.在數(shù)學(xué)問題解決中,教師應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)思想的應(yīng)用.分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一,廣泛用于學(xué)習(xí)與生活,可完善學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系,鍛煉學(xué)生思維能力及邏輯能力.同時(shí),借助分類討論思想,幫助學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),深入探究數(shù)學(xué)知識(shí)規(guī)律,簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生切實(shí)做到舉一反三.

1 初中數(shù)學(xué)教材中分類討論思想內(nèi)容分析

在初中數(shù)學(xué)教材中,包含很多分類討論思想內(nèi)容,要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,體會(huì)分類討論思想,做出歸納和總結(jié),以此,完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu),體會(huì)分類討論思想在解題中的運(yùn)用.初中數(shù)學(xué)各階段分類討論思想內(nèi)容如表1所示.

對(duì)于初中階段的學(xué)生來說,剛剛系統(tǒng)化地接觸分類討論思想,想要深入發(fā)掘教材中的分類討論思想,需要了解分類的原則與步驟,嘗試自主分類,明確分類思路,為數(shù)學(xué)問題解決做出知識(shí)遷移準(zhǔn)備[1].

表1 初中數(shù)學(xué)教材分類討論內(nèi)容表

2 分類討論思想的應(yīng)用原則

2.1 同一性原則

在初中數(shù)學(xué)解題中,分類討論應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),對(duì)對(duì)象做出合理的分類.需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,分類思想應(yīng)用的前提是有著明確的研究對(duì)象,只有準(zhǔn)確把握對(duì)象特征,才能夠靈活利用,圍繞同一性進(jìn)行分類,避免出現(xiàn)不同組對(duì)象產(chǎn)生屬性交集.

2.2 層次性原則

針對(duì)多次分類問題,需要準(zhǔn)確把握層次性原則,結(jié)合概念的差異做好研究對(duì)象分類.在整個(gè)分類過程中,應(yīng)當(dāng)做到全面考慮,避免忽略對(duì)象的某個(gè)屬性,導(dǎo)致出現(xiàn)分類錯(cuò)誤.

3 初中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用策略

3.1 利用分類討論思想解決方程問題

例1 某商場(chǎng)準(zhǔn)確購(gòu)進(jìn)A、B、C三種型號(hào)的電視機(jī),A型號(hào)電視機(jī)每臺(tái)進(jìn)價(jià)為1 500元,B型號(hào)電視機(jī)每臺(tái)進(jìn)價(jià)為2 100元,C型號(hào)電視機(jī)每臺(tái)進(jìn)價(jià)為2 500元,如果商場(chǎng)準(zhǔn)備使用90 000元購(gòu)進(jìn)三種型號(hào)的電視機(jī)50臺(tái),那么進(jìn)貨方案有幾種?

分析通過對(duì)題目條件進(jìn)行分析,利用方程不能夠直接得出結(jié)果,而且A、B、C三種電視機(jī)的數(shù)量都是變量,因此,需要對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用分類討論思想進(jìn)行解題.

當(dāng)z=3時(shí),得出y=20,x=27;

當(dāng)z=6時(shí),得出y=15,x=29;

當(dāng)z=9時(shí),得出y=10,x=31;

當(dāng)z=12時(shí),得出y=5,x=33;

答:商場(chǎng)可以有四種進(jìn)貨方案.

3.2 利用分類討論思想解決函數(shù)問題

函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)中的常見題型,主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等,作為考試中常見的題型,是初中數(shù)學(xué)解題中的重點(diǎn)和難點(diǎn).因此,作為初中數(shù)學(xué)教師,需要有效利用分類討論思想,引導(dǎo)學(xué)生解決函數(shù)問題.

(1)求解拋物線的解析式;

(2)用含有m的式子表示C、D的坐標(biāo);

(3)如果△ACD為等腰三角形,求解所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

圖1 例2題圖

(3)根據(jù)題意,得出B(m,0),

在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2=4m2-8m+5.

在P點(diǎn)坐標(biāo)求解時(shí),可以分三種情況進(jìn)行討論.

3.3 利用分類討論思想解決幾何問題

在初中幾何問題教學(xué)中,教師可以巧妙引入分類討論思想,引導(dǎo)學(xué)生思考問題,明確解題思路.如直線與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的邊角關(guān)系以及直角三角形的邊角關(guān)系等,可以巧妙利用分類討論思想,完成幾何問題的解題.

例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,點(diǎn)D、E分別為BC、AB的中點(diǎn),將△BDE圍繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后D、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D′、E′,當(dāng)直線D′E′經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),線段CD′的長(zhǎng)是____.

分析此題解題時(shí)分兩種情況,當(dāng)A點(diǎn)在E′D′的延長(zhǎng)線上以及A點(diǎn)在線段D′E′的延長(zhǎng)線上,通過分類討論,求解出BD的長(zhǎng)度,完成解題.

圖2 例3題圖(a)

解如圖2所示,當(dāng)A點(diǎn)在E′D′的延長(zhǎng)線上時(shí),

∵∠C=90°,AC=2,BC=4,

∵點(diǎn)D、E分別為BC、AB的中點(diǎn),

∴∠EDB=∠ACB=90°,

∵將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),

∴∠BD′E′=∠BDE=90°,D′E′=DE=1,BD=BD′=2,

∵Rt△ABC和Rt△BAD′中,D′B=AC=2,AB=BA,

∴Rt△ABC≌Rt△BAD′,

∴四邊形ACBD′為平行四邊形,且∠ACB=90°,

∴四邊形ACBD′是矩形,

如圖3所示,當(dāng)點(diǎn)A在線段D′E′的延長(zhǎng)線上時(shí),

∵∠AD′B=90°,

∴根據(jù)勾股定理得出AD′=4,

∴AE′=AD′-D′E′=3,

∵將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),∴∠ABC=∠E′BD′,

圖3 例3題圖(b)