立體彎折線纜線束電磁耦合分析的時域混合算法

葉志紅 魯唱唱 張 玉

(重慶郵電大學通信與信息工程學院 重慶 400065)

1 引言

隨著電子系統工作頻率的不斷提高，各類設備的高度集成化致使線纜必須壓縮敷設空間，使得立體彎折線纜線束(Bent and Stereoscopic Configurations, BSCs)成為電子系統中常見的一種線纜形態。空間強電磁騷擾源作用到電子系統中的彎折線纜線束，將耦合產生干擾信號并傳播至端接敏感設備，造成設備工作信號失真、誤碼等故障。因此，針對立體彎折線纜線束的電磁耦合，開展高效時域建模分析方法研究，可為電子系統的電磁防護設計提供理論依據。

為了簡化線纜線束的電磁干擾建模與分析過程，國內外學者提出了線束等效建模方法(Equivalent Cable Bundle Method, ECBM)[1-3]。該方法通過比較復雜線束終端阻抗與其特征阻抗的大小關系，將復雜線束等效成不超過4根導線的簡化模型，并利用多導體傳輸線理論獲得線束簡化模型的橫截面結構參數和終端等效負載。一些學者在ECBM方法的基礎上，與時域有限差分(Finite Difference Time Domain, FDTD)方法等數值算法相結合，應用于汽車等領域的線纜線束開展串擾與輻射敏感度的預測研究[4]。雖然ECBM大大降低了線纜線束的建模復雜度，但是已知線束端接負載大小是使用ECBM方法的必備條件，而在實際工程中，線束端接負載難以直接獲得。另外，尚未見ECBM用于彎折線纜線束電磁耦合計算的研究報道。

根據彎折線束的結構特點，可將其看成由多段子線束組成的傳輸線網絡。目前，針對傳輸線網絡的電磁耦合，國內外學者已開展了大量的研究，提出了Baum-Liu-Tesche(BLT)方程方法[5-8]、FDTDSPICE (Finite Difference Time Domain-Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)算法[9-11]和FDTD-TL (Finite Difference Time Domain Transmission Line)算法[12,13]等多類高效的場線耦合計算方法。BLT方程方法基于電磁拓撲理論，將干擾源作用傳輸線網絡的耦合過程抽象為節點和管道的形式，并求解節點和管道對應的散射矩陣與傳輸矩陣，構建干擾源與傳輸線網絡端接負載響應之間的關系矩陣方程，進而通過矩陣運算求得端接負載的電壓電流響應。然而，當干擾源為寬頻帶信號時，BLT方程需要進行多次重復求解，在傳輸線網絡規模龐大時，計算效率低下。此時，時域數值算法更具優勢。FDTD-SPICE和FDTD-TL是現階段應用最為廣泛的兩類場線耦合時域算法。FDTDSPICE根據傳輸線分布參數理論，構建傳輸線網絡的SPICE等效電路模型，并使用FDTD方法[14]計算傳輸線網絡激勵場，引入SPICE等效電路作為分布源項，進而通過SPICE軟件仿真求得端接負載瞬態響應。然而，該方法構建SPICE等效電路模型的過程涉及大量理論推導，復雜度高，而且空間電磁場輻射與負載瞬態響應不能同步完成計算，當干擾源持續時間較長時，計算效率不高。相較于FDTDSPICE, FDTD-TL的優勢在于實現了干擾源空間輻射場和傳輸線沿線各點及其端接負載瞬態響應的同步計算，大大提高了場線耦合計算效率。

因此，一些學者將FDTD-TL算法擴展應用于彎折單導線網絡[15]和彎折多導線網絡[16,17]的場線耦合計算研究。文獻[15]首先按照FDTD網格劃分計算區域，并將彎折單導線網絡的連接節點平移至其所在FDTD網格的中線位置，進而以FDTD網格為基準均勻劃分單導線網絡。然后將彎折單導線網絡分解成多段獨立的斜置單導線，使用FDTD-TL快速計算各段單導線的電壓電流響應，相鄰單導線的連接處使用諾頓定理構建等效電路，并使用電路分析方法求得各段單導線端口電壓，實現彎折單導線網絡的電磁耦合計算。文獻[16,17]同樣需要對彎折多導線網絡的連接節點進行平移，并以FDTD網格劃分多導線網絡。將彎折多導線網絡分解成多段獨立的多導線，研發FDTD-TL并行計算程序求得各段多導線的電壓電流響應，并應用電荷守恒實現各段多導線之間的數據交換，完成彎折多導線網絡的電磁耦合計算。這些文獻的研究需要對彎折線束進行位置平移，當彎折線束為空間任意變化的立體形態時，建模誤差將不容忽視。

因此，基于FDTD-TL算法，本文提出自適應線纜網格技術，并結合電荷守恒定律和高效插值技術，研究一種高效的時域算法，構建適用于任意長度和高度的立體彎折線束的電磁耦合模型，實現空間電磁場輻射與線束瞬態響應的快速同步計算。

2 時域混合算法理論

圖1為典型的空間電磁場作用立體彎折線纜線束的電磁耦合模型。線纜線束由多段獨立的子線束通過彎折節點連接形成網絡結構，而且各段子線束具有任意的長度、高度以及走線方向。線束兩端各導線通過電阻負載與接地面相連接。

時域混合算法實現空間電磁場作用彎折線束的場線耦合建模包括3個重要步驟：首先，將彎折線束整體結構按照彎折節點分解成多段獨立的子線束和彎折節點結構，并應用自適應線纜網格技術對各段子線束進行網格劃分。然后，根據傳輸線方程，結合插值技術，構建各段子線束的電磁耦合模型，并使用FDTD的中心差分格式對傳輸線方程進行求解，計算得到各段子線束上的瞬態電壓和電流響應。最后，根據電荷守恒定律，構建彎折節點的等效電路模型，并使用FDTD進行求解，獲得彎折節點處的電壓響應，并反饋給各段子線束作為邊界條件，實現各段子線束之間的干擾信號傳輸。

下面將從子線束的場線耦合建模和彎折節點的電磁耦合計算兩方面，詳細介紹該時域混合算法的實現過程。

2.1 子線束的場線耦合模型

一般情況下，線纜線束需貼近接地面布線，使得線束與接地面之間的距離小于激勵源對應最小波長，此時線束的輻射效應可以被忽略。因此，各段子線束的電磁耦合通過傳輸線方程表示為

其中，l表示子線束的走線方向。V(l,t)和I(l,t)分別為子線束的電壓和電流向量，L(l)和C(l)分別為子線束的單位長度電感和電容分布參數矩陣。VF(l,t)和IF(l,t)分別為等效分布電壓源項和電流源項，表示為

其中，ET(l,t)表示子線束垂直方向電場分量的沿線積分，EL(l,t)表示子線束沿線切向電場分量與接地面表面切向電場分量之差。這里，線束沿線方向和垂直方向的電場分量，通過FDTD方法對移除線束以后的接地板/屏蔽體進行建模并計算得到。ET(l,t)和EL(l,t)的具體表達式見文獻[12]。

根據傳輸線方程可知，各段子線束瞬態耦合響應的計算準確度取決于傳輸線方程的建模精度，而準確構建傳輸線方程關鍵在于精確計算線束的分布參數和等效分布源項。

如圖2所示，由于各段子線束在空間立體分布，將3維空間按照FDTD網格劃分以后，各段子線束的起點和終點在FDTD網格的位置是任意的。此時，若直接按照FDTD網格劃分子線束網格并抽樣對應的電壓和電流節點，必然造成各段子線束劃分的網格大小不一致。當最大網格與最小網格的比例過大時，容易造成迭代求解發散的問題。因此，研究了自適應的線纜網格技術，對于各段子線束根據自身實際長度，按照適配的整網格數劃分成多段均勻的線束單元。以其中一段子線束為例進行說明，若子線束長度為lc，按照整網格數M對子線束進行均勻網格劃分，M的選定只需讓網格大小lc/M滿足Courant穩定性條件即可。

各段子線束按照對應的網格劃分成多段線束單元以后，需要計算各段線束單元的單位長度分布參數和等效分布源項。

線束單元的單位長度電感參數矩陣可由經驗公式計算得到[18]，表示為

其中，hi和hj分別代表線束單元第i和 第j根導線的高度，dij表示第i根 和第j根導線之間的間距，ri和rj表示線束單元第i和第j根導線的半徑。μ0是真空磁導率。

線束單元單位長度電容參數矩陣可由單位長度電感和電容矩陣的關系式C=μ0ε0L-1計算得到。

根據式(3)和式(4)可知，計算線束單元的等效分布源項，需要獲得線束單元沿線方向和垂直方向的電場分量。由于線束單元的起點和終點可能位于FDTD網格的任意位置，無法由FDTD網格上的電場分量直接獲得，需采用插值技術進行處理。

對于線束單元的切向電場分量，需由E·el計算得到，其中E表示線束單元各導線中心位置的電場，el為線束單元各導線的單位方向矢量。如圖3所示，考慮到線束單元各導線的走線方向保持一致，可由線束單元任一導線的起點和終點坐標確定線束單元的方向矢量。各導線中心位置的電場E由Ex,Ey和Ez3個分量構成，每個電場分量由相鄰FDTD網格上的8個電場分量插值得到。這里以Ey為例，對應的插值公式為

圖3 線束切向電場分量的插值示意圖

其中，a, b和c分別表示線束單元中心點在FDTD網格x,y和z方向所占的比例因子。

對于線束單元的垂直電場分量，同樣需采用插值技術進行處理。如圖4所示，線束單元的高度是任意的，這將導致線束單元的起點和終點不在激勵場計算的FDTD元胞的場節點位置，此時鄰近線束的垂直電場分量需由相鄰FDTD網格上的8個電場分量插值得到，對應的插值公式為

圖4 線束垂直方向電場分量的插值示意圖

其中，α,β和γ分別為電場分量在FDTD網格x,y和z方向所占的比例因子。

對于積分路徑上的其他垂直電場分量，可以通過FDTD網格上的4個電場插值得到，如圖4所示，對應的插值公式可以表示為

將各段線束單元的沿線電場分量和垂直電場分量代入式(3)和式(4)，求得各段子線束對應的等效分布源項，完成傳輸線方程的構建。使用FDTD方法的中心差分格式離散傳輸線方程，即可獲得子線束上網格節點處的電壓和電流迭代公式，從而快速計算得到各段子線束沿線各點的電壓和電流響應。

2.2 彎折節點的電磁耦合計算

由于彎折線束節點處的電壓不滿足FDTD的中心差分格式，無法通過FDTD差分離散求解得到?？紤]到節點處的電壓在相鄰線束之間必須保持連續(見圖5)，分別對各段子線束在彎折節點處應用電荷守恒定律，可表示為

圖5 彎折節點電壓的計算格式

其中，I1和I2分別表示子線束1和子線束2上鄰近彎折節點的電流向量，V0和I0分別為彎折節點處的電壓向量和電流向量。將式(9)和式(10)相疊加，即可得到彎折節點電壓滿足的電荷守恒表達式為

對式(11)使用FDTD的中心差分格式進行離散，獲得彎折節點電壓的迭代公式為

3 數值驗證

采用時域混合算法，對理想導電板上和屏蔽機箱內立體彎折線束的電磁耦合進行數值仿真，并與電磁仿真軟件CST以及FDTD-SPICE的計算結果和耗用時間進行對比，驗證該算法的計算精度和效率。時域混合算法、CST和FDTD-SPICE均在聯想服務器(64GB內存，Intel Xeon 4210R CPU@2.4 GHz 2.39 GHz)上執行計算。

算例1 圖6為空間電磁場作用理想導電板上立體彎折線束的電磁耦合模型，導電板大小為Lc×Wc=1 m×1 m，厚度為1 cm。彎折線束由3段子線束組成，線束端口節點以及中間連接節點的物理坐標分別為#1(0.29, 0.3, 0.02) m, #2(0.3, 0.5, 0.023) m,#3(0.8, 0.5, 0.02) m和#4(0.81, 0.705, 0.017) m。線束包含5根導線，各導線在線束橫截面上的位置見圖6，各導線半徑r均為1 mm，相鄰導線之間間距d為3 mm。線束始端負載均為50 Ω的電阻，終端負載均為100Ω的電阻。平面波垂直照射彎折線束，波形為高斯脈沖，其中

圖6 理想導電板上彎折線束的電磁耦合模型

FDTD-SPICE, CST和時域混合算法計算得到的線束端接負載R2和R10上的電壓響應如圖7和圖8所示。可以看到，該算法在處理自由空間下彎折線束的電磁耦合問題時，能夠保持與CST全波仿真相同的計算精度。FDTD-SPICE在使用FDTD模擬空間電磁場時與時域混合算法保持相同網格精度，其計算結果與CST仿真結果之間誤差偏大。同時，表1給出了時域混合算法與CST和FDTD-SPICE計算所需網格量和時間的對比。由于CST最小剖分網格受到線束導線半徑的限制(這里設置為1 mm)，因此線束在CST中建模時剖分所需網格量較大。而時域混合算法與FDTD-SPICE無需對彎折線束結構進行精細建模，相較于CST，可以節省大量的剖分網格量和計算時間。與此同時，FDTD-SPICE的計算時間較多于時域混合算法，是因為該算法需要存儲FDTD計算的空間電磁場并由SPICE讀取構建等效分布源項，此過程所耗用的時間與FDTD迭代時間步數成正比。

表1 算例1的時域混合算法與CST和FDTD-SPICE所需網格量和計算時間

圖7 算例1的負載R2電壓響應

圖8 算例1的負載R10電壓響應

算例2 為了驗證該算法處理復雜電磁環境下彎折線束電磁耦合的有效性，將算例1中的線束模型放置于屏蔽機箱內，如圖9所示。屏蔽機箱的尺寸為Lc×Wc×Hc=1 m×1 m×0.6 m，厚度為1 cm。箱體上表面開有3條尺寸為ls×ws=0.3 m×0.04 m的縫隙。平面波垂直照射屏蔽機箱，極化方向與縫隙窄邊平行，波形同樣為幅度1 000 V/m、脈寬2 ns的高斯脈沖。

圖9 屏蔽機箱內立體彎折線束的電磁耦合模型

時域混合算法和CST計算得到的彎折線束端接負載R5和R10的電壓響應如圖10和圖11所示?？梢钥吹?，時域混合算法在模擬屏蔽腔內立體彎折線束的電磁耦合問題時，仍能保持與CST全波仿真相同的計算精度。同樣地，表2給出了時域混合算法和CST所使用的網格量和計算時間的對比。與CST相比，在計算區域擴大以后，時域混合算法的計算效率提升更為明顯。

表2 算例2的時域混合算法和CST所需網格量和計算時間

圖10 算例2的負載R5電壓響應

圖11 算例2的負載R10電壓響應

4 結論

本文提出高效的自適應線纜網格技術，并與FDTD-TL算法、插值技術以及電荷守恒定律相結合，研究了一種高效的時域混合算法，從時域角度解決了立體彎折線束電磁耦合的高效仿真問題。與同類場線耦合算法相比，該時域混合算法的優勢在于：一是，實現了空間任意分布的立體彎折線束的自適應網格劃分；二是，構建了適用于立體彎折線束的場線耦合模型，實現了空間電磁場輻射與立體彎折線束瞬態響應的快速同步計算。通過相應算例的數值仿真驗證表明，時域混合算法能夠與全波算法保持相同的計算精度，且明顯優于同類場線耦合算法。計算效率方面，相較于全波算法節省了較多的計算時間，與同類場線耦合算法相比亦有所提升。