基于二值和三值憶阻器模型構建的混沌系統的特性分析

王曉媛 田遠澤 程知群

(杭州電子科技大學電子信息學院 杭州 310000)

1 引言

混沌現象是非線性系統所特有的一種復雜現象，具有初始條件敏感性、內部隨機性、局部不穩定性以及非周期性等非線性特性，目前已被廣泛應用于動力學研究[1,2]、神經網絡[3]、安全通信[4]、圖像加密等方面[5,6]。由于混沌系統的復雜性與其非線性項有直接關系，因此，憶阻器作為一種具有非線性特性的電路元件適合用于構建混沌電路。

自Itoh和Chua[7]將憶阻器引入混沌系統，首次實現憶阻器與混沌系統的融合以來，許多研究人員投身于憶阻混沌系統的研究，并取得了大量的成果。文獻[8]提出一個具有3線平衡點的憶阻混沌系統，并詳細研究了該混沌系統的基本動力學特性。文獻[9]基于磁控憶阻器構造了一個4維憶阻混沌系統，該系統結構簡單且具有無窮多個吸引子。文獻[10]提出一種基于憶阻器的混沌電路，該系統具有共存吸引子和復雜的動力學特性。文獻[11]通過在憶阻混沌系統中引入優化因子f，得到了一個沒有平衡點的新系統，并實現了對隱藏吸引子的控制。文獻[12]在類lorenz系統中引入憶阻器反饋，得到了具有多重穩定性的超混沌系統，該系統具有豐富而獨特的動力學特性。文獻[13]通過在一個基于憶阻器構造的混沌電路中引入非線性反饋控制項，構造了一個新的憶阻混沌系統，該系統具有無窮多個平衡點。文獻[14]通過引入憶阻器提出一種新的超混沌系統，并通過多種方式分析了該系統的動力學行為，最后使用硬件電路對其進行了實現。文獻[15]將憶阻器引入4維 Sprott-B系統，構建了一個5維憶阻混沌系統，并對該系統的動力學特性進行了分析，最后基于FPGA對其進行了硬件實現。

2020年，Wang等人[16]首次提出了多值憶阻器的概念和數學模型，并對三值憶阻器數學模型進行深入分析，并于同年將三值憶阻器引入Lü系統，構建起一個新的4維三值憶阻混沌系統，該混沌系統具有復雜的動力學行為[17]。三值憶阻混沌系統的提出不僅豐富了非線性系統的類型，還拓寬了混沌系統的設計思路。到目前為止，關于憶阻混沌的研究大多圍繞連續型憶阻器和二值憶阻器，對三值或多值憶阻混沌的研究相對較少。基于團隊在憶阻混沌方面的研究基礎，本文通過在Chen系統中分別引入二值和三值憶阻器，得到了基于二值憶阻器和三值憶阻器建的混沌系統，并對兩系統的特性加以比對和深入分析，為三值憶阻混沌電路的進一步研究提供理論基礎。

本文結構如下：第2節首先介紹了二值和三值憶阻器數學模型，并基于兩種憶阻器模型構造了二值憶阻混沌系統(Binary-valued Memristor-based Chaotic System, BMCS)和三值憶阻混沌系統(Tri-valued Memristor-based Chaotic System,TMCS)；第3節對系統進行了定量分析，包括耗散性分析、平衡點和穩定性，Lyapunov指數和Lyapunov維數，以及初值敏感性分析；第4節對系統進行了定性分析，給出了混沌吸引子相圖，對比了參數變化對系統動力學特性的影響，討論系統中的暫態混沌現象，以及基于C0和SE算法對系統的復雜度進行了對比分析；最后在第5節給出總結。

2 憶阻器模型及其構建的混沌系統

憶阻器用于直接描述電荷q與磁通φ之間的關系。本文采用文獻[16]給出的構建多值憶阻器的通用方法，建立二值和三值憶阻器數學模型，并進一步建立BMCS和TMCS。

2.1 二值憶阻器模型

二值憶阻器模型的φ-q關系可用對稱分段線性函數描述，如式(1)所示

其中，參數a0, b0和c0均為非零常數。通過對磁通φ求導可以得到二值憶阻器模型的φ-G關系如式(2)所示

其中，sgn(x)為符號函數。當x＜0時，sgn(x)=-1；當x＞0時，sgn(x)=1。設置a0=2.5, b0=2.5以及c0=1，該二值憶阻器具有兩個穩定的憶導值2.5 S和7.5 S，其φ-q曲線、φ-G曲線如圖1(a)和圖1(b)所示。圖1(a)中兩個不同的斜率表示該憶阻器的兩個憶阻值。通過對該模型施加正弦信號v=v0sin(2πft)，取v0=4 V，頻率f=0.637 Hz以及初始值φ(0)=-1.5，可得其v-i特性曲線如圖1(c)所示。

圖1 二值憶阻器特性曲線

2.2 三值憶阻器模型

本文采用的三值憶阻器模型的φ-q關系用一個非對稱分段線性函數來描述，其表達式如式(3)所示

圖2 三值憶阻器特性曲線

2.3 基于憶阻器數學模型的混沌系統的構建

現將式(2)所描述的二值憶阻器模型G(w)引入Chen系統，可得到4維二值憶阻混沌系統BMCS，如式(5)所示[18]

用式(4)所描述的三值憶阻器模型G′(w)替換式(5)中的二值憶阻器模型G(w)，即可構造一個與式(5)所示BMCS結構相同的三值混沌系統TMCS，如式(6)所示

以上兩系統中，x, y, z和w為系統狀態變量，a,b, c和d表示系統參數。

3 BMCS和TMCS的定量分析

為便于討論引入二值憶阻器和三值憶阻器后得到的BMCS和TMCS在性能上有何種不同，本文設置兩個系統具有相同的系統參數與初始值，即參數a=42, b=5, c=31, d=3.7，系統初始值[x0, y0, z0,w0]=[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]。在本文中，將該條件統一稱為“默認初始條件”。

3.1 系統的耗散性分析

在默認初始條件下，BMCS和TMCS的散度均可計算為

式(7)結果表明兩個系統都具有耗散性，可以產生混沌吸引子。

3.2 Lyapunov指數

在默認初始條件下，BMCS的Lyapunov指數為LE1=2.309 0, LE2=0.001 7, LE3=-0.079 5, LE4=-18.228 1。由式(8)可以計算得到BMCS的Lyapunov維數DL=3.122 2。在同樣的條件下，TMCS的Lyapunov指數為LE1=2.481 8, LE2=0.157 8, LE3=0.001 7≈0, LE4=-18.641 3，Lyapunov維數DL=3.141 7。可見，BMCS有一個正的Lyapunov指數，為混沌系統，TMCS有兩個正的Lyapunov指數，為超混沌系統，且TMCS的Lyapunov維數相比BMCS的Lyapunov維數更大。表1為兩個系統仿真結果的比較，通過對比可知，TMCS動力學行為相較BMCS更加復雜

表1 混沌系統的Lyapunov指數及Lyapunov維數

3.3 系統的平衡點及穩定性

令式(5)、式(6)左邊分別為0，可計算得到系統的平衡點為{x=y=z=0, w=任意常數}。由二值和三值憶阻器模型可知，兩個系統中的w均不為0，可判斷BMCS和TMCS均有無限多個平衡點，且其產生的吸引子均為隱藏吸引子。可見，通過在混沌系統中引入二值和三值憶阻器，原混沌系統產生了一個附加的狀態變量w，使系統演變為有無限多個平衡點的混沌系統。

3.4 系統的初值敏感性分析

混沌系統具有初值敏感性。通過對不同初始條件下產生的序列進行相關性計算，可得到系統以初值的敏感性強弱[19]。公式如式(9)所示

其中，Xt和Yt是系統在不同初始值情況下所產生的兩個序列，μ和σ分別為序列的均值和標準差，E[·]為期望函數。計算結果Co越接近0，說明兩個序列的相關性越低，即該混沌系統對初值的敏感性越高。

通過固定參數[a, b, c, d]=[42, 5, 31, 3.7]，現將兩混沌系統4個初值中的1個進行微小的改變，以x0為例，取變化量為10-10，即令=x0+10-10，并在系統在初始值為[x0, 0.01, 0.01, 0.01]和[, 0.01,0.01, 0.01]下產生了4組對比序列(X1, X2),(Y1, Y2),(W1, W2)和(Z1, Z2)，再利用式(9)分別計算4組序列對的相關性，結果如表2所示。從表2信息可以看出，TMCS所產生的4組對應序列的相關值都比BMCS所產生的序列的相關值更接近于0，并且二者存在數量級上的差異，說明TMCS對初始值的變化更加敏感。

表2 序列相關性的對照比較

4 BMCS和TMCS的定性分析

本節首先對默認條件下BMCS和TMCS的吸引子相圖特征進行了比對，其次分析了兩個系統中參數變化對動力學特性產生的影響差別，再次對系統中存在的暫態混沌現象進行了研究，最后利用C0和SE算法討論了兩個系統的復雜度特性。

4.1 混沌吸引子相圖

上文通過計算得到BMCS與TMCS兩個系統均為混沌系統，本節采用上述默認初始條件，可得到其混沌吸引子相圖分別如圖3與圖4所示。通過相圖可以直觀地看到，兩系統的混沌吸引子均呈現與Chen系統相似的雙渦卷結構，但變量范圍存在差異。例如，在x-w平面，BMSC中變量w的變化范圍為[-60,40]，TMSC中變量w變化范圍為[-10,50]，可見，在x-w平面上BMCS變量范圍更大。

圖3 BMCS吸引子相圖

圖4 TMCS吸引子相圖

4.2 系統參數對系統動力學特性的影響

4.2.1 參數c對系統動力學特性的影響

令系統參數c在區間[20, 40]之間變化，給定初始值為[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]，當設置其他參數為默認初始條件時，可以得到BMCS系統相應的Lyapunov指數譜和分岔圖分別如圖5和圖6所示。從圖5可以看出，當參數a,b,d的值保持不變，隨著參數c的變化，BMCS從混沌狀態逐漸變為周期狀態。當參數c的區間在[21, 32]之間時，系統處于混沌狀態，當c超過32時，系統逐漸從混沌狀態向周期狀態過渡，并最終進入到周期狀態。圖6所示的分岔圖與Lyapunov指數譜的結果一致。表3為參數c取不同值時BMCS系統所對應的Lyapunov指數及系統所處的狀態，圖7為表中所對應的吸引子在x-z平面上的相圖。

表3 不同參數c對應的Lyapunov指數值

圖5 BMCS對應的Lyapunov指數譜

圖6 BMCS對應的分岔圖

圖7 BMCS對應的x-z平面吸引子相圖

類似地，保持TMCS中a, b, d 3個參數不變，初始值為[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]，可得到參數c在區間[20, 40]變化的Lyapunov指數譜如圖8所示。可見，當參數c在[20, 23]區間時，TMCS逐漸向混沌系統演化，在[23, 30.5]區間系統進入混沌狀態，當參數c大于30.5時系統間歇性出現超混沌狀態，由于第2個正的Lyapunov指數相較于其他Lyapunov指數變化范圍較小，具體數值在表4給出。當參數超過32時，系統逐漸進入周期狀態。圖9所示的分岔圖與Lyapunov指數譜所顯示的結果相一致。圖10為表4中系統狀態所對應的吸引子在x-z平面上的相圖。

表4 不同參數下TMCS對應的Lyapunov指數值

圖8 TMCS對應的Lyapunov指數譜

圖9 TMCS對應的分岔圖

圖10 TMCS對應的吸引子相圖

4.2.2 系統參數a和c對系統動力學特性的影響

為了進一步研究參數變化對系統狀態的影響，本節通過引入動力學地圖來刻畫BMCS和TMCS兩系統在參數a和參數c同時變化的過程中所處于的具體狀態。其中，b=5, d=3.7，得到圖11和圖12所示的關于參數a和參數c的動力學地圖，其中深藍色表示系統處于超混沌狀態，淺藍色表示系統處于混沌狀態，綠色表示系統處于周期狀態。

圖11 BMCS動力學地圖

圖12 TMCS動力學地圖

可見，當參數a在[40, 44]，c在[30, 34]之間變化時，BMCS隨著參數c增大而由藍色逐漸變為綠色，表示系統由混沌變為周期狀態，而TMCS則先在混沌與超混沌狀態之間變化，并最終變為周期狀態。當參數為默認初始條件時，BMCS動力學地圖對應點為藍色，系統處于混沌狀態，TMCS動力學地圖對應點為深藍色，系統處于超混沌狀態。

4.3 混沌系統中的暫態混沌現象分析

通過對BMCS和TMCS進行時域分析，發現兩個系統均存在暫態混沌這一特殊的動力學現象。例如，當BMCS中參數a=41.1, b=5, c=31.8和d=3.7時，通過圖13(a)可以看到，關于狀態變量w的時域波形在0～7 ms的間隔內非常紊亂，隨后開始收斂，且不向正或負的某一極發散，而是規律地、在固定區間之內波動，在超過7 ms之后的時域內變為周期狀態。BMCS到達穩態后其x-y平面相圖和x-z平面相圖分別如圖13(b)和圖13(c)所示，表現為周期狀態的吸引子。

圖13 BMCS暫態混沌時序圖及相圖

當TMCS與BMCS取上述相同參數時，TMCS關于狀態變量w的時域波形以及到達穩態后x-y平面相圖和x-z平面相圖如圖14所示。由圖14(a)可知，狀態變量w的時域波形在0～11 ms的間隔內處于不規則狀態，隨后開始收斂為在固定區間內波動，系統為周期狀態。由圖13和圖14可以看到，BMCS和TMCS中的暫態混沌現象呈現相似的結果，即暫態混沌存在時間很短，系統由暫態混沌轉為周期狀態，相圖均為周期狀態的吸引子。

圖14 TMCS暫態混沌時序圖及相圖

通過對BMCS和TMCS進行分析發現，其中僅TMCS存在穩定的超混沌狀態。在默認初始條件下，通過圖15(a)可以看到，TMCS關于狀態變量w的時域波形極不規則，既不收斂也不向正負兩極中某一端發散，持續處于紊亂狀態。關于狀態變量x,y和z的時域波形也是如此。TMCS的x-y平面相圖和x-z平面相圖分別如圖15(b)和圖15(c)所示，為超混沌吸引子。

圖15 TMCS超混沌時序圖及相圖

4.4 基于C0和SE算法的系統復雜度對比分析

系統的復雜度是測量一個系統生成隨機序列能力的量化指標，復雜度的大小取決于混沌序列的隨機程度。混沌序列的復雜性關乎混沌系統在加密領域中應用的可靠性，以確保系統具有足夠的抗干擾性和抗截獲性。SE復雜度算法和C0復雜度算法是基于結構復雜度的算法，不僅計算速度更快，并且可以有效地衡量系統的復雜性。

4.4.1 復雜度算法描述

文獻[20]所提到的C0復雜度算法主要思想是把序列分成規則和不規則部分，其定義是序列中不規則的部分所占的比例。對給定長度為N的時間序列{x(n), n=0, 1,···, N-1}，其計算方式為

其中，GN為對序列x(n)進行離散傅里葉變換之后再求得的均方值。

文獻[20]提出的SE復雜度算法，對給定長度為N的時間序列{x(n), n=0, 1,···, N-1}，其計算方法為如式(12)所示。其中，X(k)為對去掉直流分量的混沌序列進行離散傅里葉變換得出的結果

4.4.2 系統復雜度特性分析

對于BMCS和TMCS，在默認初始條件下，通過C0和SE算法對y序列的復雜度特性進行分析。得到兩系統的復雜度曲線如圖16和圖17所示。其中，保持BMCS系統中參數a,b,d的值不變，令參數c在[20, 40]之間變化，可見系統參數c的區間在[21,32]之間時，系統C0復雜度和SE復雜度都處于較高的階段，且隨參數c增大而增大，在c為30.69時達到最大。當BMCS隨著參數c繼續增大時，系統復雜度迅速降低。BMCS系統復雜度曲線的整體趨勢與其Lyapunov指數譜、分岔圖結果相一致。TMCS的復雜度曲線整體走勢與BMCS相似，由圖17的復雜度曲線可知三值憶阻器對二值憶阻器的替換給混沌系統復雜度帶來的變化。如圖16和圖17所示，TMCS在參數c遞增的過程中，其復雜度曲線的變化范圍較BMCS有整體性上升。這意味著TMCS相比BMCS復雜度足夠高。

圖16 BMCS的C0和SE復雜度

圖17 TMCS的C0和SE復雜度

5 結論

本文通過在Chen系統中分別引入二值和三值憶阻器，得到了兩個4維混沌系統BMCS和TMCS，并對這兩個系統進行了對比和深入分析。定量角度方面，系統的耗散性和平衡點特征表明兩個系統產生的吸引子均為隱藏吸引子，初值敏感性分析得出TMCS具有比BMCS更高的初值敏感性，Lyapunov指數和Lyapunov維數的計算表明BMCS為混沌，TMCS為超混沌。定性角度方面，吸引子相圖表明相同參數和初始條件下兩個混沌系統相圖存在一定程度的差異，由Lyapunov指數譜、分叉圖和動力學地圖表明，隨著參數變化BMCS在混沌和周期狀態之間變化，TMCS在超混沌、混沌和周期狀態之間變化。此外，通過分析時域波形發現BMCS和TMCS中均存在暫態混沌現象。最后通過C0和SE復雜度算法分析得出TMCS相比BMCS有更高的復雜度。因此，得出將三值憶阻器引入混沌電路更有利于系統產生復雜的動力學特性，提升混沌系統多方面的性能。