水下航行器有限時間滑模控制

褚 悅 ,石澤林 ,王孟軍 ,2 ,劉平安

(1.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院,黑龍江 哈爾濱,150001;2.河北省雙介質動力技術重點實驗室,河北 邯鄲,056017)

0 引言

速度是水下航行器的重要指標,超空泡航行器在水下運動時,大部分表面被超空泡包裹,構成了一種新的流體動力布局,極大地突破了速度屏障。空泡和水下航行器的位置關系可以分為航行器被空泡完全包裹和空泡閉合在航行器上2 種狀態[1]。在實際水下航行中,航行器大部分時間處于不完全包裹狀態(即空泡閉合在航行器上)。為了使航行器跟蹤期望的軌跡,有必要研究不完全包裹狀態下航行器的縱向平面控制。Semenenko 等[2]開創性地建立了水下航行器的六自由度模型和空化計算模型,闡述了水下航行器的動態特性。Lin等[3]驗證了航行器動力學方程存在強非線性。Kirschner 等[4]簡化了動力學模型,闡述了機動導航的穩定性和系統性能,說明了添加控制器的必要性,并設計了前饋-反饋控制器來實現水下航行器的機動控制。Li 等[5]研究了超空泡飛行器在垂直平面上的運動模型,分析了超空泡飛行器的動力學特性,提出了一種定深控制方法,將超空泡航行器高耦合非線性系統簡化為線性系統,未研究系統不確定性和非線性的影響。Liu 等[6]針對淺水區全方位智能導航儀的跟蹤控制采用反步設計技術,提出一種非線性輸出反饋控制器,保證了系統全局指數穩定,但因為系統的不確定性,可能導致控制系統失穩。Fan 等[7]提出了一種由超空泡飛行器組成的高耦合非線性系統的模型預測控制策略,建立了基于牛頓定律的三自由度流體力學模型,仿真了該系統的運動特性,但魯棒性較差。Li 等[8]建立了低速水下航行器的動力學模型,采用徑向基函數(radial basis function,RBF)神經網絡逼近和補償未知函數,并采用反步法設計控制器,實現了航行器的定深控制,但未證明系統能在有限時間內快速收斂。Man 等[9]提出了一種基于RBF神經網絡的魯棒自適應滑模跟蹤控制方案,采用自適應RBF 神經網絡輸出作為補償參數,消除了系統不確定性的影響,實現了閉環控制系統的漸近誤差收斂,但未能保證誤差在有限時間內收斂。

文中貢獻主要有以下三方面。

1) 采用獨立截面膨脹原理[10]而非經驗公式計算瞬態空泡形狀[10],實時估算水下航行器的沾濕長度,從而準確計算浮力和相應力矩,提高動力學模型的精度。

2) 提出了一種有限時間滑模控制方法,使水下航行器快速跟蹤給定深度,并使其他狀態快速收斂。

3) 對于模型中的未知項,使用神經網絡進行實時估計,并設計了相應的權重自適應律來描述神經網絡權重隨時間的變化規律。

1 水下航行器動力學模型

水下航行器受力及坐標系示意圖如圖1 所示。體坐標系的原點位于航行器的質心。Ox1軸沿航行器的軸線方向,Oy1軸垂直于航行器的軸線。

圖1 超空泡航行器受力及坐標系示意圖Fig.1 Forces acting on a supercavitating vehicle and coordinate system

水下航行器動力學模型為

式中:y為航行器的垂向位移;vy1為航行器沿體坐標系Oy1軸的速度;V為巡航速度;θ 為俯仰角;ωz為角速度;m為航行器質量;Jz為 航行器轉動慣量;Fby1為航行器浮力在體坐標系Oy1軸的分量;Fcy1為空化器受力在體坐標系Oy1軸的分量;Ffy1為尾翼受力在體坐標系Oy1軸的分量;Mcy1,Mfy1分別為空化器和尾翼受力在體坐標系Oy1軸 分量的力矩;Mby1為浮力在體坐標系Oy1軸分量的力矩。

1.1 航行器空化器受力及其力矩

空化器受力的作用點位于空化器的中心,其作用在體坐標系Oy1軸上的分量為

對應力矩為

式中: ρ為水的密度;Rn為空化器半徑;σ為空化數;Cx0為空化數為0 時空化器阻力系數;δc為空化器偏轉角;xc為 航行器質心到空化器中心的距離。圖2 顯示了航行器空化器受力情況。

圖2 空化器受力和偏轉角示意圖Fig.2 Forces acting on a cavitator and angle of deflection

1.2 航行器尾翼受力及其力矩

當尾翼的偏轉角為正時,尾翼所受力在體坐標系Oy1軸 的分量Ffy1產 生的升力矩Mfy1與角速度的正方向相反,且

式中:S為超空泡航行器的特征面積,通常為航行器的最大橫截面積;分別為升力系數和升力矩系數;δf為尾翼的偏轉角;L為航行器的長度。

1.3 航行器所受浮力及其力矩

當航行器在水中航行時,只有一部分被浸沒。為了確定航行器的浮力和浮力力矩,需要計算空泡形狀,并使用獨立截面膨脹原理確定浸沒長度。

空泡形狀的計算公式為

式 中: ?p(τ,t)=p∞(τ,t)-pc(τ,t),其中,p∞(τ,t)為無窮遠處的壓力,pc(τ,t)為 空泡內部的壓力,τ為空泡當前截面形成的時刻;k=4πCx/a2,其中,Cx為空化器阻力系數,a為介于2～2.5 之間的半經驗常數;ρw為水的密度。

方程的初始條件為

式中,Dn為空化器直徑。利用式(7)求解S和t之間的關系,則所有時刻任意位置的空泡半徑和長度都能被求解出。

假設空泡的長度是lc,航行器浮力在體坐標系軸的分量為

假設浮力作用于浸沒段的中點,相應的浮力在體坐標系軸分量的力矩為

定義狀態變量x1=[y,θ]T,x2=[vy1,ωz]T,由于水下航行器在航行時俯仰角、空化器轉角和尾翼偏角都很小,所以為了簡化水下航行器的動力學方程,當以下角度較小時,可以近似認為 sinδc≈δc,sinθ ≈θ,cosδc≈1,cosθ ≈1,sinδf=δf,cosδf=1。其中: δc為 空化器轉角;θ 為航行器俯仰角;δf為尾翼轉角。

引入控制律u,水下航行器的動力學方程改為

2 水下航行器控制律設計

引理1[11]如果有一個連續可微的正定函數,滿足

式中:c>0,b>0,0<α<1;U是原點附近的開鄰域且U?D。那么系統是有限時間穩定的,穩定時間為

式中,x0是x的初值。

引理2[12]如果有一個連續可微的正定函數,滿足

式中:c>0,b>0,0<α<1;U是原點附近的開鄰域且U?D。那么系統是有限時間穩定的,x將收斂到一個小鄰域內,穩定時間為

式中,θ0滿 足0 <θ0<1。

將動力學方程重新寫成如下形式

式中:f1=Ex1;f2=C+D。

定義跟蹤誤差

式中:x1d是x1的期望值,文中設計控制律的目的是讓x1(t)跟 蹤xd(t)。

為避免奇異性,將全集 ? 分為 ?1和 除 ?1以外的??1兩 部分,收斂的鄰域為 ?1,整個空間除收斂的鄰域外為 ??1,在 ?上定義滑模面為

式中,c和b是正常數。

對于 ??1,即e包含于??1,滑模趨近律可以被設計為

式中,c1和b1是正常數。

基于以上的滑模面和滑模趨近律,設計控制律為

定理1考慮水下航行器動力學系統(式(16))。通過控制律(式(20))在有限時間內將系統狀態達到原點周圍的小鄰域。

證明: 將Lyapunov 函數定義為

Lyapunov 函數的導數為

因為b1>0,c1>0,根據定理1,滑模面s在有限時間內收斂到0 之后,跟蹤誤差將在時間T2內收斂到0,。總到達時間T=T1+T2。因為e1在有限時間內收斂到0,因此x1→x1d,應用設計的控制律(式(20))可以使水下航行器跟蹤預定深度。

在式(16)中,由于一般情況下俯仰角、余弦值、相應的升力和升力矩系數難以獲得,所以f2通常是未知項。而RBF 神經網絡的特點是可以在不知道模型特性的情況下,實時估計模型的未知項,將估計值代入控制律作為補償。

RBF 神經網絡是一種3 層前向網絡,包括輸入層、輸出層和隱藏層。從輸入層到輸出層的映射是非線性的,而從隱藏層到輸出的映射是線性的。使用RBF 神經網絡可以顯著提高系統的精度、魯棒性和適應性。

f2的估計值為

式中:w?=[w1,w2,···]是神經網絡的最優權重;hj(x)是隱藏層第j個節點的輸出,x=[x1,x2]是RBF 神經網絡的輸入;ε是估計誤差。

hj(x)的表達式為

式中:cj=[cj1,cj2,···]為隱藏層第j個節點中心點處的向量值;bj>0是隱藏層第j個節點高斯函數的寬度。

控制律和神經網絡權重的自適應律設計為

假設1假定神經網絡的估計誤差和權重誤差都是有界的,即

式中,η1,η2均為一個小的正數。

定理2考慮由式(16)描述的水下航行器動力學系統。通過在有限時間內依據控制律(式(25))和自適應律(式(26))使系統跟蹤預定軌跡。

證明: 定義Lyapunov 函數為

根據定理2,滑模面收斂于緊集 ?1,神經網絡的估計權值在有限時間T3內收斂于最優權值的小鄰域附近。

經過T3之后,滑模面收斂于0,根據定理1,跟蹤誤差在有限時間T2內收斂到接近0 的小鄰域。系統收斂的總時間為T=T2+T3。因此,通過使用控制律(式(25))、自適應律(式(26))并適當選擇參數,跟蹤誤差e1可以收斂到一個小的緊集,確保系統狀態跟蹤給定狀態。

由于在 ?1內 滑模面是有界的,且自適應律w˙? 停止更新且初值有界,所以整個Lyapunov 函數(式(28))在 ?1內 有界,假設上界為 ε1,那么有

即Lyapunov 函數在全局有界,這便完成了全局穩定性的證明。

最終得到航行器的控制律和相應的自適應律為

3 仿真結果與分析

水下航行器控制系統框圖如圖3 所示。驗證文中設計的控制律(式(34))和自適應律(式(35))的有效性。計算所需的航行器動力學參數如表1 所示。仿真結果如圖4～13 所示。

表1 水下航行器動力學參數Table 1 Dynamic parameters of undersea vehicle

圖3 水下航行器控制系統框圖Fig.3 Block diagram of undersea vehicle control system

圖4 水下航行器深度跟蹤曲線Fig.4 Depth tracking curve of undersea vehicle

計算初始條件為:y0=0.2 m;θ0=5.73?;vy0=0.2 m/s;ω0=-34.38(?)/s;w(0)為零矢量;γ=100;隱藏層寬度為b=0.9,隱藏層中心

期望軌跡為x1d=0.5+0.1sint,x2d=-(1/V)。根據實際要求,航行器空化器轉角和尾翼轉角需要在 35?以內。

從圖4 和圖6 可以看出,在控制律(式(34))和自適應律(式(35))的作用下,水下航行器的深度和角度可跟蹤期望軌跡。圖10 和圖11 顯示了空化器角度和尾翼偏轉角隨時間的變化,其絕對值不超過4°和2°,表明輸入有界。從圖12 可以看出,滑模面在有限時間內收斂到接近零的小鄰域。從圖5 和圖7 可以看出,在t=1.23 s 后,深度跟蹤誤差和角度跟蹤誤差均收斂在原點附近的小鄰域內,表明系統具有良好的跟蹤性能。圖13 顯示了估計值可在有限時間內收斂到其實際值周圍的鄰域。

圖5 深度跟蹤誤差隨時間變化曲線Fig.5 Curve of depth tracking error with time

圖6 水下航行器俯仰角跟蹤曲線Fig.6 Pitch angle tracking curve of undersea vehicle

圖7 俯仰角跟蹤誤差隨時間變化曲線Fig.7 Curve of pitch angle tracking error with time

圖8 角速度隨時間變化曲線Fig.8 Curve of angular velocity with time

圖9 垂向速度隨時間變化曲線Fig.9 Curve of vertical velocity with time

圖10 空化器偏轉角隨時間變化曲線Fig.10 Curve of cavitator deflection angle with time

圖11 尾翼偏轉角隨時間變化曲線Fig.11 Curve of tail deflection angle with time

圖12 滑模面隨時間變化曲線Fig.12 Curve of sliding surface with time

圖13 未知項估計誤差隨時間變化曲線Fig.13 Curve of the estimation error of unknown term with time

4 結束語

文中提出一種有限時間滑模控制器來控制不完全包裹的水下航行器。RBF 神經網絡用于估計動態方程中的未知項,并設計自適應律來更新神經網絡的權重。利用Lyapunov 理論證明了動態系統的穩定性。最后,對水下航行器的水下運動進行了仿真。結果表明,所設計的控制律能使系統具有良好的跟蹤性能,跟蹤誤差收斂到較小范圍。因為水下環境復雜,可能出現執行器失效等一系列問題,需要在復雜環境下進行實驗,進一步驗證控制系統是否能達到預設目標。