艦載深彈垂直發射彈道建模及射程影響規律分析

萬小輝 ,彭 士 ,張海波 ,彭 順 ,戴文留 ,陳召任

(1.江南工業集團有限公司,湖南 湘潭,411207;2.中國兵器水中兵器研究院,湖南 長沙,410006)

0 引言

艦載垂直發射技術是各國海軍發展的重點,艦載垂發武器越來越多,垂直發射的防空導彈、反艦導彈及反潛助飛魚雷均有型號產品[1-2]。我國新型艦船也已經把垂直發射作為艦船的主要發射方式,裝載了大量通用垂直發射井[3]。深彈目前仍采用傾斜發射方式,其平臺適裝性及通用性不高,近年來艦載深彈垂直發射技術得到部分學者的關注。趙亞鵬等[4]初步提出深彈垂直發射技術的可行性,并提出一箱多彈發射方案。洪浩等[5]提出一種垂直發射自導深彈武器并進行了作戰效能仿真計算。上述研究表明,深彈垂直發射具有必要性和可行性,但側重于總體方案和概念,并未開展具體工程設計及彈道研究。在垂直發射研究中,彈道設計是重點,崔洪坤等[6]對垂直發射助飛魚雷進行了彈道建模仿真,得到垂直發射魚雷彈道參數。深彈彈道設計與魚雷區別較大,深彈射程一般較近,與中遠程垂直發射導彈及火箭助飛魚雷相比有自己的特點。王齊雙等[7]基于四元數對垂直發射導彈進行了數學建模和控制策略研究,側重于彈道的設計驗證工作。馬璐等[8]對垂直發射導彈開展超近程彈道優化設計,重點研究了優化算法的改進工作。趙丹輝等[9]對火箭自導深彈發射及多彈齊射彈道開展研究,主要計算了空中傘彈道和水下彈道。戴文留等[10]對電磁深彈空中彈道進行了計算,分析了深彈大小射程下的落點誤差影響因素。上述研究均屬于近程彈道范疇,未結合深彈垂直發射飛行特點進行研究。基于此,文中對深彈垂直發射近程彈道進行研究,建立深彈垂直發射彈道模型,對影響深彈射程指標的各種因素進行計算分析,研究成果可為垂直發射深彈總體及初始彈道設計提供參考,也可為艦載火箭武器垂直發射設計提供理論支持。

1 計算模型

深彈垂直發射飛行階段主要分為轉彎段和飛行段,轉彎段為深彈出筒到轉彎結束,飛行段為轉彎結束到落水點位置,針對深彈飛行特點,選取相應的控制策略并建立彈道計算模型[11-12]。

1.1 瞬時平衡假設

深彈的一般運動由其質心的運動和繞其質心的轉動組成。在深彈初期研究中,為能簡捷得到深彈可能的飛行彈道及其主要飛行特性,常采用瞬時平衡假設,將深彈當做一個可操縱質點,在整個飛行期間的任一瞬時都處于平衡狀態,即深彈操縱機構偏轉時,作用在深彈上的力矩在每一瞬時都處于平衡狀態。在深彈研究初期采用瞬時平衡假設進行彈道設計,可大幅減少工作量,加快設計進度。

對于軸對稱型深彈,俯仰和偏航力矩一般可表示為

式中:V、H分別為飛行速度和高度;α、β分別為攻角、側滑角;δy、δz為舵偏角;ωy、ωz為旋轉角速度;分別為攻角導數、側滑角導數;為舵偏角導數。

在大多數情況下,角速度 ωy、ωz及導數相比 α、β、δy和 δz對力矩Mz和My的影響是次要的,于是有

這些關系式稱為平衡關系式。在攻角和側滑角不大的情況下,具有線性空氣動力特性,于是有

由此可見,當深彈操縱機構偏轉時,α和 β都瞬時達到平衡值。

1.2 深彈質心運動方程組

基于瞬時平衡假設,可以把深彈的質心運動和繞質心轉動運動分開研究,于是從方程組中可以直接得到描述深彈質心(可操縱質點)的運動方程組:

式中:m、P分別為深彈質量、推力;αB、βB分別為平衡攻角、平衡側滑角;X為深彈阻力;g為重力加速度;θ、ψV和γV分別為彈道傾角、彈道偏角和速度傾斜角;YB、ZB分 別為 αB、βB所對應的平衡升力、平衡側向力;mc為深彈燃料燃燒消耗質量;ε1、ε2、ε3和 ε4為運動參數誤差。

方程組共有13 個方程,其中含有13 個未知數:V(t)、θ(t)、ψV(t)、x(t)、y(t)、z(t)、m(t)、αB(t)、βB(t)、γV(t)、δz(t)、δy(t)和 δP(t),所 以該方程組是封閉的。對于深彈火箭發動機,其推力是不進行調節的,mc可以認為是時間的已知函數,那么方程組的第7 個方程可單獨積分,且 ε4=0不存在。這樣方程的個數減少了2 個,而未知數也減少了2 個(m,δP),剩下的方程組仍然封閉。

簡化上述方程組,可以得到深彈在鉛垂平面內的質心運動方程組:

方程組共有7 個方程,其中含有7 個未知數V(t)、θ(t)、x(t)、y(t)、m(t)、αB(t)和 δP(t),由于采用瞬時平衡假設,δz(t)可根據平衡關系式單獨求解,所以方程組封閉。該方程組用于垂直發射轉彎結束后的飛行段彈道控制,采用攻角控制策略,飛行控制時攻角始終保持在一個固定的角度。

1.3 深彈轉彎段縱向運動方程組

對垂直發射轉彎段,初始彈道設計時可認為深彈基本上在某個鉛垂面內飛行,有 cosψV≈1,側向運動參數 β、γ、γV、ωx、ωy及 舵偏角 δx、δy都比較小,可以令

且略去小量的乘積 sinβsinγV、zsinγV、ωxωy、ωysinγ······以 及參數 β、δx和 δy對阻力X的影響。同時,俯仰操縱機構的偏轉僅取決于縱向運動參數。

考慮深彈繞質心的轉動運動,可得到其轉彎段縱向運動的飛行控制方程組:

式中: ?為俯仰角;Jz為深彈繞z軸轉動慣量。

1.4 深彈垂直發射轉彎控制策略

深彈垂直發射采用冷發射+燃氣舵轉彎控制方案。深彈轉彎段運動方程的解析從深彈在鉛垂平面(轉彎平面)中的縱向運動方程開始,研究運動的3 個階段: 深彈從縱軸上升到轉彎開始段 [0,t0];深彈縱軸快速轉彎段 [t0,t1];深彈俯仰角線性變化飛行段 [t1,t2]。研究深彈縱軸在轉彎段的角運動時,暫不考慮空氣動力力矩,因為速度較低時其相對燃氣舵力矩來說很小。

研究時間[t0,t1]區間深彈縱軸轉動時的角運動,最優快速轉彎控制是由2 個最大值和方向相反的控制力矩組成(2 個最大偏轉燃氣舵),燃氣舵偏轉最大的持續時間由初始條件決定。

在鉛垂平面中轉彎的角運動方程從力矩方程得到

方程的邊界條件是初始俯仰角、俯仰角速度(?0,ω0)以及最后的俯仰角 ?1,即深彈縱軸在轉彎后的方向,此時俯仰角速度最終值取零。

方程式有如下的解

轉彎結束,深彈飛行一定時間后,其俯仰角速度持續隨時間線性減少,當彈道傾角角速度與俯仰角速度一致后(即轉彎結束),轉為飛行段彈道控制。

1.5 仿真算法

文中采用的優化仿真算法是Matlab 優化工具箱中的ga 函數,具體使用方法如下:x=ga(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,LB,UB,nonlcon,options)。

fitnessfcn: 優化目標函數,使fitnessfcn 值最小。

nvars: 優化目標數量m。

A,b: 線性不等式約束,使優化目標初始滿足Ax≤b,若n為優化約束個數,則A為m×n維矩陣,b為n維列向量。

Aeq,beq: 線性等式約束,使優化目標初始滿足Aeqx=beq,若n為優化約束個數,則Aeq為m×n維矩陣,beq為n維列向量。

LB,UB: 邊界條件,使優化目標初始滿足LB≤x≤UB,LB,UB為m維向量。

nonlcon:過程約束,

函數有2個輸出:[c,ceq]=nonlcon(x);

ga 函數嘗試實現c≤0,ceq=0。

2 計算與仿真分析

根據建立的垂直發射彈道模型及仿真程序,對深彈進行垂直發射彈道計算,分別考慮了彈重、總沖、炮口初速、轉彎高度、末端攻角、轉彎結束時俯仰角、升力系數和阻力系數等變化對射程影響情況,并對深彈射程指標影響規律進行了研究。

2.1 標準彈道計算

針對某型深彈垂直發射彈道進行優化計算,得到深彈標準彈道,彈道初始條件見表1,計算得到的標準彈道主要參數見表2,下面將在標準彈道基礎上進行射程影響規律研究。

表1 彈道初始條件Table 1 Initial condition of ballistic

表2 標準彈道主要參數Table 2 The main parameters of standard trajectory

2.2 彈重對深彈射程影響

彈重是影響射程的重要因素,在總體設計中需要優先考慮。取彈重變化倍數為0.95、1、1.05 和1.1 進行彈道計算,得到彈道數據見表3,彈道曲線為圖1。由仿真結果可知: 1) 射程與彈重負相關變化,彈重越大,射程越近;2) 彈重對射程影響很大,彈重每增減5%時,射程變化約9%～11%。

圖1 彈重對射程的影響Fig.1 Effect of the mass of depth charge on range

表3 彈重對彈道影響Table 3 Effect of the mass of depth charge on trajectory

2.3 總沖對深彈射程影響

總沖是影響射程的主要因素,也是深彈總體及發動機設計的重點。取總沖變化倍數為0.9、1.0、1.1 和1.2 進行彈道計算,得到彈道數據見表4,彈道曲線為圖2。由仿真結果可知: 1) 射程與總沖正相關變化,總沖越大,射程越大;2) 總沖對射程影響很大,總沖每增減10%時,射程變化約20%。

圖2 深彈總沖對射程影響Fig.2 Effect of the engine total impulse on range

表4 深彈總沖對彈道影響Table 4 Effect of the engine total impulse on trajectory

2.4 炮口初速對深彈射程影響

采用垂直發射冷彈射方式,炮口初速是垂直發射需要設計的重要指標之一,關系到發射筒內過載、上升高度及初始段的穩定性。對艦船來說,一般炮口初速取30～40 m/s,取初速為20、30、40、50 m/s 進行彈道計算,得到彈道數據見表5,彈道曲線如圖3 所示。由仿真結果可知: 1) 射程與炮口初速正相關變化,初速越大,射程越遠;2) 炮口初速對射程影響較大,速度每增減10 m/s 時,射程變化約6.5%。

圖3 深彈炮口初速對射程影響Fig.3 Effect of the muzzle initial velocity on range

表5 深彈炮口初速對彈道影響Table 5 Effect of the muzzle initial velocity on trajectory

2.5 轉彎高度對深彈射程影響

艦船的艦島桅桿等建筑物要求垂直冷發射必須在一定的高度上點火轉彎,彈射高度必須高于建筑物,一般取20～40 m,取彈射高度分別為20、30、40、50 m 進行彈道計算,得到彈道數據見表6,彈道曲線如圖4 所示。由仿真結果可知: 1) 射程與轉彎高度輕微正相關變化,但不明顯;2) 轉彎高度對射程幾乎沒有影響,20～50 m 高度范圍射程變化不到0.5%。

圖4 深彈轉彎高度對射程影響Fig.4 Effect of the turning height on range

表6 深彈轉彎高度對彈道影響Table 6 Effect of the turning height on trajectory

2.6 末端攻角對深彈射程影響

末端攻角余量一定程度上影響制導武器末端機動控制能力,可通過抬頭和低頭來調節射程范圍,彈道規劃時末端攻角要盡可能小甚至為0,但由于深彈射程較近,垂直發射對彈藥實現近程指標是不利的,常需要保持一定的負攻角來滿足近界指標。取末端攻角為2°、4°、6°、8°變化進行彈道計算,得到彈道數據見表7,彈道曲線如圖5 所示。由仿真結果可知: 1) 射程與末端攻角正相關變化,攻角越大,射程越遠;2) 末端攻角對射程影響較小,攻角每增減2°時,射程變化約2.7%。

圖5 深彈末端攻角對射程影響Fig.5 Effect of the terminal angle of attack on range

表7 深彈末端攻角對彈道影響Table 7 Effect of the terminal angle of attack on trajectory

2.7 轉彎結束時俯仰角對深彈射程影響

轉彎結束時的俯仰角與轉彎速率相關,垂直發射轉彎過快,會出現大攻角,帶來很大的氣動非線性問題和控制難度,因而需要綜合考慮選取合理的轉彎速率,即設置相應轉彎結束時的俯仰角。取轉彎結束時的俯仰角為42°、47°、52°和57°分別進行彈道計算,得到彈道數據見表8,彈道曲線如圖6 所示。由仿真結果可知: 1) 射程與轉彎結束時俯仰角負相關變化,角度越大,射程越近;2) 轉彎結束時俯仰角對射程影響較大,且具有非線性,當小于某一角度(47°)時射程變化不大,大于某一角度(47°)時,射程變小且變化幅度增大,角度每增加5°,射程變化為0.5%—3.4%—6.5%遞減。

圖6 深彈轉彎結束時俯仰角對射程影響Fig.6 Effect of the pitch angle on range at the end of turning

表8 深彈轉彎結束時俯仰角對彈道影響Table 8 Effect of the pitch angle on trajectory at the end of turning

2.8 升力系數對深彈射程影響

升力系數是影響射程的因素之一。取升力系數變化倍數為0.9、1.0、1.1 和1.2 進行彈道計算,得到彈道數據見表9,彈道曲線如圖7 所示。由仿真結果可知: 1) 射程與升力系數正相關變化,升力系數越大,射程越遠;2) 升力系數對射程影響較小,升力系數增減10%時,射程變化約1.3%。

圖7 深彈升力系數對射程影響Fig.7 Effect of the lift coefficient on range

表9 深彈升力系數對彈道影響Table 9 Effect of the lift coefficient on trajectory

2.9 阻力系數對深彈射程影響

阻力系數是影響射程的因素之一。取阻力系數變化倍數為0.9、1.0、1.1 和1.2 進行彈道計算,得到彈道數據見表10,彈道曲線為圖8。由仿真結果可知: 1) 射程與阻力系數負相關變化,阻力系數越大,射程越近;2) 阻力系數對射程影響較小,阻力系數增減10%時,射程變化約2%。

圖8 深彈阻力系數對射程影響Fig.8 Effect of the drag coefficient on range

表10 深彈阻力系數對彈道影響Table 10 Effect of the drag coefficient on trajectory

3 結論

深彈作為水中兵器之一,在水下攻防作戰中具有較大的成本優勢和簡單易用的特點,近年來深彈開始增加簡易制導以提高作戰效能,進一步提高了生命力,結合艦載垂直發射技術,融入艦船通用垂發平臺,深彈的應用場景更為廣闊。文中以某垂直冷發射深彈為原型,根據深彈垂直發射運動學及動力學方程,結合艦載垂直冷發射、水面艦近程水下防御等特點,建立垂發深彈彈道計算模型,基于此模型,對深彈射程等指標影響規律進行研究分析,結論如下。

1) 射程與總沖、炮口初速、轉彎高度、末端攻角及升力系數正相關;射程與彈重、轉彎結束時俯仰角及阻力系數負相關。

2) 彈重、總沖、炮口初速及轉彎結束時俯仰角對深彈射程影響較大,在深彈射程優化設計中需重點考慮這些影響因素,應作為主要計算參數輸入,盡快找到最優彈道;末端攻角、升力和阻力對深彈射程影響相對較小,在深彈射程優化設計中可作為次要微調因素考慮;轉彎高度對深彈射程幾乎無影響,彈道設計時根據平臺實際情況選取彈射高度即可。

仿真結果可為艦載深彈或火箭彈垂直發射總體及彈道初始設計提供參考。需說明的是,文中研究成果基于理想狀態得出,實際彈道還需考慮一系列誤差干擾因素,在下一步工程應用研究中,將建立深彈六自由度彈道模型,并加入飛行干擾因素進行有控剛體彈道設計。