包含Euler函數(shù)的一個三元變系數(shù)不定方程的正整數(shù)解

王麗，張四保，楊振志

(1.喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什844000；2.喀什大學(xué) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究中心，新疆 喀什 844000；3. 新疆昆玉城市建設(shè)投資運營集團有限責(zé)任公司，新疆 昆玉 848116)

令φ(n)是一正整數(shù),φ(n)為Euler函數(shù)。Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論研究中的一個重要函數(shù)[1],其有著廣泛的應(yīng)用。關(guān)于Euler函數(shù)φ(n)的性質(zhì)以及Euler函數(shù)方程的研究也吸引了眾多學(xué)者的研究興趣。如文獻[2-9]分別討論了包含Euler函數(shù)φ(n)的形如φ(xy)=m(φ(x)+φ(y))的二元定系數(shù)不定方程,當(dāng)m=3,4,6,7,8,9,11,12,20時所對應(yīng)方程的可解性;關(guān)于包含Euler函數(shù)φ(n)的形如φ(xyz)=m(φ(x)+φ(y)+φ(z))的三元定系數(shù)不定方程的可解性研究內(nèi)容豐富,如文獻[10-14]分別討論了當(dāng)m=2,3,4,5,6時所對應(yīng)的方程的可解性,給出了相應(yīng)方程的所有正整數(shù)解;關(guān)于包含Euler函數(shù)φ(n)的形如φ(xyz)=k1φ(x)+k2φ(y)+k3φ(z)的三元變系數(shù)不定方程的可解性也引起不少學(xué)者的研究興趣,如文獻[15]討論了方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z))的可解性,并給出了其所有正整數(shù)解;文獻[16]討論了方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)的可解性。針對包含Euler函數(shù)φ(n)的形如φ(xyz)=k1φ(x)+k2φ(y)+k3φ(z)的三元變系數(shù)不定方程的可解性問題,本文將在之前研究的基礎(chǔ)上,討論當(dāng)k1=1,k2=3,k3=4時方程的可解性,即討論方程

φ(xyz)=φ(x)+3φ(y)+4φ(z)

(1)

的可解性,并給出其所有的正整數(shù)解。

1 相關(guān)引理

引理2[17]對任意的正整數(shù)m與n,有

顯然,若gcd(m,n)=1,則有φ(mn)=φ(m)φ(n)。

引理3[18]當(dāng)≥2時,有φ(n)

2 主要定理及證明

定理1 不定方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)= (6,6,1),(6,3,2),(3,6,2),(11,3,1),(11,3,2),(11,4,1),(11,6,1),(22,3,1),(3,4,4),(4,3,4),(4,4,3),(5,5,1),(5,10,1),(5,5,2),(10,5,1),(3,14,2),(4,14,1),(4,18,1),(4,7,2),(4,9,2),(6,14,1),(6,7,2),(3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,6,5),(6,3,5),(5,16,1),(5,24,1),(8,15,1),(3,11,4),(4,11,3),共有32組。

證明由引理2知

由引理3可得

φ(x)[φ(y)φ(z)-1]≤3φ(y)+4φ(z)。

(2)

由于φ(y)φ(z)>0,則可按φ(y)φ(z)的取值分以下3種情況討論。

情況1 當(dāng)φ(y)φ(z)=1

此時有φ(y)=φ(z)=1,則y=z=1,2。由方程(1)可得φ(xyz)=7+φ(x)。由引理3得φ(x)=1,則x=1,2,且φ(xyz)=8,則xyz=15,16,20,24, 30。而此時x,y,z的乘積xyz≠15,16,20,24,30,則此時方程(1)無整數(shù)解。

情況2 當(dāng)2≤φ(y)φ(z)≤8

此時由式(2)可得

(3)

由于(φ(y)-1)(φ(z)-1)≥0,可得

φ(y)+φ(z)≤φ(y)φ(z)+1,

將其代入式(3),得

(4)

情況2.1當(dāng)φ(y)φ(z)=2

此時有φ(y)=1,φ(z)=2或φ(y)=2,φ(z)=1。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=2時,有y=1,2,z=3,4,6。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=1時,有y=3,4,6,z=1,2。又由式(4),此時則有φ(x)=1,2,4,6,8,10。

當(dāng)φ(x)=1時,有φ(xyz)。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=2時,有φ(xyz)=12,則xyz=13,21,26,28,36,42。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=1時,有φ(xyz)=11,由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=2時,有x=3,4,6。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=2時,有φ(xyz)=13,由引理3知此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=1時,有φ(xyz)=12,則xyz=13,21,26,28,36,42。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)=(6,6,1),(6,3,2),(3,6,2)。

當(dāng)φ(x)=4時,有x=5,8,10,12。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=2時,有φ(xyz)=15,由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=1時,有φ(xyz)=14。由于14是非Euler商數(shù),所以此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=6時,有x=7,9,14,18。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=2時,有φ(xyz)=17,由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=1時,有φ(xyz)=16,則xyz=17,32,34,40,48,60。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=8時,有x=15,16,20,24,30。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=2時,有φ(xyz)=19,由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=1時,有φ(xyz)=18,則xyz=19,27,38,54。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=10時,有x=11,22。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=2時,有φ(xyz)=21,由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=1時,有φ(xyz)=20,,則xyz=25,33,44,50,66。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)=(11,3,1),(11,3,2,),(11,4,1),(11,6,1),(22,3,1)。

情況2.2 當(dāng)φ(y)φ(z)=4

此時有φ(y)=1,φ(z)=4或φ(y)=2,φ(z)=2或φ(y)=4,φ(z)=1。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=4時,有y=1,2,z=5,8,10,12。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=2時,有y=z=3,4,6。當(dāng)φ(y)=4,φ(z)=1時,有y=5,8,10,12,z=1,2。此時,由式(4)有φ(x)≤6,則φ(x)=1,2,4,6。

當(dāng)φ(x)=1時,有x=1,2。若φ(y)=1,φ(z)=4,有φ(xyz)=20,則xyz=25,33,44,50,66。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=2,φ(z)=2,有φ(xyz)=15。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=4,φ(z)=1,有φ(xyz)=17,。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=2時,有x=3,4,6。若φ(y)=1,φ(z)=4,有φ(xyz)=21。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=2,φ(z)=2,有φ(xyz)=16,則xyz=17,32,34,40,48,60。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)=(3,4,4),(4,3,4),(4,4,3)。若φ(y)=4,φ(z)=1,有φ(xyz)=18,則xyz=19,27,38,54。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=4時,有x=5,8,10,12。若φ(y)=1,φ(z)=4,有φ(xyz)=23。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=2,φ(z)=2,有φ(xyz)=18,則xyz=19,27,38,54。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=4,φ(z)=1,有φ(xyz)=20。則xyz=25,33,44,50,66。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)=(5,5,1),(5,10,1),(5,5,2),(10,5,1)。

當(dāng)φ(x)=6時,有x=7,9,14,18。若φ(y)=1,φ(z)=4,有φ(xyz)=25。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=2,φ(z)=2,有φ(xyz)=20,則xyz=25,33,44,50,66。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=4,φ(z)=1,有φ(xyz)=22,則xyz=23,46。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

情況2.3當(dāng)φ(y)φ(z)=6

此時有φ(y)=1,φ(z)=6或φ(y)=6,φ(z)=1。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=6時,有y=1,2,z=7,9,14, 18。當(dāng)φ(y)=6,φ(z)=1時,有y=7,9,1,4,18,x=1,2。此時由式(4)有φ(x)=1,2,4。

當(dāng)φ(x)=1時,有x=1,2。若φ(y)=1,φ(z)=6,有φ(xyz)=28,則xyz=29,58。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=6,φ(z)=1,有φ(xyz)=23。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=2時,有x=3,4,6。若φ(y)=1,φ(z)=6,有φ(xyz)=29。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=6,φ(z)=1,有φ(xyz)=24,有xyz=35,39,45, 52,56,70,72,78,84,90。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)=(3,14,2),(4,14,1),(4,18,1),(4,7,2),(4,9,2),(6,14,1),(6,7,2)。

當(dāng)φ(x)=4時,有x=5,8,10,12。若φ(y)=1,φ(z)=6,有φ(xyz)=31。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=6,φ(z)=1,有φ(xyz)=26。由于26是非Euler商數(shù),φ(xyz)=26無解,所以此時方程(1)無整數(shù)解。

情況2.4當(dāng)φ(y)φ(z)=8

此時有φ(y)=1,φ(z)=8或φ(y)=2,φ(z)=4或φ(y)=4,φ(z)=2或φ(y)=8,φ(z)=1。當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=8時,有y=1,2,z=15,16,20, 24,30。當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=4時,有y=3,4,6,z=5,8,10,12。當(dāng)φ(y)=4,φ(z)=2時,有y= 5,8,10,12,z=3,4,6。當(dāng)φ(y)=8,φ(z)=1時,有y=15,16,20,24,30,z=1,2。此時,由式(4)有φ(x)≤5,則φ(x)=1,2,4。

當(dāng)φ(x)=1時,有x=1,2。若φ(y)=1,φ(z)=8,有φ(xyz)=36,則xyz=37,57,63,74, 76,108,114,126。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=8,φ(z)=1,有φ(xyz)=29。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=2,φ(z)=4,有φ(xyz)=23。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=4,φ(z)=2,有φ(xyz)=21。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=2時,有x=3,4,6。若φ(y)=1,φ(z)=8,有φ(xyz)=37。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=8,φ(z)=1,有φ(xyz)=30,則xyz=31,62。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=2,φ(z)=4,有φ(xyz)=24,有xyz=35,39,45,52,56,70,72,78 84,90。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)= (3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,6,5),(6,3,5)。若φ(y)=4,φ(z)=2,有φ(xyz)=22,則xyz= 23,46。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(x)=4時,有x=5,8,10,12。若φ(y)=1,φ(z)=8,有φ(xyz)=39。由引理3可得此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=8,φ(z)=1,有φ(xyz)=32,則xyz=51,64,68,80,96,102,120。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)=(5,16,1),(5,24,1),(8,15,1)。若φ(y)=2,φ(z)=4,有φ(xyz)=26。由于26是非Euler商數(shù),因而此時方程(1)無整數(shù)解。若φ(y)=4,φ(z)=2,有φ(xyz)=24,則xyz=35,39,45,52,56,70,72,78, 84,90。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

情況3當(dāng)φ(y)φ(z)≥10

此時,由式(4)可得,φ(x)=1,2,4。

情況3.1當(dāng)φ(x)=1

此時,有

φ(xyz)=1+3φ(y)+4φ(z)=

φ(x)φ(y)φ(z)=φ(y)φ(z),

則φ(y)φ(z)≤1+3φ(y)+4φ(z)<1+4[φ(y)+φ(z)],從而有

[φ(y)-4][φ(z)-4]<17,

因此可以分以下兩種情況討論。

1)當(dāng)φ(y)=1時,有φ(z)≥10,則φ(xyz)=4+ 4φ(z),則x,y=1,2。

取(x,y)=(1,1)時,有φ(z)=4+4φ(z),顯然此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,y)=(1,2)時,有φ(2z)=4+4φ(z)。當(dāng)gcd(2,z)=1時,有φ(2z)=φ(z),則φ(2z)=4+ 4φ(z)無解,此時方程(1)無整數(shù)解;當(dāng)gcd(2,z)=2時,有φ(2z)=2φ(z),則φ(2z)=4+ 4φ(z)無解,此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,y)= (2,1)時,此情況與取(x,y)=(1,2)相同,此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,y)=(2,2)時,有φ(4z)=4+4φ(z)。當(dāng)gcd(4,z)=1時,有φ(4z)=2φ(z),則φ(4z)=4+ 4φ(z)無解,此時方程(1)無整數(shù)解;當(dāng)gcd(4,z)=2,4時,有φ(4z)=4φ(z),則φ(4z)=4+4φ(z)無解,此時方程(1)無整數(shù)解。

2)當(dāng)φ(y)≥2時,由方程(1)有φ(xyz)=1+ 3φ(y)+4φ(z),此時1+3φ(y)+4φ(z)顯然是一個大于1的奇數(shù),由引理3可得此時方程(1)無整數(shù)解。

情況3.2當(dāng)φ(x)=2

此時,有

φ(xyz)=φ(x)+3φ(y)+4φ(z)=2+3φ(y)+

4φ(z)≥φ(x)φ(y)φ(z)=2φ(y)φ(z),

即

φ(y)[2φ(z)-3]≤2+4φ(z),

(5)

因此可以分以下6種情況討論。

1)當(dāng)φ(z)=1時,有φ(xyz)=6+3φ(y)。此時有x=3,4,6,z=1,2。

取(x,z)=(3,1)時,有φ(3y)=6+3φ(y)。當(dāng)gcd(3,y)=1時,有φ(3y)=2φ(y),顯然此時φ(3y)=6+3φ(y)無解,因而此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(3,y)=3時,有φ(3y)=3φ(y),顯然此時φ(3y)=6+3φ(y)無解,因而此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,z)=(3,2)時,有φ(6y)=6+3φ(y)。當(dāng)gcd(6,y)=1時,有φ(6y)=2φ(y),顯然此時φ(6y)=6+3φ(y)無解,因而此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(6,y)=2時,有φ(6y)=4φ(y),此時φ(6y)=6+3φ(y)有解φ(y)=6。此時結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(6,y)=3時,有φ(6y)=3φ(y),顯然此時φ(6y)=6+3φ(y)無解,因而此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(6,y)=6時,有φ(6y)=6φ(y),此時φ(6y)=6+3φ(y)有解φ(y)=2。結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,z)=(4,1)時,有φ(4y)=6+3φ(y)。當(dāng)gcd(4,y)=1時,有φ(4y)=2φ(y),顯然此時φ(4y)=6+3φ(y)無解,因而此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(4,y)=2,4時,都有φ(4y)=4φ(y),此時φ(4y)=6+3φ(y)有解φ(y)=6。此時結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,z)=(4,2)時,有φ(8y)=6+3φ(y)。當(dāng)gcd(8,y)=1時,有φ(8y)=4φ(y),此時φ(8y)= 6+3φ(y)有解φ(y)=6。此時結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(8,y)=2,4,8時,都有φ(8y)=8φ(y),此時φ(8y)=6+3φ(y)無解,則此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,z)=(6,1)時,有φ(6y)=6+3φ(y)。當(dāng)gcd(6,y)=1時,有φ(6y)=2φ(y),顯然此時φ(6y)=6+3φ(y)無解,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(6,y)=2時,有φ(6y)=4φ(y),此時φ(6y)=6+3φ(y)有解φ(y)=6。此時結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(6,y)=3時,有φ(6y)=3φ(y),顯然此時φ(6y)=6+3φ(y)無解,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(6,y)=6時,有φ(6y)=6φ(y),此時φ(6y)= 6+3φ(y)有解φ(y)=2。此時結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。

取(x,z)=(6,2)時,有φ(12y)=6+3φ(y)。當(dāng)gcd(12,y)=1時,有φ(12y)=4φ(y),此時φ(12y)=6+3φ(y)有解φ(y)=6。此時結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(12,y)=2,4時,都有φ(12y)=8φ(y),此時φ(12y)=6+3φ(y)無解,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(12,y)=3時,有φ(12y)=6φ(y),此時φ(12y)=6+3φ(y)有解φ(y)=2。此時結(jié)合φ(z)=1與φ(y)φ(z)≥10可知,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)gcd(12,y)=6,12時,有φ(12y)=12φ(y),此時φ(12y)=6+3φ(y)無解,此時方程(1)無整數(shù)解。

2)當(dāng)φ(z)=2時,有x=z=3,4,6。將φ(z)=2代入式(5)得φ(y)≤10。又φ(y)φ(z)≥10,可得φ(y)=6,8,10。當(dāng)φ(y)= 6時,有y=7,9,14,18。此時有φ(xyz)=28,則xyz=29,58。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=8時,有y=15,16,20,24,30。此時φ(xyz)=34。由于34是非Euler商數(shù),則φ(xyz)= 34無解,則此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=10時,有y=11,22。此時φ(xyz)=40,則xyz=41, 55,75,82,88,100,110,132,150。經(jīng)計算,此時方程(1)有整數(shù)解(x,y,z)=(3,11,4),(4,11,3)。

3)當(dāng)φ(z)=4時,有x=3,4,6,z=5,8,10,12。將φ(z)=4代入式(5)有φ(y)≤4。又φ(y)φ(z)≥ 10,所以有φ(y)=4,則y=5,8,10,12。此時有φ(xyz)=22,則xyz=23,46。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

4)當(dāng)φ(z)=6時,有x=3,4,6,z=7,9,14,18。將φ(z)=6代入式(5)有φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥ 10,所以有φ(y)=2,則y=3,4,6,此時φ(xyz)= 32,則xyz=51,64,68,80,96,102,120。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

5)當(dāng)φ(z)=8時,有x=3,4,6,z=15,16,20, 24,30。將φ(z)=8代入式(5)有φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥10,所以有φ(y)=2,y=3,4,6。此時φ(xyz)=40,則xyz=41,55,75,82,88,100,110,132,150。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

6)當(dāng)φ(z)≥10時,由式(5)可得

即φ(y)<3,所以φ(y)=1,2。當(dāng)φ(y)=1時,由φ(x)+3φ(y)+4φ(z)≥φ(x)φ(y)φ(z)得2φ(z)≤ 5+4φ(z),這不可能成立,此時方程(1)無整數(shù)解。當(dāng)φ(y)=2時,由φ(x)+3φ(y)+4φ(z)≥φ(x)φ(y)φ(z)得4φ(z)≤8+4φ(z)。經(jīng)計算,此時方程(1)無整數(shù)解。

情況3.3當(dāng)φ(x)=4

此時,有

φ(xyz)=φ(x)+3φ(y)+4φ(z)=4+3φ(y)+

4φ(z)≥φ(x)φ(y)φ(z)=4φ(y)φ(z),

即

4φ(z)[φ(y)-1]≤4+3φ(y),

(6)

因此可以分以下4種情況討論。

當(dāng)φ(y)=1時,有φ(xyz)=φ(x)+3φ(y)+ 4φ(z)=7+4φ(z),顯然此式不成立,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(y)=2時,代入式(6)有φ(z)≤2。又φ(y)φ(z)≥10,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(y)=4,6,8時,代入式(6)有φ(z)≤1。又φ(y)φ(z)≥10,此時方程(1)無整數(shù)解。

當(dāng)φ(y)≥10時,由式(6)可得

結(jié)合以上3種情況的討論,可得定理1。

3 結(jié)束語

針對包含Euler函數(shù)φ(n)的形如φ(xyz)=k1φ(x)+k2φ(y)+k3φ(z))的三元變系數(shù)不定方程的可解性問題,討論了三元變系數(shù)不定方程φ(xyz)=φ(x)+3φ(y)+4φ(z)的可解性問題,通過分類討論以及相關(guān)內(nèi)容,采用分析篩選獲得該不定方程的所有32組正整數(shù)解。