多層剪切型支撐鋼框架整體穩定性的解析算法研究

蘭樹偉, 周東華, 陳 旭, 毛德均

(1.昆明學院 建筑工程學院,昆明 650214; 2.昆明理工大學 建筑工程學院,昆明 650500)

剪切型支撐鋼框架結構體系是鋼結構工程中常用的結構形式,支撐體系的變形主要是剪切變形,常見的有交叉斜桿和單斜桿支撐等。鋼結構與混凝土結構相比,具有截面尺寸小、構件細長等特點,隨著建筑高度的增加,鋼結構的穩定問題變得格外凸出,必須加以重視和研究。在剪切型支撐鋼框架結構設計中總希望能有便于運用的結構臨界力解析計算公式,以避免復雜的有限元整體計算或校核有限元計算結果的正確性。目前GB 50017—2017《鋼結構設計標準》[1](簡稱規范)中給出了有側移(無支撐)和無側移(強支撐)框架柱的計算表格,尚無確定彈性側移框架柱(即：弱支撐框架柱)計算長度系數的內容。剪切型支撐鋼框架結構整體穩定性計算,與剪切型支撐所提供剛度強弱程度的有關,須要考慮同層柱間的相互支援和層與層之間的支援作用,還須要考慮支撐與鋼框架之間的相互作用,目前規范還無法解決這些問題。為了解決這些問題,李國強等[2]給出了確定任意支撐鋼框架柱計算長度系數的計算公式,其計算過程復雜需求解超越方程。Aristizabal[3-4]在有限元分析的基礎上給出了不同約束條件下柱計算長度系數近似計算公式,給出了使柱達到無側移失穩的最小支撐剛度。童根樹等[5-6]利用平衡法研究了非完全支撐框架結構的穩定性,基于部分支撐柱穩定方程,給出了框架柱支撐的門檻剛度計算公式,提出了一種確定剪切型支撐框架穩定性的假想荷載法。金路等[7]基于有限元Ansys分析變形對應的荷載水平與其承載力之間的關系,提出了一種計算鋼框架-支撐結構穩定和二階側移的直接分析法。Ma等[8]基于層抗側剛度分析結構樓層穩定性,提出了一種評估具有半剛性連接的部分支撐鋼框架穩定性的簡化方法。剪切型支撐框架有些樓層支撐所提供的剛度大能夠達到強支撐剛度的要求,有些樓層支撐弱所提供抗側剛度較小無法滿足強支撐剛度的要求而屬于弱支撐樓層,剪切型支撐與鋼框架之間的相互作用也加大了剪切型支撐框架整體穩定臨界承載力解析計算的難度。本文分析了剪切型支撐的抗側剛度與結構臨界力之間的關系,推導了層臨界支撐剛度的計算公式,基于任意支撐下框架柱臨界內外剛度比系數的計算公式,利用該系數將求解剪切型支撐框架臨界承載力的二階問題轉化為計算結構的樓層有效抗側剛度的一階問題,使得結構臨界力的求解大為簡化。

1 剪切型支撐剛度與結構臨界力之間的關系

1.1 支撐抗側剛度

如圖1(a)帶有剪切型支撐的多層多跨鋼框架,支撐的作用可以等效為樓層橫梁處的水平彈簧,如圖1(b)所示。

(a) 剪切型支撐鋼框架

(b) 等效簡圖

利用剪切型支撐桿件的變形協調條件結合桿件的受力分析可得任意層支撐抗側剛度的計算式[9]

(1)

1.2 支撐抗側剛度與結構臨界力的關系

取圖1(a)所示的一個三跨四層單斜桿支撐鋼框架,層高和跨度均為4 000 mm,框架梁柱均采用HW200×200×8×12,支撐采用等邊角鋼,彈性模量E=206 kN/mm2,框架只承受作用在梁柱節點上的荷載,各層各節點上作用荷載均為100 kN,假定失穩時各柱同時達到臨界荷載,變化單斜桿支撐角鋼規格,采用有限元Ansys進行彈性屈曲計算,分析該支撐鋼框架臨界力的變化。如表1所示。

表1 剪切型支撐鋼框架的臨界承載力對比分析

從表1可以看出,當不設置單斜桿支撐時(類型①),即支撐抗側剛度為零,鋼框架臨界承載力最小,此時屬于無支撐自由側移鋼框架,發生有側移屈曲;隨著支撐斜桿面積增大,從類型②～⑥,支撐的抗側剛度也隨之增加,支撐鋼框架臨界承載力也逐漸增加,屬于弱支撐彈性側移鋼框架,發生有側移屈曲;從類型⑦～⑨,支撐抗側剛度增加顯著,但臨界力基本沒有增加,僅增加了0.2%,可以看出當支撐抗側剛度增加到一定程度,進一步增加支撐剛度無法提高結構臨界承載力,屬于強支撐無側移鋼框架,發生無側移屈曲。從類型①～⑨,支撐剛度逐漸增加,支撐鋼框架從有側移失穩逐漸過渡到無側移失穩,定義有側移失穩的臨界荷載與無側移失穩的臨界荷載相等時的支撐剛度為臨界支撐剛度。類型⑨支撐剛度約是類型⑦的4倍,此時支撐所提供剛度超過臨界支撐剛度很多,但該部分剛度對提高結構臨界承載力無幫助,屬于冗余剛度,該部分剛度未激活,僅當支撐剛度小于臨界支撐剛度,此時剛度才完全激活,稱為有效剛度,增加支撐剛度才能提高結構臨界承載力。目前的研究主要針對單根柱的臨界支撐剛度,而剪切型支撐鋼框架結構桿件眾多且存在層與層之間的相互作用,如何求解層支撐臨界剛度,計算剪切型支撐鋼框架結構臨界承載力還有待進一步研究。

2 層臨界支撐剛度

對于剪切型支撐鋼框架結構,鋼框架柱受到剪切型支撐的水平支撐作用,利用分離柱法[10]將需分析的局部柱從整體結構中分離出來,每根分離柱的柱端約束都可采用三個彈簧來模擬,如圖2所示。分離柱柱頂作用一側移剛度為cw的水平彈簧以模擬剪切型支撐對鋼框架柱的支撐作用,分離柱的柱頂和柱底受到轉動約束,采用兩個轉動彈簧來模擬,剛度分別為c1和c2。

圖2 分離柱的三彈簧模型

圖2所示剪切型支撐鋼框架三彈簧分離柱的穩定特征方程[11]為

6(R1+R2)ε4cosε-ε5sinε=0

(2)

(3)

圖3 框架柱臨界支撐剛度諾模圖

剪切型支撐鋼框架第i層層臨界支撐剛度cwTi為該樓層所有鋼柱臨界支撐剛度之和,可按照下式進行計算

(4)

層臨界支撐剛度是衡量樓層支撐剛度是否處于激活狀態的重要指標。只有支撐所提供剛度小于層臨界支撐剛度,支撐剛度才完全處于激活狀態,才是有效剛度;當剪切型支撐提供的樓層支撐剛度大于層臨界支撐剛度時,超出層臨界支撐剛度的部分,處于未激活狀態,該部分剛度的增加無法進一步提高結構臨界承載力,屬于無效剛度。

3 任意支撐柱的臨界剛度比系數

對于剪切型支撐鋼框架,由于桿件眾多,若直接利用平衡法求解,特征方程將更為冗長,求解將變得更為困難,因此需要尋找便于應用的求解方法。

(5)

式中：λ為臨界因子,數值上λ=Pcr/P,當結構處于臨界狀態時λ=1.0;α為臨界剛度比系數,對于柱水平支撐剛度介于零與臨界支撐剛度之間,第i層第j根弱支撐鋼框架柱的臨界剛度比系數可采用下式進行計算[13]

(6)

(a) 分離柱的擴展結構

(b) 彈簧-搖擺柱

(7)

由于式(7)計算無側移框架柱臨界剛度比系數冗長應用較為不便,故繪制無側移框架柱臨界支撐剛度比系數諾模圖,如圖5所示。

圖5 無側移框架柱臨界剛度比系數諾模圖

(8)

式(8)計算自由側移框架柱臨界剛度比系數應用較為不便,故繪制自由側移框架柱臨界剛度比系數諾模圖,如圖6所示。

圖6 自由側移框架柱臨界剛度比系數諾模圖

剪切型支撐鋼框架的三彈簧分離柱的抗側剛度為上下轉動約束柱抗側剛度與水平彈簧剛度的疊加,計算式如下[14]

(9)

同理對于剪切型支撐鋼框架第i樓層的抗側有效剛度ki應為該樓層所有框架柱抗側剛度與該層支撐有效剛度的總和,即：

(10)

式中：EIj為第i層第j根鋼柱抗彎剛度;R1j和R2j分別為第i層第j根柱上、下端橫梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值;hi為第i層層高;m為第i層鋼柱總根數;cwi為第i層層支撐有效剛度,當cwi>cwTi時,超出層臨界支撐剛度部分為無效剛度,無法提高臨界承載力,故僅考慮有效支撐剛度部分,取cwi=cwTi。

從式(5)可以看出,當確定了剪切型支撐鋼框架柱抗側有效剛度和臨界剛度比系數后,很容易求解得到不同屈曲模態下支撐柱的臨界承載力,其雖能考慮剪切型支撐與框架柱的相互作用,但對于剪切型支撐鋼框架存在同層柱的相互支援以及層與層之間的支援作用是無法考慮的,容易造成不合理設計,若將彈簧-搖擺柱中的水平彈簧替換為剪切型支撐鋼框架,求解整體結構的臨界剛度比系數又異常困難,因此,有必要尋找能考慮這兩種支援作用的剪切型支撐鋼框架結構臨界承載力的求解方法。

4 剪切型支撐鋼框架臨界承載力計算公式

計算剪切型支撐框架臨界承載力時,當剪切型支撐所提供剛度超出層臨界剛度部分屬于無效剛度,計算時取層臨界剛度,按此剛度確定支撐鋼框架層臨界力有側移和無側移兩者計算相等,故計算剪切型支撐鋼框架結構各層的整體抗側有效剛度,可參照有側移結構將每層抗側有效剛度視為一個彈簧,剪切型支撐鋼框架整體抗側有效剛度可視為每個彈簧的串聯,因此,剪切型支撐鋼框架第i層的整體抗側有效剛度Ki與層抗側有效剛度關系式為

(11)

式中,Ki為第i層的整體抗側有效剛度,k1,k2,…,ki為各層的抗側有效剛度,按式(10)計算。

由式(5)可得剪切型支撐鋼框架第i層荷載剛度kPi為

(12)

式中：αij為第i層第j柱的臨界剛度比系數,可由式(6)～(8)計算或通過查諾模圖5～圖6求得;Nij為第i層第j柱的軸力;mi為第i層柱的總根數。

按照剪切型支撐鋼框架結構整體抗側有效剛度的求法,結合式(12)將各層荷載剛度進行串聯可得剪切型支撐鋼框架結構整體荷載剛度計算公式

(13)

式中：KPi為第i層的整體荷載剛度;λi為第i層臨界因子。假定各柱的軸力均按比例加載,則存在：Nij=ξijNmin,其中,ξij為比例系數,Nmin為最小軸壓力。

(14)

由式(14)可求出剪切型支撐鋼框架臨界承載力,所求各層的臨界因子λi相等,即各層荷載剛度將各層抗側有效剛度同時消耗為零發生失穩而未產生層間相互支援,這種情況在實際工程中很少出現。若不考慮各層之間的支援作用而直接按此計算剪切型支撐鋼框架臨界承載力,容易造成不合理的設計。為了考慮這種不同樓層之間的支援作用,將式(14)所求出的層臨界因子λi按照層軸力權重加權平均的方法[15]求出剪切型支撐鋼框架結構整體臨界因子λ,得到修正后的剪切型支撐鋼框架整體穩定臨界承載力的計算公式

(15a)

(Nij)cr=ξij(λNmin)

(15b)

式中：Ni為第i層各柱軸力之和;λi為第i層的臨界因子,由式(14)求得,最小層臨界因子λmin所在樓層為薄弱層;λ為剪切型支撐鋼框架結構的整體臨界因子,通過層臨界因子與結構整體臨界因子的相對大小及比例關系可以定量地分析不同樓層之間的支援作用;(Nij)cr為第i層第j根鋼柱的臨界力;ηi為軸力權重參與系數,經過有限元回歸分析得到其與層臨界因子和最小層臨界因子比值的冪函數關系

(16a)

(16b)

由式(15b)求得剪切型支撐鋼框架柱臨界承載力后,可根據式(17)計算求得各柱的計算長度系數。

(17)

式中,μij為第i層第j根鋼柱的計算長度系數。

5 算 例

圖7所示的四跨六層剪切型支撐鋼框架公共建筑,剪切型支撐采用交叉斜桿,頂層由于建筑功能需要取消支撐。框架柱采用方箱型柱200 mm×8 mm,頂層梁采用HN248×124×5×8,其余各層梁采用HN300×150×6×9,交叉斜撐采用等邊角鋼L75×6 mm(1～3層)、L40×4 mm(4～5層),層高h為400 cm,各跨跨度為400 cm,彈性模量E=20 600 kN/cm2,荷載P為100 kN,用本文方法求解該剪切型支撐鋼框架結構臨界力及各層填充示意柱計算長度系數。

圖7 四跨六層交叉支撐鋼框架及軸力、二階效應系數

本文求解步驟：

步驟1由式(1)可求得各層剪切型支撐抗側剛度cwi,由式(4)求得層臨界支撐剛度cwTi,比較兩者的大小關系,根據式(10)計算各層抗側有效剛度ki,結果列入表2。

步驟2由式(6)～式(8)或查諾模圖5和圖6求得各柱的臨界剛度系數αij,詳見圖7。由式(12)計算剪切型支撐鋼框架各層荷載剛度kPi,結果詳見表2。

步驟3由式(11)求得結構各層整體抗側有效剛度Ki,由式(13)計算結構各層整體荷載剛度KPi;由式(14)求得各層層臨界因子λi,由式(16)求得各層軸力權重參與系數ηi,代入式(15a)求得結構整體臨界因子λ,結果列入表2。

步驟4由式(15b)求得各柱臨界力(Nij)cr,由式(17)確定剪切型支撐鋼框架結構各柱的計算長度系數,結果詳見表2。

為了便于比較分析,用本文方法和有限元Ansys分別進行了計算,Ansys求解時柱和梁均采用BEAM188單元,交叉斜撐采用LINK1單元,節點均為剛接,進行彈性屈曲分析,相關計算結果列入表2,忽略軸向變形的影響。

本文方法計算剪切型支撐鋼框架柱的臨界承載力和計算長度系數與有限元Ansys計算結果相比誤差均在5%以內,計算精度較好,表明考慮了交叉斜撐與鋼框架柱的相互作用、同層柱的相互支援以及層與層之間的支援作用,彌補了規范法無法確定弱支撐彈性側移類型鋼框柱計算長度系數的不足。

表2 剪切型支撐鋼框架柱臨界力及計算長度系數對比結果

本算例整體結構臨界因子λ=6.067,剪切型支撐鋼框架層臨界因子的最小值所在樓層為第二層,表明該層為結構薄弱層,該層臨界因子為5.518,該層從剛度富裕樓層獲得支援,提高了該層結構臨界承載力,提高比例為10%;該結構一層～三層層臨界因子均小于結構整體臨界因子,表明該三層結構無剛度富裕,從剛度較大樓層獲得剛度支援,臨界承載力有所提高;四層～六層層臨界因子大于結構整體臨界因子,表明該三層有剛度富裕,為剛度較小樓層提供了剛度支援,臨界承載力有所降低,其中六層雖未設置交叉斜撐但剛度富裕程度最高,主要是由于該層軸力小,荷載剛度對層抗側剛度消耗程度低,對薄弱層的支援有限。

6 結 論

(1) 提供了一種能較為準確地求解剪切型支撐鋼框架整體穩定臨界承載力的解析算法,既能考慮剪切型支撐對鋼框架柱的支撐作用,也能很好地考慮同層柱的相互支援以及層與層之間的支援作用,可以彌補目前《鋼結構設計標準》無法確定弱支撐框架柱計算長度系數的不足。

(2) 分析層支撐剛度與層臨界支撐剛度可以判斷剪切型支撐提供剛度的激活程度,有多少屬于激活的有效剛度,有多少屬于未激活的無效剛度。當剪切型支撐提供的抗側剛度大于層臨界支撐剛度后進一步提高該層的支撐剛度,無法提高結構臨界承載力。

(3) 分析樓層臨界因子和整體結構臨界因子可以判斷出結構薄弱層所在位置,提供了一種分析剪切型支撐鋼框架結構層與層之間支援作用的計算方法,能夠看出那些樓層提供支援,那些樓層獲得支援,可以定量地計算樓層臨界承載力的提高程度。