基于灰色馬爾可夫的小樣本路面性能預(yù)測

王曉蘭

（甘肅公航旅路業(yè)有限公司，甘肅蘭州 730030）

0 引言

由于路面材料、交通負(fù)荷和環(huán)境等因素的影響，路面性能會隨著使用年限的增加不斷惡化，因此需要及時對路面進(jìn)行維護(hù)和修復(fù)，以保證行車安全和舒適度。建立路面性能預(yù)測模型可以幫助道路管理者及時了解路面未來變化趨勢，并基于此作出決策，以降低道路資產(chǎn)損失。

目前，很多研究者采用了不同的預(yù)測方法對路面性能進(jìn)行預(yù)測分析。王志祥[1]人基于層次變權(quán)法對各實測分項指標(biāo)的權(quán)重進(jìn)行分配，并建立了基于瀝青路面技術(shù)狀況指數(shù)的灰色GM（1,1）預(yù)測模型。但灰色預(yù)測沒有考慮系統(tǒng)的隨機(jī)性，一旦受到多種因素共同影響且內(nèi)部因素難以劃定的時候，預(yù)測精度會降低。而馬爾可夫算法恰好可以彌補(bǔ)這種缺點。馬爾可夫算法能夠?qū)ξ磥頎顟B(tài)進(jìn)行預(yù)測，且不受之前狀態(tài)的影響。商博明[2]等利用新陳代謝思想，不斷更新灰色預(yù)測初始數(shù)據(jù)列，建立灰色預(yù)測模型并用馬爾可夫算法進(jìn)行了調(diào)整。研究證明，該方法確實能夠提高預(yù)測準(zhǔn)確性，但不斷更新灰色預(yù)測模型步驟較為繁瑣，且模型會不斷遺忘舊數(shù)據(jù)的影響。針對同一條公路不同路段的路面性能預(yù)測，蔣瑋[3]等采用熵值賦權(quán)對各路段進(jìn)行賦權(quán)，使得預(yù)測值更貼合實際情況。但目前的文獻(xiàn)中均采用了三年以上的數(shù)據(jù)量，對于只有三年歷史數(shù)據(jù)且路段較少的情況無法進(jìn)行對比研究。

由于路面性能數(shù)據(jù)收集難度較大，目前小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計預(yù)測問題越來越普遍，且越發(fā)受到相關(guān)工作人員的重視[4]。因此，為了能夠?qū)π颖緮?shù)據(jù)進(jìn)行更合理的分析，文章基于灰色馬爾可夫方法，對我國某國省干線2019—2021 年的路面技術(shù)狀況指數(shù)PQI 數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，從而為路面管理者進(jìn)行養(yǎng)護(hù)決策提供參考。

1 基于小樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測模型基本原理

1.1 灰色預(yù)測模型GM(1,1)

灰色預(yù)測模型是一種對具有不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法。通過識別系統(tǒng)因素發(fā)展趨勢的差異程度，處理原始數(shù)據(jù)以找到系統(tǒng)變化規(guī)律，以生成具有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型來預(yù)測事物的未來發(fā)展趨勢。其中最典型且最常用的模型是GM（1,1）模型。

1.2 馬爾可夫模型修正

馬爾可夫模型作為一種概率性預(yù)測模型，其典型特點是具有普遍性和無后效性。該模型的核心內(nèi)容是概率轉(zhuǎn)移矩陣，其可通過定義有限路面性能狀態(tài)退化概率的轉(zhuǎn)移矩陣來描述路面性能。

1.3 建模過程

應(yīng)用灰色預(yù)測GM（1,1）模型進(jìn)行預(yù)測研究。先針對灰色預(yù)測求出預(yù)測值，再根據(jù)預(yù)測值與實際值之間的相對誤差合理劃分狀態(tài)區(qū)間，以此建立馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并對預(yù)測值進(jìn)行修正。具體計算步驟如下：

第一，設(shè)初始數(shù)據(jù)列為X0：

式（1）中：n為數(shù)據(jù)個數(shù)。

第二，對X0進(jìn)行累加計算處理，得到：

式（2）中：X1為累加后的數(shù)列，其中：

第三，設(shè)X1的緊鄰均值生成數(shù)據(jù)列Z1：

第四，微分方程設(shè)為：

式（6）中：a為發(fā)展關(guān)系數(shù)；b為灰色作用量。

式（7）中：Y為常數(shù)項向量。

第六，根據(jù)微分方程得到預(yù)測序列：

第七，根據(jù)以上公式得到序列預(yù)測值：

第八，將預(yù)測值進(jìn)行累減，得到模型預(yù)測值：

第九，計算灰色預(yù)測模型的相對誤差ε：

第十，根據(jù)相對誤差劃分合理的狀態(tài)區(qū)間，記為En，(n=1,2,…,k)；

第十一，計算轉(zhuǎn)移概率pij，表示從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到Ej狀態(tài)的概率：

式（13）中：Nij表示狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的次數(shù)；Ni表示以Ei作為初始狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)。

第十二，計算狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的轉(zhuǎn)移矩陣：

第十三，設(shè)初始狀態(tài)向量為P0，轉(zhuǎn)移m次之后的向量記為Pm，得到：

2 實例分析

以某國省干線部分路段2019—2021 年中的PQI 數(shù)據(jù)為例，分別以2019 年 的PQI 值、2020 年 的PQI 值 作為初始向量，利用提出的方法進(jìn)行預(yù)測，將得到的2021 年P(guān)QI 值結(jié)果進(jìn)行比較分析。

2.1 灰色預(yù)測模型GM（1,1）的建立

所選取路段路面厚度相同，交通量范圍相同，長度均為1000m，路面均為瀝青路面。由于不同路段的管養(yǎng)單位、路齡等條件均不同，為了使每條路段的預(yù)測結(jié)果更準(zhǔn)確，針對不同的路段分別建立灰色預(yù)測模型，匯總結(jié)果如表1 所示。

表1 灰色預(yù)測結(jié)果

2.2 馬爾可夫誤差修正

根據(jù)計算得到的灰色預(yù)測值，利用式（12）計算2019—2021 年實際值與預(yù)測值之間的相對誤差。計算結(jié)果匯總?cè)绫? 所示。

根據(jù)相對誤差結(jié)果可知，相對誤差最小值為0.11%，最大值為21.83%，因此可將相對誤差劃分為三種狀態(tài)區(qū)間：E1[0，5%]；E2[5%，10%]；E3[10%，22%]，以此判斷每個路段每年的相對誤差分別處于哪個區(qū)間內(nèi)。根據(jù)劃分狀態(tài)情況可知，以初始狀態(tài)為E1、E2、E3 進(jìn)行轉(zhuǎn)移的情況分別有11、14、3 組。根據(jù)式（13）～式（14）計算狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣。將2019 年的狀態(tài)設(shè)為初始狀態(tài)，初始向量設(shè)為（1，0，0）。利用式（15）計算2020 年（即轉(zhuǎn)移一次）的誤差向量及相對誤差，在計算相對誤差時，分別取每種狀態(tài)區(qū)間的中值進(jìn)行計算，計算結(jié)果如表2 所示。

表2 誤差向量與相對誤差

得到相對誤差以后，依據(jù)式（16）對2020 年各個路段的灰色預(yù)測值進(jìn)行調(diào)整。計算2021 年的修正預(yù)測值時，以2020 年作為初始狀態(tài)，依舊采取求得的矩陣P 進(jìn)行計算，對其進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后的結(jié)果如表3所示。

表3 馬爾可夫修正后的預(yù)測值以及誤差

同理，以2020 年作為初始狀態(tài)（記為轉(zhuǎn)移一次誤差），對2021 年P(guān)QI 的灰色預(yù)測值進(jìn)行調(diào)整。根據(jù)馬爾可夫原理，以第一年狀態(tài)作為初始狀態(tài)，可以進(jìn)行m 次轉(zhuǎn)移。因此，以2019 年的相對誤差狀態(tài)作為初始狀態(tài)（記為轉(zhuǎn)移二次誤差），對2021 年的PQI 進(jìn)行調(diào)整，將得到的結(jié)果與轉(zhuǎn)移一次得到的結(jié)果進(jìn)行對比，方差計算結(jié)果如表4 所示。結(jié)果表明，以2020 年作為初始狀態(tài)向量的結(jié)果比以2019 年作為初始狀態(tài)所得出的結(jié)果方差更小，計算精度更高。

表4 轉(zhuǎn)移一次與轉(zhuǎn)移二次誤差結(jié)果比較

2.3 灰色預(yù)測與灰色馬爾可夫預(yù)測結(jié)果比較

將灰色預(yù)測值與用馬爾可夫調(diào)整后的預(yù)測值進(jìn)行對比分析，分別計算兩種方法求得的預(yù)測值與實際值之間的誤差。由表1、表4 結(jié)果可以看出，修正后的預(yù)測值相比于灰色預(yù)測，誤差均有不同程度的減少。但路段KS211 馬爾可夫調(diào)整后的誤差相比于灰色預(yù)測的誤差更大，原因是該路段的原始數(shù)據(jù)波動不大，三年的數(shù)據(jù)值存在較為明顯的線性關(guān)系，因此灰色預(yù)測值與實際值接近，誤差小于1。

3 結(jié)論

第一，針對只有三年數(shù)據(jù)量的小樣本數(shù)據(jù)來說，可以使用灰色馬爾可夫預(yù)測方法對路面技術(shù)狀況指數(shù)PQI 進(jìn)行預(yù)測，得到的預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確性較高。

第二，利用灰色預(yù)測對2019—2021 年的路面技術(shù)狀況指數(shù)PQI 進(jìn)行預(yù)測，此后建立馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣對預(yù)測值進(jìn)行調(diào)整。結(jié)果表明，在數(shù)據(jù)量極少且線性關(guān)系不明顯的情況下，馬爾可夫調(diào)整后的預(yù)測值相比于灰色預(yù)測值的誤差更小，預(yù)測精度更高。

第三，以2020 年的PQI 值作為初始向量，預(yù)測2021 年P(guān)QI 值，計算得到的方差為0.25，以2019 年作為初始向量，預(yù)測得到2021 年P(guān)QI 值，計算得到的方差為0.57。由此可見，以2020 年的PQI 值作為初始向量即轉(zhuǎn)移一次計算得到的預(yù)測結(jié)果精度更高，方差更小。