基于能量法的橡膠浮置板軌道結構彈性波分析

孫 彰，洪 顯，張 洪

（1.深圳鐵路投資建設集團有限公司，廣東 深圳518006； 2.華東交通大學交通運輸工程學院，江西 南昌330013）

隨著城市軌道交通的路線逐漸增多，沿線的環境振動問題日益突出，直接影響軌道結構的健康狀況和使用壽命以及列車運行的安全性及舒適性，必要時需要采取隔振措施。

軌道結構通?？梢钥醋饕粋€沿線路延伸方向排列的周期結構， 固體物理學研究表明周期結構具有特殊的波動特性， 處在特定頻率范圍內的彈性波無法在結構中傳播，稱之為帶隙特性[1-2]。帶隙特性僅需建立一個單元便能分析出無限尺度下的傳播特性， 這對于軌道結構和軌道減振措施的快速預測是極其有利的。 因此大量學者逐漸從波動的角度研究軌道結構的振動特性。 Grassie 等[3]建立離散點支撐軌道結構模型， 利用軌道結構周期特征， 結合傳遞矩陣法推導了周期性軌道結構振動響應的解析方法， 并結合試驗驗證了該模型50～1 500 Hz 頻率范圍內的正確性。Metrikine 等根據軌道結構的周期特征，建立三維周期性軌道結構模型，計算移動荷載作用下軌道結構動力響應[4-5]。代豐等[6]采用波導有限元方法分析了CRTS Ⅱ型軌道結構中波導特性， 對比分析了Timoshenko 梁模型和波導有限元模型的差異。易強[7]基于傳遞矩陣法建立周期性軌道結構彈性波傳播模型， 計算得到軌道結構中不同類型彈性波帶隙范圍， 并分析了軌道結構參數對彈性波帶隙的影響規律。 洪顯等[8]將滯變阻尼效應引入鋼軌、扣件和道床中，研究了周期性有砟軌道的頻散特性隨阻尼的變化情況。 綜上可知，帶隙特性也逐漸成為軌道結構減振的重要指標。

為降低軌道結構對沿線的環境振動問題，橡膠浮置板軌道由于其優異的減振性能被廣泛運用于軌道交通領域。 研究橡膠浮置板的減振性能與隔振機理，有利于更好的使用橡膠浮置板，對城市軌道交通的環境振動控制具有重要意義。 橡膠浮置板軌道通過降低軌道剛度隔離耗散輪軌沖擊振動，從而實現環境振動的控制[9]。馮青松等[10]以橡膠減振墊浮置板軌道作為減振軌道，研究了軌道過渡段對時域輪軌系統的動力響應，并分析了橡膠減振墊剛度對動力響應的影響。 王啟好等[9]從隔振墊橡膠的超彈性本構出發， 對橡膠浮置板軌道進行仿真分析，得到的頻域振級接近實測的數據。 韋凱等[11-12]針對減振墊浮置板軌道，從振動分析的角度研究并提出了減振評價指標，有助于指導我國浮置板軌道減振墊設計規范的制定。 綜上所述，對于橡膠浮置板軌道結構時域頻域的振動問題具有大量的研究，但對于橡膠浮置板軌道結構的傳遞機理缺乏深入的研究，尤其是從波動的角度。 因此開展橡膠浮置板軌道的研究具有重要的工程意義。

本文以城市軌道交通中3 種不同鋪設方式的橡膠浮置板軌道結構為研究對象，采用平面波級數和能量法[13]建立了其能帶計算模型，并通過有限元方法對該模型進行了準確性驗證。

1 橡膠浮置板軌道結構的能帶計算

1.1 橡膠浮置板能帶計算模型

橡膠浮置板軌道按橡膠支撐方式可以分為點鋪式、條鋪式和滿鋪式。 橡膠浮置板軌道系統為層狀結構，從上至下主要由鋼軌、扣件、浮置板、橡膠層等組成，其中橡膠層提供彈性與阻尼。

能量法能夠將邊值問題轉化為極值問題，能夠很好的處理耦合關系。 因此本文采用能量作為基本解法求解橡膠浮置板的能帶特性。 圖1 表示的是一個胞元的橡膠浮置板軌道的計算模型。 在鋼軌和軌道板上建立獨立坐標系，其中xrOryr為鋼軌坐標系，xsOsys為浮置板坐標系，lr和ls為鋼軌和浮置板的長度，ds為浮置板的寬度，lf為扣件間距，yf表示扣件在軌道板上的y 坐標。

圖1 一個橡膠浮置板軌道胞元計算圖Fig.1 Computational diagram of a rubber floating plate track cell element

1.2 橡膠浮置板的能量泛函

1） 位移形函數。本文主要考慮橡膠浮置板的低頻振動，因此不考慮鋼軌剪切效應，擬將鋼軌考慮為Euler 梁，浮置板采用薄板理論建模。 鋼軌的垂向振動位移wr根據Bloch 定理及平面波級數展開

浮置板的ws可以由形函數和與時間相關的未知系數表示

式中：α2={α2，1，α2，2，α2，3，...}T；N 和M 為用于模擬鋼軌和浮置板的x 方向和y 方向形函數個數，即截斷系數；?為Kronecker 積；ψ（x）為用于模擬x 方向形函數，ψ（x）={ ψ1（x），ψ2（x），...，ψN（x）}T；φ（y）為用于模擬y 方向形函數，φ（y）={ φ1（y），φ2（y），...，φM（y）}T。本文采用改進傅里葉級數為

式中：x 和y 為歸一化的坐標，0≤x≤1，0≤y≤1。

2） 鋼軌和浮置板的能量泛函。 根據Euler 梁理論和Kirchhoff 板理論，鋼軌與浮置板的動能、應變能可以分別表示為

式中：α=[α1，α2]T， 上標H 表示Hermite 轉置；Erail和Urail分別表示鋼軌的動能和應變能；Eslab和Uslab分別表示浮置板的動能和應變能；ρr，Ar，Er和Ir分別表示鋼軌的密度、橫截面面積、彈性模量和截面慣性矩；ρs，hs，Ds和μs分別表示浮置板的密度、厚度、抗彎剛度、泊松比，其中Ds=Eshs/（12（1-μs）2），Es為浮置板的彈性模量；Mrail、Krail和Mslab、Kslab分別為鋼軌與浮置板的質量矩陣和剛度矩陣。

3） 扣件能量泛函。 鋼軌和浮置板之間扣件相連，扣件采用彈簧模擬，其彈性勢能可以表示為

式中：xr，a，xs，a和ys，a分別表示第a 個扣件在鋼軌的x方向坐標，浮置板的x 和y 方向坐標；A 表示一塊軌道板上扣件的個數；kfastener表示扣件剛度；Kfastener是扣件的剛度矩陣。

4） 橡膠墊層的能量泛函。滿鋪式橡膠浮置板可以認為在浮置板底部有一層均布彈簧，橡膠墊層的能量可以表示為

式中：krubber為橡膠墊層的剛度；Kfull為滿鋪式橡膠的剛度矩陣。 條鋪式橡膠浮置板可以采用線彈簧進行模擬，其能量泛函為

式中：xs，b為條鋪式橡膠在浮置板上的x 坐標；Kline為條鋪式橡膠的剛度矩陣。 點鋪式橡膠浮置板考慮為點支撐彈簧，其能量泛函為

式中：xs，c和ys，c分別表示點鋪式橡膠在軌道板上x坐標和y 坐標；C 表示鋪設橡膠層的個數；Kdot表示點鋪式橡膠的剛度矩陣。

5） 總能量泛函。將各部分的能量泛函組合起來，便形成了總能量泛函，圖2 所示模型的能量泛函為

圖2 橡膠浮置板軌道結構有限元模型圖Fig.2 Diagram of finite element model of rubber floating slab track structure

式中：M=Mrail+Mslab，K=Krail+Kslab+Kfastener+Kfull。

1.3 運動特征方程

對總能量泛函Π 變分求解，即將式（12）帶入拉格朗日方程

便可得到橡膠浮置板軌道的運動方程為

式中：ω 為振動圓頻率。 在布里淵區[-π/lr，π/lr]掃描波數， 便可得到周期性橡膠板軌道結構的帶隙特性。

2 橡膠浮置板軌道模型驗證

為驗證理論計算結果的準確性，本小節將以橡膠浮置板軌道結構為對象，參數如表1 所示[14-15]。 選用有限元軟件（COMSOL Multiphysics）建立周期性橡膠浮置板軌道結構模型，如圖2 所示。

表1 橡膠浮置板軌道結構參數表Tab.1 Parameters of rubber floating slab track structure

鋼軌、浮置板，扣件與橡膠墊層參數取值均參照表1。利用有限元軟件為鋼軌邊界賦予Floquet 周期性邊界條件，浮置板內側賦予對稱邊界條件。 計算時，在COMSOL 中選擇物理場控制網格，單元劃分大小選擇常規，網格數為89 602。 求得帶隙特性與本文理論計算結果對比如圖3 所示，其中藍色散點圖即為有限元計算結果。

圖3 橡膠浮置板軌道結構帶隙特性對比圖（有限元解與理論解）Fig.3 Comparison of band gap characteristics of rubber floating slab track structure（FEM solution and theoretical solution）

根據上述參數，基于能量泛函變分和平面波級數的混合方法求得200 Hz 內橡膠浮置板軌道結構垂向振動的帶隙特性如圖3 中紅色實線所示。 為方便后續的分析， 圖3 中引入了無量綱參數Q=k/（π/lr）, 因波數k 的取值范圍在第一布里淵區（-π/l，π/l），故Q 的取值范圍為（-1，1）。 為減少后續分析的工作量， 本文將忽略帶寬不足5 Hz 及相對帶寬小于5%的帶隙。

通過圖3 對比可以看到，兩種方法所求的頻散曲線基本吻合，二者均存在4 階帶隙，二者帶隙頻段對照結果如表2 所示。 由表可知，二者對應帶隙頻段基本一致，誤差皆在5%以內，這也驗證了本文方法求解帶隙特性的準確性。

表2 橡膠浮置板軌道帶隙頻段對比表Tab.2 Comparison of band gap frequency of rubber floating slab track

3 橡膠浮置板軌道結構參數對帶隙特性的影響分析

3.1 不同支撐形式的影響

本小節將分析3 種布設方式對結構內部彈性波傳播的影響。 條鋪式中彈性墊層布設于鋼軌對應的浮置板下方，點鋪式布設位置與之相同，布設間距為1.2 m，其余均與前文滿鋪式結構參數相同。 分別求得頻散曲線如圖4 所示，由圖4 可以看到，3 種布設方式下， 條鋪式的第一階帶隙截止頻率最低，滿鋪式第一階截止頻率最大。 除此之外，100～200 Hz內的曲線幾乎無變化，且布設方式并未改變總帶隙階數。 在橡膠墊層的剛度相同時，相較于滿鋪式而言， 條鋪式與點鋪式布設工況下的通帶帶寬更大，這說明能夠在軌道結構內傳播的彈性波更多，二者抑制低頻波向下傳播的能力更強。

圖4 滿鋪式、條鋪式與點鋪式橡膠浮置板軌道結構帶隙特性對比圖Fig.4 Comparison of band gap characteristics of paved rubber floating slab track structure in full paved，strip paved and point paved

3.2 橡膠墊層剛度變化的影響

為探究剛度對橡膠浮置板軌道帶隙特性的影響，在其他參數保持不變的情況下，將橡膠墊層剛度由1×107N/m 增至5×107N/m，得到帶隙特性變化如圖5 所示。 由圖5 可得，橡膠墊層剛度的增大對第一階帶隙的影響最為明顯，其增幅增長了約1.23倍。 這是由于隨著剛度的增加，浮置板與下方地基的耦合作用增強，從而使得更多的波無法在鋼軌內傳播，向下方浮置板傳播。 此外，值得注意的是，橡膠墊層剛度增加對第四階帶隙截止頻率的影響微乎其微。 可見，橡膠墊層剛度對50 Hz 以下的帶隙影響更大，那么對于低頻隔振，可以采用適當改變橡膠墊層剛度的方式來調節結構間的耦合強度、 設計浮置板軌道的隔振頻率，以達到更好的隔振效果。

圖5 橡膠墊層剛度變化對橡膠浮置板軌道結構帶隙特性影響圖Fig.5 Comparison of band gap characteristics of paved rubber floating slab track structure in full paved, strip paved or point paved

4 動力吸振器對橡膠浮置板軌道結構彈性波調控分析

動力吸振器（dynamic vibration absorber，DVA）由彈簧、阻尼與質量塊組成，能夠在不改變浮置板質量與橡膠墊層剛度的情況下抑制軌道結構的振動。 由于本文主要針對低頻振動分析，為更進一步降低橡膠浮置板軌道結構的隔振頻率，本文將其作為減振設計對象，從波動的角度分析浮置板動力吸振器對低頻彈性波傳播的影響機理。 將DVA 工作頻率設計為第一階帶隙的截止頻率，將之置于浮置板之上，如圖6 所示，每隔1.2 m 布設1 個動力吸振器，詳細參數參考文獻[16]。

圖6 附有動力吸振器的橡膠浮置板軌道結構圖Fig.6 Diagram of rubber floating slab track structure with dynamic vibration absorber

滿鋪式、條鋪式及點鋪式橡膠浮置板軌道結構鋪設DVA 后的帶隙特性如圖7 所示， 其中實線為初始帶隙特性曲線，虛線表示附有DVA 后的曲線。首先，觀察圖7（a）滿鋪式，可以看到第一階帶隙截止頻率由26.8 Hz 升至27.7 Hz，第二階帶隙由27.7 Hz～29.8 Hz 變為32.7～36.1 Hz。滿鋪式與另二者有所不同，其第一條帶隙曲線變化最為明顯，其變化表明在添加DVA 后， 可在軌道結構內部傳播的頻段得到了拓寬，意味著向下傳播的彈性波減少，軌道結構的隔振能力增強。 其次值得注意的是，在添加吸振器后條鋪式與點鋪式的變化相似， 二者的第一、二階帶隙截止頻率均有所降低。這表明浮置板DVA的添加使橡膠浮置板軌道結構具有更低隔振頻率，在低頻處的隔振性能增強。 這是由于DVA 與浮置板結構產生共振，將其共振頻率附近的彈性波吸收并耗散，使其無法通過橡膠層向下傳播，增強了軌道結構的低頻減振能力。

圖7 附有DVA 的橡膠浮置板軌道帶隙特性圖Fig.7 Diagram band gap characteristics of rubber floating slab track structure with DVA

5 結論

1） 在軌道結構內部其它參數不變的情況下，相較于條鋪式、點鋪式，滿鋪式的第一階帶隙截止頻率較高，條鋪式與點鋪式具有更低的截止頻率和更寬的通帶帶寬。

2） 相較于普通橡膠浮置板軌道而言，附有動力吸振器的橡膠浮置板軌道結構具有更低頻的隔振能力，且吸振器對滿鋪式軌道結構隔振能力影響最為明顯。 利用該特性可實現對特定頻段彈性波的有效調控，增強耗散作用，從而達到降低軌道運行過程中產生振動與噪聲的目的。