具有飽和恢復(fù)率的SEIR時(shí)滯模型的行波解
2024-01-16 10:30:08衛(wèi)珍妮
DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.005
收稿日期：20221229;修改稿收到日期：20230320
作者簡(jiǎn)介：衛(wèi)珍妮（1998—），女，陜西西安人，碩士研究生.主要研究方向?yàn)槲⒎謩?dòng)力系統(tǒng)及其應(yīng)用.
Email：2829088212@qq.com
摘要：研究一類具有飽和恢復(fù)率的SEIR時(shí)滯模型的行波解.首先，考慮一類二維系統(tǒng)初值問題的適定性；然后，通過構(gòu)造一對(duì)有界的向量值上、下解得到一個(gè)閉凸集；最后，利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明：當(dāng)基本再生數(shù)R0>1，波速c>c*時(shí)模型存在非平凡行波解.
關(guān)鍵詞：SEIR模型；飽和恢復(fù)率；時(shí)滯；行波解；Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理
中圖分類號(hào)：O 175.1??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A??? 文章編號(hào)：1001-988Ⅹ（2024）01-0020-10
Traveling wave solutions for a delayed SEIR model with
saturated recovery rate
WEI Zhen-ni
（School of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xian 710071，Shaanxi，China）
Abstract：The traveling wave solutions are discussed for a delayed SEIR epidemic model with saturated recovery rate.Firstly，the well-posedness of the initial value problem for a class of two-dimensional system is considered.Then by constructing the bounded vector-value upper-lower solutions，a closed convex set is obtained.Finally，the existence of nontrivial traveling wave solutions is proved for basic reproduction number R0>1，wave velocity c>c* by applying the Schauders fixed point theorem.
Key words：SEIR model;saturated recovery rate;time delay;traveling wave solution;Schauders fixed point theorem
0? 引言
為研究瘟疫的傳播，1927年，Kermack等［1］提出了經(jīng)典的SIR模型
ddtS（t）=-βS（t）I（t），
ddtI（t）=βS（t）I（t）-γI（t），
ddtR（t）=γI（t），（1）
其中S（t），I（t），R（t）分別代表易感者、感染者和康復(fù)者的人口密度；β，γ分別代表感染率和恢復(fù)率.令S（0）=S0表示疫情之初易感者的人口密度，則R0=βS0/γ在模型（1）中定義了閾值行為：R0>1，感染者數(shù)量增至最大值而后降低為零，意味著疾病暴發(fā)；R0<1，則疾病消亡.稱R0為模型（1）的基本再生數(shù).
考慮易感者和感染者個(gè)體隨機(jī)游走等因素，Hosono等［2］提出了具有局部擴(kuò)散的SIR模型
tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-
βS（x，t）I（x，t），
tI（x，t）=d2ΔI（x，t）+
βS（x，t）I（x，t）-γI（x，t），（2）
并證明了：當(dāng)βS0>γ，c≥c*=2d2（βS0-γ）時(shí)，系統(tǒng)（2）存在連接（S0，0）和（S∞，0）的行波解
（φ（x+ct），ψ（x+ct））；當(dāng)βS0≤γ時(shí)，系統(tǒng)不存在行波解.
近年來(lái)，反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解問題得到了越來(lái)越多的關(guān)注，原因在于行波現(xiàn)象廣泛存在于化學(xué)、物理、生態(tài)學(xué)等諸多學(xué)科中.行波解是一類形式不變的特殊解，一方面，在理論研究中，它可以作為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解揭示方程的一些固有性質(zhì)；另一方面，在實(shí)際建模應(yīng)用中，它可以較好地刻畫自然界的某種傳播現(xiàn)象，例如傳染源以特定速度在空間中的傳播.關(guān)于行波解的存在性問題讀者可參見文獻(xiàn)［3-11］.
2009年，Ducrot等［3］研究了一類具有感染年齡結(jié)構(gòu)的擴(kuò)散SIR 模型行波解的存在性.基于文獻(xiàn)［3］的方法，一些學(xué)者研究了非局部擴(kuò)散 SIR 模型和動(dòng)物流感模型的行波解.Wang等［5］通過構(gòu)造一個(gè)不變錐并借助 Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了具有非局部時(shí)滯的擴(kuò)散 SIR 模型行波解的存在性；Zhang 等［6］研究了配合治療的流感模型行波解的存在性.根據(jù)多數(shù)情況下疾病發(fā)生的兩個(gè)特點(diǎn)：一是疾病早期具有潛伏期，二是感染者痊愈后具有一定的免疫力；Schwartz等［12］提出了易感者-暴露者-感染者-移出者（SEIR）模型并對(duì)此做了深入研究.Tian等［10］研究了具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的擴(kuò)散 SEIR 模型行波解的存在性，得到了更精確的最小波速的估計(jì).考慮人口分布的非齊次性等實(shí)際情況，Xu［11］建立了具有飽和發(fā)生率的擴(kuò)散 SEIR 模型，討論了模型非平凡行波解的存在性，并給出基本再生數(shù)的顯式表達(dá)式.結(jié)合屬地醫(yī)院醫(yī)療條件，Zhou等［13］分析了具有飽和恢復(fù)率的 SEIR 模型的全局動(dòng)力學(xué)行為.
基于以上文獻(xiàn)，本文考慮具有飽和恢復(fù)率的 SEIR 模型
tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-
βS（x，t）g（I（x，t）），
tE（x，t）=d2ΔE（x，t）-
βS（x，t）g（I（x，t））-
βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ）），
tI（x，t）=d3ΔI（x，t）-
βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ））-
γI（x，t）-rhI（x，t）b+I（x，t），
tR（x，t）=d4ΔR（x，t）+γI（x，t）+
rhI（x，t）b+I（x，t），（3）
其中S（x，t），E（x，t），I（x，t），R（x，t）分別表示t時(shí)刻在空間位置x處易感人群、暴露人群、感染人群和移出人群的密度，暴露人群是指患病但不具備傳染能力的一類人；di>0（i=1，2，3，4）分別為S，E，I，R的擴(kuò)散系數(shù)，β和γ分別為感染者的有效傳染率和自然恢復(fù)率；βSg（I）=βSI/（1+aI）（a>0）刻畫感染人群的“擁擠效應(yīng)”，即隨著感染者的增多，疾病的感染能力接近飽和，其中a表示飽和度.
考慮到疫情嚴(yán)重時(shí)期，待治療的患者數(shù)量可能超過屬地醫(yī)院的最大容納量，從而醫(yī)護(hù)人員、床位、設(shè)備等醫(yī)療資源趨于飽和，故引入感染者的飽和恢復(fù)率h（I）=rhI/（b+I），其中rh表示單位時(shí)間內(nèi)醫(yī)院收治的患者最大恢復(fù)率，b是半飽和常數(shù)，表示感染者達(dá)到50%恢復(fù)率時(shí)的人口密度（h（b）=rh/2），用于衡量飽和發(fā)生的速度.此外，大規(guī)模流行病一般存在潛伏期，也就是易感者與感染者有效接觸后，易感者隨即成為不具有染病能力的暴露者，需要經(jīng)過一段時(shí)間才由暴露者轉(zhuǎn)化為感染者，故引入時(shí)滯參數(shù)τ.模型考慮區(qū)域短時(shí)間內(nèi)疾病的傳播，因而不考慮人群的自然出生和死亡.
本文考慮時(shí)滯偏微分系統(tǒng)（3）行波解的存在性，我們證明了：存在c*>0使得當(dāng)c>c*，βS-∞>γ+rh/b時(shí)，系統(tǒng)（3）存在非平凡行波解.模型引入的飽和恢復(fù)率使得系統(tǒng)上、下解的構(gòu)造與以往不同，故研究的困難在于構(gòu)造合適的不變集.我們嘗試構(gòu)造一對(duì)有界的上、下解，借此得到一個(gè)不變集，而后在其上定義非單調(diào)算子并應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，最終得到行波解的存在性.
1? 初值問題的適定性
首先討論系統(tǒng)（3）對(duì)應(yīng)的二維初值問題的適定性.由于系統(tǒng)（3）關(guān)于變量E，R是解耦的，故考慮二維系統(tǒng)
tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-
βS（x，t）g（I（x，t）），
tI（x，t）=d3ΔI（x，t）+
βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ））-
γI（x，t）-rhI（x，t）b+I（x，t），（4）
其中g(shù)（I）=I/（1+aI），初值條件為
S（x，θ）=φ1（x，θ）≥0，
I（x，θ）=φ2（x，θ）≥0，
θ∈［-τ，0］，x∈R.（5）
令X=BUC（R，R2）表示從R到R2的有界且一致連續(xù)函數(shù)的集合，則X+=BUC（R，R2+）是X的正錐.（X，·X）表示具有上確界范數(shù)的Banach空間.R2中任意向量可以看作是X中的元素.給定u=（u1，u2），=（1，2）∈X，若ui（x）≥i（x），i=1，2，x∈R，則記作u≥.
對(duì)任意τ>0，定義空間Y=C（［-τ，0］，X），其范數(shù)為上確界范數(shù)，則Y是一個(gè)Banach空間.定義空間Y+=C（［-τ，0］，X+），則（Y，Y+）為強(qiáng)序空間.給定元素φ：［-τ，δ］X（δ>0），定義φt∈Y為：
φt（θ）=φ（t+θ），θ∈［-τ，0］.
對(duì)于任意φ=（φ1，φ2）∈Y+，定義算子f=（f1，f2）：Y+X為：
f1（φ）（x）=-βφ1（x，0）g（φ2（x，0）），
f2（φ）（x）=βφ1（x，-τ）g（φ2（x，-τ））-
γφ2（x，0）-rhφ2（x，0）b+φ2（x，0），
則f在Y+的任意有界子集上是Lipschitz連續(xù)的.
定義
CφM={φ∈Y：0≤φ（x，θ）<φM，
x∈R，θ∈［-τ，0］}，
其中
φM=S-∞，1aβS-∞γ-1.
定理1? 對(duì)于任意給定初值φ=（φ1，φ2）∈CφM，系統(tǒng)（4）～（5）在［0，∞）上存在唯一的非負(fù)解滿足S（x，θ）=φ1（x，θ），I（x，θ）=φ2（x，θ），并且對(duì)任意t≥0，有（S，I）t∈CφM.
證明? 對(duì)任意初值φ=（φ1，φ2）∈CφM以及充分小的正數(shù)h，有
φ（x，0）+hf（φ）（x）≥
1-hβaφ1（x，0）
1-hrhbφ2（x，0）.
從而令0≤h≤min{a/β，b/rh}，則
φ（x，0）+hf（φ）（x）≥0.
另一方面，因?yàn)閔
φ（x，0）+hf（φ）（x）≤
φ1（x，0）
1-hrhb+φ2（x，0）φ2（x，0）≤
S-∞
1aβS-∞γ-1.
因此φ（0）+hf（φ）∈CφM，即
limh→0+1hdist（φ（0）+hf（φ），CφM）=0，φ∈CφM.
由文獻(xiàn)［14］推論4可知，系統(tǒng)（4）～（5）在［0，∞）×R上存在唯一的非負(fù)適度解（S，I）滿足初值條件，并對(duì)任意t≥0，（S，I）t∈CφM.此外，由文獻(xiàn)［15］推論2.5可知，在［τ，∞）上，（S，I）解也為古典解.? 】
2? 上、下解的構(gòu)造
本節(jié)主要討論系統(tǒng)上、下解的構(gòu)造，進(jìn)而利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明行波解的存在性.
顯然，（S-∞，0）是系統(tǒng)（4）的初始無(wú)病平衡點(diǎn)，其中S-∞表示疫情之前易感者的人口密度.設(shè)系統(tǒng)存在非平凡行波解（S（x+ct），I（x+ct）），令ξ=x+ct，則系統(tǒng)（4）改寫為常微分系統(tǒng)
cS′（ξ）=d1S″（ξ）+βS（ξ）g（I（ξ）），
cI′（ξ）=d3I″（ξ）+βS（ξ-cτ）×
g（I（ξ-cτ））-γI（ξ）-
rhI（ξ）b+I（ξ）.（6）
對(duì)任意ξ∈R，S（ξ），I（ξ）應(yīng)當(dāng)滿足邊界條件
S（-∞）=S-∞， S（∞） I（±∞）=0.（7） 系統(tǒng)（6）關(guān)于變量I在無(wú)病平衡點(diǎn)（S-∞，0）處線性化可得 d3I″（ξ）-cI′（ξ）-γ+rhbI（ξ）+ βS-∞I（ξ-cτ）=0. 令I(lǐng)（ξ）=eλξ，則系統(tǒng)相應(yīng)的特征方程為 Δ（λ，c）=d3λ2-cλ-λ+rhb+βS-∞e-λcτ=0. 根據(jù)文獻(xiàn)［16］可得如下引理. 引理1? 假設(shè)βS-∞>γ+rh/b，則存在λ*>0，c*>0使得 Δ（λ*，c*）=0， Δλ（λ，c）（λ*，c*）=0. 此外， （i）若0 （ii）若c>c*，則特征方程Δ（λ，c）=0有兩個(gè)正根λ1（c）=λ1，λ2（c）=λ2滿足0<λ1<λ*<λ2，且當(dāng)λ∈（λ1，λ2）時(shí)，Δ（λ，c）<0；當(dāng)λ∈［0，λ1）∪（λ2，∞）時(shí)，Δ（λ，c）>0. 為了利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明系統(tǒng)（4）行波解的存在性，首先考慮構(gòu)造一個(gè)凸不變集.為此，根據(jù)文獻(xiàn)［5］，構(gòu)造了一對(duì)上、下解，不同于文獻(xiàn)［5］的是：上、下解在t∈R上有界.本節(jié)假定βS-∞>γ+rh/b，c>c*. 對(duì)于ξ∈R，定義連續(xù)函數(shù) S+（ξ）=S-∞， I+（ξ）=mineλ1ξ（1-M1eη1ξ）， 1aβS-∞γ-1， S-（ξ）=maxS-∞-1σeσξ，0， I-（ξ）=max{eλ1ξ（1-M2eη2ξ），0}， 其中σ，M1，M2，η1，η2是正常數(shù). 引理2? S+（ξ）滿足 d1S″+（S）-cS′+（ξ）-βS+（ξ）g（I-（ξ））≤0， ξ∈R. 引理3? 令η1>0，M1充分小，則I+（ξ）滿足 d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+ βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））- γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤0， ξ≠ξ1，（8） 其中ξ1滿足 eλ1ξ（1-M1eη1ξ）=1aβS-∞γ-1. 證明? 當(dāng)ξ>ξ1時(shí)，I+（ξ）=eλ1ξ（1-M1eη1ξ）.對(duì)所有ξ∈R有I+（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ），且對(duì)所有x>0有g(shù)（x）≤x，所以 d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+ βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））- γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤ d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）-γI+（ξ）+ βS+（ξ-cτ）I+（ξ-cτ）= eλ1ξΔ（λ1，c）+rhb- M1e（λ1+η1）ξ Δ（λ1+η1，c）+rhb≤0. 當(dāng)ξ<ξ1時(shí)， I+（ξ）=1aβS-∞γ-1. 同理 I+（ξ）≤1aβS-∞γ-1 且g（x）關(guān)于x遞增，所以 d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+ βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））- γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤ d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）- γI+（ξ）+βS-∞g（I+（ξ-cτ））= γaβS-∞γ-1- γaβS-∞γ-1=0. 因此不等式（8）成立.? 】 引理4? 令 σ 則S-（ξ）滿足 d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥0， ξ≠ξ2：=1σln（σS-∞）. 證明? 當(dāng)ξ≥ξ2時(shí)S-（ξ）=0，不等式顯然成立.當(dāng)ξ<ξ2時(shí)S-（ξ）=S-∞- eσξ/σ>0.對(duì)任意ξ∈R，I+（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ）≤eλ1ξ，且對(duì)任意x>0有g(shù)（x）≤x，所以 d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥ d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）I+（ξ）= -d1σeσξ+ceσξ-βS-∞-1σeσξeλ1ξ≥ eσξ（-d1σ+c-βS-∞e（λ1-σ）ξ）. 由eσξ<σS-∞，2σ<λ1可得e（λ1-σ）ξ<（σS-∞）（λ1-σ）/σ，于是 d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥ eσξ（-d1σ+c-βS-∞（σS-∞）（λ1-σ）/σ）. 由（9）式可知，（σS-∞）（λ1-σ）/σ<σS-∞<1，所以 d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥ eσξ（-d1σ+c-βσ（S-∞）2）≥0.? 】 引理5? 令η1<η2 M2>max1，M1，-βe-λ1cτ（1+aσS-∞e-λ1cτ）σΔ（λ1+η2，c）， 則I-（ξ）滿足 d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+ βS-（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））- γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥0，（10） 其中ξ≠ξ3=-lnM2/η2. 證明? 當(dāng)ξ≥ξ3時(shí)I-（ξ）=0，不等式恒成立.當(dāng)ξ<ξ3<0時(shí)I-（ξ）=eλ1ξ（1-M2eη2ξ）.對(duì)所有x≥0有g(shù)（x）≥x（1-ax），且 S-∞-1σeσξ≤S-（ξ）≤S-∞， eλ1ξ（1-M2eη2ξ）≤I-（ξ）≤ eλ1ξ（1-M1eη1ξ）， ξ∈R. 所以 d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+ βS-（ξ-cτ）g（I-（ξ-cτ））- γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥ d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）-γ+rhbI-（ξ）+ βS-（ξ-cτ）I-（ξ-cτ）（1-aI-（ξ-cτ））≥ d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）-γ+rhbI-（ξ）+ βS-∞-1σeσξ （eλ1（ξ-cτ）-M2e（λ1+η2）（ξ-cτ）- aβS-∞e2λ1（ξ-cτ）≥ -M2Δ（λ1+η2，c）e（λ1+η2）ξ- βσeσξ（eλ1（ξ-cτ）-M2e（λ1+η2）（ξ-cτ））- aβS-∞e2λ1（ξ-cτ）≥ e（λ1+η2）ξ-M2Δ（λ1+η2，c）- βσe-λ1cτe（σ-η2）ξ-aβS-∞e-2λ1cτe（λ1-η2）ξ. 由于η2 d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+βS-（ξ-cτ）× g（I-（ξ-cτ））-γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥ e（λ1+η2）ξ-M2Δ（λ1+η2，c）- βσe-λ1cτ-aβS-∞e-2λ1cτ>0. 因此不等式（10）成立.? 】 下面利用構(gòu)造的上、下解（S+（ξ），I+（ξ））和（S-（ξ），I-（ξ））驗(yàn)證Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理成立的條件.為閱讀方便和計(jì)算，記擴(kuò)散系數(shù)d3=Δd2. 當(dāng)c>c*時(shí)，定義CφM上的非空閉凸集 Γ={（S，I）∈CφM：S-（ξ）≤S（ξ）≤ S+（ξ），I-（ξ）≤I（ξ）≤I+（ξ）}. 定義算子G=（G1，G2）：ΓCφM為 G1（S，I）（ξ）：=α1S（ξ）-βS（ξ）g（I（ξ））， G2（S，I）（ξ）：=（α2-γ）I（ξ）+ βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））-rhI（ξ）b+I（ξ）， 其中αi（i=1，2）是常數(shù)，且α1>β/a，α3>（γb+rh）/b.則系統(tǒng)（6）改寫為 d1S″（ξ）-cS′（ξ）-α1S（ξ）+ G1（S，I）（ξ）=0， d2I″（ξ）-cI′（ξ）-α2I（ξ）+ G2（S，I）（ξ）=0.（11） 令Λ-i<0<Λ+i（i=1，2）為方程diΛ2-cΛ-αi=0的根，根據(jù)韋達(dá)定理可得Λ-iΛ+i=-αi/di.定義算子F=（F1，F(xiàn)2）：ΓC（R，R2）為 F1（S，I）（ξ）：=1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+ ∫∞ξeΛ+1（ξ-x）G1（S，I）（x）dx， F2（S，I）（ξ）：=1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+ ∫∞ξeΛ+2（ξ-x）G2（S，I）（x）dx， 其中ρi=di（Λ+i-Λ-i）（i=1，2）.容易驗(yàn)證F的任何不動(dòng)點(diǎn)都是系統(tǒng)（11）的解，亦是系統(tǒng)（4）的行波解.因此證明系統(tǒng)（6）解的存在性轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證算子F滿足Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的條件.這里將證明分成兩個(gè)引理. 引理6? 算子F是Γ上的映射. 證明? 給定（S，I）∈Γ，只需證Fi（S，I）∈Γ（i=1，2）.基于常數(shù)αi（i=1，2）的選取，需證明對(duì)任意ξ∈R，有 S-（ξ）≤F1（S-，I+）（ξ）≤F1（S，I）（ξ）≤ F1（S+，I-）（ξ）≤S+（ξ），（12） I-（ξ）≤F2（S-，I-）（ξ）≤F2（S，I）（ξ）≤ F2（S+，I-）（ξ）≤I+（ξ）.（13） 首先證明（12）式成立.當(dāng)ξ>ξ2時(shí)，由（11）式可得 F1（S-，I+）（ξ）= 1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× G1（S-，I+）（x）dx= 1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× （α1S-（x）+cS′-（x）-d1S″-（x））dx≥ S-（ξ）+d1ρ1eΛ-1（ξ-ξ2）（S′-（ξ2+0）- S′-（ξ2-0））≥S-（ξ）. 由F1（S-，I+）（ξ）和S-（ξ）的連續(xù)性可知，當(dāng)ξ<ξ2時(shí)，有 F1（S-，I+）（ξ）≥S-（ξ）. 對(duì)任意ξ∈R有G1（S，I）（ξ）≤α1S（ξ），從而 F1（S+，I-）（ξ）= 1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× G1（S+，I-）（x）dx≤ 1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）α1S+（x）dx≤ α1S-∞ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）dx+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）dx= α1S-∞ρ11Λ+1-1Λ-1=S-∞. 因此（12）式成立. 下證（13）式成立.當(dāng)ξ>ξ3時(shí)，由（10）式可得 F2（S-，I-）（ξ）= 1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）× G2（S-，I-）（x）dx≥ 1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× （α2I-（x）+cI′-（x）-d2I″-（x））dx≥ I-（ξ）+d2ρ2eΛ-2（ξ-ξ3）（I′-（ξ3+0）- I′-（ξ3-0））≥I-（ξ）. 當(dāng)ξ<ξ1時(shí)，由（8）式可得 F2（S+，I+）（ξ）= 1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）× G2（S+，I+）（x）dx≤ 1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）× （α2I+（x）+cI′+（x）-d2I″+（x））dx= α2ρ2I+（ξ）∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）dx+ ∫∞ξeΛ+2（ξ-x）dx=I+（ξ）. 進(jìn)一步應(yīng)用F2（S，I）（ξ），I-（ξ），I+（ξ）的連續(xù)性，可得（13）式成立.? 】 設(shè)存在常數(shù)λ>0，使得λ<-min{Λ-1，Λ+1}.定義空間 Bλ（R，R2）=（S，I）∈CφM： supξ∈RS（ξ）e-λ｜ξ｜<+∞， supξ∈RI（ξ）e-λ｜ξ｜<+∞ 及范數(shù) （S，I）λ=maxsupξ∈RS（ξ）e-λ｜ξ｜， supξ∈RI（ξ）e-λ｜ξ｜， 則Bλ（R，R2）是從R到R2且具有衰減范數(shù)·λ的Banach空間. 引理7? 算子F=（F1，F(xiàn)2）：ΓΓ關(guān)于范數(shù)·λ在Bλ（R，R2）上是全連續(xù)的. 證明? 對(duì)任意（S，I），（，）∈Γ，由微分中值定理可知：存在常數(shù)L>0，對(duì)任意ξ∈R，有 G1（S，I）（ξ）-G1（，）（ξ）≤ L（S（ξ）-（ξ）+I（ξ）-（ξ））， G2（S，I）（ξ）-G2（，）（ξ）≤ L（S（ξ-cτ）-（ξ-cτ）+ I（ξ-cτ）-（ξ-cτ）+ I（ξ）-（ξ））. 因而對(duì)任意（S，I），（，）∈Γ，有 F1（S，I）（ξ）-F1（，）（ξ）≤ 1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× G1（S，I）（x）-G1（，）（x）dx≤ Lρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× （S（x）-（x）+I（x）-（x））dx. 所以 F1（S，I）（ξ）-F1（，）（ξ）e-λ｜ξ｜≤ 2Lρ1 ∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× eλ｜x｜-λ｜ξ｜dxS-Iλ≤ 2Lρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）eλ（｜ξ｜-｜x｜）dx+ ∫∞ξeΛ+1（ξ-x）e-λ（｜x｜-｜ξ｜）dxS-Iλ= 2Lρ11Λ+1-λ-1Λ-1+λS-Iλ， 因此算子F1關(guān)于范數(shù)·λ是連續(xù)的. 類似可得算子F2也是連續(xù)的. 下證算子F關(guān)于范數(shù)·λ是緊的. 對(duì)任意（S，I）∈Γ，ξ∈R，有 ddξF1（S，I）（ξ）= 1ρ1∫ξ-∞Λ-1eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξΛ+1eΛ+1（ξ-x）× G1（S，I）（x）dx≤ S-∞ρ1α1+βa× ∫ξ-∞Λ-1eΛ-1（ξ-x）dx+∫∞ξΛ+1eΛ+1（ξ-x）dx= 2S-∞ρ1α1+βa.（14） 同理可得，對(duì)任意ξ∈R，有 ddξF2（S，I）（ξ）≤ 1ρ2α2I（ξ）+rhbI（ξ）× ∫ξ-∞Λ-2eΛ-2（ξ-x）dx+ ∫∞ξΛ+2eΛ+2（ξ-x）dx= 2aρ2α2+rhbβS-∞γ-1.（15） 因此Fi（S，I）（i=1，2）關(guān)于ξ連續(xù). 另一方面，對(duì)任意（S，I）∈Γ，算子F：ΓΓ滿足 F1（S，I）（ξ） F2（S，I）（ξ）≤1aβS-∞γ-1， ξ∈R. 因此對(duì)任意ε>0，存在N>0（N∈N），使得對(duì)任意ξ>N，都有 （F1（S，I）（ξ）+F2（S，I）（ξ））e-λ｜ξ｜≤ S-∞+1aβS-∞γ-1e-λN<ε.（16） 由（14）～（15）式及Arzel-Ascoli定理，可以選取F（Γ）中有限個(gè)元素使得當(dāng)ξ 3? 行波解的存在性 定理2? 假定R0>1.對(duì)任意c>c*，系統(tǒng)（4）存在非平凡行波解（S（x+ct），I（x+ct）），滿足 0 0 及邊界條件 S（-∞）=S-∞， S（∞）=S∞， I（±∞）=0. 此外，S（ξ）關(guān)于ξ∈R單調(diào)遞減，且 ∫∞-∞S（x）g（I（x））dx=cβ（S-∞-S∞）， ∫∞-∞I（ξ）dξ=cbγb+rh（S-∞-S∞）. 0 證明? 當(dāng)c>c*時(shí)，根據(jù)引理6和引理7，由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可得，（S，I）∈Γ是算子F的不動(dòng)點(diǎn)，因此（S（x+ct），I（x+ct））是系統(tǒng)（4）的行波解，且 0≤S（ξ）≤S-∞， 0≤I（ξ）≤1aβS-∞γ-1， ξ∈R. 下證（17）式成立.設(shè)（S，I）∈Γ是算子F的不動(dòng)點(diǎn)，則S（ξ）=F1（S，I）（ξ）.由于S-（ξ）是連續(xù)函數(shù)且不恒為零，從而 G1（S-，I+）（ξ）= α1S-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥ α1-βaS-（ξ）， ξ∈R. 因此 S（ξ）=F1（S，I）（ξ）≥F1（S-，I+）（ξ）= 1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）× G1（S-，I+）（x）dx≥ α1-βa 1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）S-（x）dx+ α1-βa1ρ1∫∞ξeΛ+1（ξ-x） S-（x）dx>0. 類似可證其余不等式也成立，因此（17）式成立. 以下我們將證明分為四個(gè)步驟. （Ⅰ）分析當(dāng)ξ→-∞時(shí)，S（ξ），I（ξ）的漸近邊界條件. 由上下解的定義可知，對(duì)任意ξ∈R，有 S-∞-1σeσξ≤S（ξ）≤S-∞， eλ1ξ（1-M2eη2ξ）≤I（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ）， 所以由極限性質(zhì)可得 limξ→-∞S（ξ）=S-∞， limξ→-∞I（ξ）=0. 由于（S，I）∈Γ是算子F的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)映射F1，F(xiàn)2應(yīng)用LHspital法則可得 limξ→-∞（S′（ξ），I′（ξ））=（0，0）. （Ⅱ）S（ξ）關(guān)于ξ的單調(diào)性. 對(duì)系統(tǒng)（6）的第一個(gè)方程兩邊從-∞到ξ積分可得 d1S′（ξ）=c（S（ξ）-S-∞）+ β∫ξ-∞S（x）g（I（x））dx.（18） 假設(shè)積分 ∫∞-∞S（x）g（I（x））dx<∞.（19） 若假設(shè)不成立，則根據(jù)上下解的定義，對(duì)所有ξ∈R，0 由系統(tǒng)（6）的第一個(gè)方程得到其等價(jià)方程 e（-c/d1）ξS′（ξ）′= βd1d（-c/d1）ξS（ξ）g（I（ξ））. 等式兩邊從ξ到∞積分得 S′（ξ）=-βd1e（c/d1）ξ∫∞ξe（-c/d1）x× S（x）g（I（x））dx. 由于S（ξ），I（ξ）>0關(guān)于ξ∈R連續(xù)，從而對(duì)ξ∈R， S′（ξ）<0，因此S（ξ）關(guān)于ξ∈R是單調(diào)遞減的. （Ⅲ）分析當(dāng)ξ→∞時(shí)，S（ξ），I（ξ）的漸近邊界條件. 已知S（ξ）關(guān)于ξ∈R單調(diào)遞減，因此0 I（ξ）=F2（S，I）（ξ）= 12 ∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）βS（x-cτ）× g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dx，（20） 其中-2<0<+2為方程d22-c-γ=0的兩個(gè)根，系數(shù)2=d2（+2--2）.根據(jù)（19）式，令 ∫∞-∞S（x）g（I（x））dx=A， 且根據(jù)I（ξ）的有界性，令 ∫∞-∞r(nóng)hI（ξ）b+I（ξ）dξ=B， 則由Fubini定理可得 ∫∞-∞I（ξ）dξ=12∫∞-∞∫ξ-∞e-2（ξ-x）+ ∫∞ξe+2（ξ-x）βS（x-cτ）× g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dxdξ= β2∫∞-∞S（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））dξ× ∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）dx- 12∫∞-∞r(nóng)hI（ξ）b+I（ξ）dξ× ∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）dx= β21+2-1-2A- 121+2-1-2B= 1γ（Aβ-B）. 對(duì)于（S，I）∈Γ，有 0 S（ξ-cτ）I（ξ-cτ）1+aI（ξ-cτ）≤S-∞a， ξ∈R. 所以對(duì)任意ξ∈R，有 I′（ξ）≤ β2Λ′-2 ∫ξ-∞e-2（ξ-x）+Λ′+2∫∞ξe+2（ξ-x）× S（x-cτ）g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dx≤ β2Λ′-2 ∫ξ-∞e-2（ξ-x）+Λ′+2∫∞ξe+2（ξ-x）× S（x-cτ）g（I（x-cτ））dx≤2βS-∞a2. 因此I′（ξ）是一致有界的，且I（ξ）在R上是可積的，這意味著limξ→∞I（ξ）=0.若不然，則存在ε>0，δ>0以及序列{ξn}，使得對(duì)所有ξ-ξn<δ有I（ξ）≥ε，這與I（ξ）的可積性相矛盾.此外， limξ→∞S（ξ）=S∞，在（18）式中令ξ→∞，則根據(jù)（19） 式可得limξ→∞S′（ξ）存在.由于對(duì)所有ξ∈R，S′（ξ）<0，從而limξ→∞S′（ξ）≤0，因此limξ→∞S′（ξ）=0.若不然，則limξ→∞S′（ξ）<0，這意味著limξ→∞S（ξ）=-∞，這與S（ξ）的正性相矛盾. 由于limξ→∞S′（ξ）=0，limξ→∞S（ξ）=S∞，于是在（18）式中令ξ→∞，則 A=∫∞-∞S（ξ）g（I（ξ））dξ= limξ→∞d1S′（ξ）+c（S-∞-S∞）β= cβ（S-∞-S∞）.（21） 同理可得 ∫∞-∞I（ξ）dξ=1γ（Aβ-B）= cbγb+rh（S-∞-S∞）.（22） 對(duì)系統(tǒng)（6）的第二個(gè)方程兩邊從-∞到ξ積分得到 d2I′（ξ）=cI（ξ）- β∫ξ-∞S（x-cτ）g（I（x-cτ））dx+ γ∫ξ-∞I（x）dx+∫ξ-∞r(nóng)hI（x）b+I（x）dx. 令ξ→∞，則由（21）和（22）式可知， limξ→∞I′（ξ）=0. （Ⅳ）證明對(duì)任意ξ∈R，有 0 由文獻(xiàn)［8］定理2.9可知，令 Nc（ξ）：=I（ξ）+γb+rhcb∫ξ-∞I（x）dx+ γb+rhcb∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx， ξ∈R. （23） 根據(jù)已有結(jié)論 limξ→-∞Nc（ξ）=0， limξ→∞Nc（ξ）=S-∞-S∞.（24） 對(duì)（23）式關(guān)于ξ求導(dǎo)可得 N′c（ξ）：=I′（ξ）+ γb+rhbd2∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx，（25） 從而limξ→-∞N′c（ξ）=limξ→∞N′c（ξ）=0. 對(duì)（25）式關(guān)于ξ求導(dǎo)，由于I（ξ）滿足系統(tǒng)（6）的第二個(gè)等式，且I（±∞）=0，因而 d2N″c（ξ）= cI′（ξ）+γb+rhbd2∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx- βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））= cN′c（ξ）-βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））， ξ∈R， N′c（±∞）=0， 由常數(shù)變易法易得 N′c（ξ）=βd2ecξd2∫∞ξe-cξd2S（x-cτ）× g（I（x-cτ））dx>0， ξ∈R. 因此Nc（ξ）關(guān)于ξ是非減的，由（24）式得 0 limξ→∞Nc（ξ）=S-∞-S∞， ξ∈R. 綜上所述，結(jié)論成立.? 】 4? 結(jié)論 本文討論了一類具有飽和恢復(fù)率的SEIR 時(shí)滯模型行波解的存在性.首先，討論系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的二維初值問題的適定性；其次，構(gòu)造一對(duì)有界的向量值上、下解，利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明當(dāng)c>c*時(shí)行波解的存在性；最后，得到系統(tǒng)行波解的存在性.這些結(jié)論能較好地刻畫從初始無(wú)病平衡點(diǎn)到最終無(wú)病平衡點(diǎn)這一過程的疾病傳播，并且考慮疾病潛伏期以及屬地醫(yī)院的醫(yī)療條件也更加貼合實(shí)際.與行波解的存在性密切相關(guān)的一個(gè)問題是其不存在性，猜測(cè)當(dāng)0 參考文獻(xiàn)： ［1］? KERMACK W O，MCKENDRICK A G.A Contribution to the mathematical theory of epidemics［J］.Proceedings of the Royal Society of London：Series B，1927，115（772）：700. ［2］? HOSONO Y，ILYAS B.Traveling waves for a simple diffusive epidemic model［J］.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences，1995，5（7）：935. ［3］? DUCROT A，MAGAL P.Travelling wave solutions for an infection-age structured model with diffusion［J］.Proceedings of the Royal Society of Edinburgh，2009，139（3）：459. ［4］? WANG Zhi-cheng，WU Jian-hong，LIU Rong-song.Traveling waves of the spread of avian influenza［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，2012，140（11）：3931. ［5］? WANG Zhi-cheng，WU Jian-hong.Travelling waves of a diffusive Kermack-Mckendrick epidemic model with non-local delayed transmission［J］.Proceedings of the Royal Society A，2010，466（2113）：237. ［6］? ZHANG Tian-ran，WANG Wen-di.Existence of traveling wave solutions for influenza model with treatment［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2014，419（1）：469. ［7］? BAI Zhen-guo，WU Shi-liang.Traveling waves in a delayed SIR epidemic model with nonlinear incidence［J］.Applied Mathematics and Computation，2015，263：221. ［8］? ZHAO Lin，ZHANG Liang，HUO Hai-feng. Traveling wave solutions of a diffusive SEIR epidemic model with nonlinear incidence rate［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2019，23（4）：951. ［9］? XU Zhi-ting.Traveling waves in a Kermack-Mckendrick epidemic model with diffusion and latent period［J］.Nonlinear Analysis，2014，111：66. ［10］? TIAN Bao-chuan，YUAN Rong.Traveling waves for a diffusive SEIR epidemic model with standard incidences［J］.Science China Mathematics，2017，60（5）：813. ［11］? XU Zhi-ting.Traveling waves for a diffusive SEIR epidemic model［J］.Communications on Pure and Applied Analysis，2016，15（3）：871. ［12］? SCHWARTZ I B，SMITH H L.Infinite subharmonic bifurcation in an SEIR epidemic model［J］.Journal of Mathematical Biology，1983，18（3）：233. ［13］? ZHOU Xue-yong，CUI Jing-an.Analysis of stability and bifurcation for an SEIR epidemic model with saturated recovery rate［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16（11）：4438. ［14］? MARTIN R H，SMITH H L.Abstract functional-differential equations and reaction-diffusion systems［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1990，321（1）：1. ［15］? WU Jian-hong.Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations［M］.New York：Springer，1996：50. ［16］? WENG Pen-xuan，XU Zhi-ting.Wavefronts for a global reaction-diffusion population model with infinite distributed delay［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，345（1）：522. （責(zé)任編輯? 馬宇鴻）
