硅酸鎵鑭晶體諧振器的高頻振動分析

吳榮興，王曉明，唐忠平，王驥

(1.寧波職業技術學院應用力學研究所，浙江寧波 315800；2.寧波大學機械與力學學院，浙江寧波 315211)

0 引言

石英晶體諧振器因其頻率高、穩定性好、抗干擾性強等特性，在通信工程、航空航天、傳感檢測等領域都得到了廣泛的應用[1-2]。針對石英晶體諧振器的高頻振動，Mindlin 通過將位移和電勢展開為厚度坐標冪級數的方式將三維彈性問題轉化為二維問題，分析了石英晶體諧振器的振動特性和電學參數[3]。Lee等[4]和Peach[5]分別提出了基于三角函數展開和特征值的板理論，同樣可以用于石英晶體板高頻振動的特性分析。Yang等[6]對于石英晶體諧振器的結構參數變化和偏場方法及其應用進行了大量的研究。Patel等[7]通過有限元方法分析了非線性效應對石英晶體諧振器振動特性的影響，初步解釋了激勵電平效應。文獻[8-11]建立了考慮材料和幾何非線性的石英晶體板高頻振動方程，并利用解析方法和數值方法對非線性方程組進行了求解，獲得了不同驅動電壓下的頻率響應曲線。

隨著電子行業對諧振器微型化和高頻化需求的不斷增加，各類新材料壓電聲波諧振器的研究得到了廣泛的開展。其中硅酸鎵鑭(La3Ga5SiO14,LGS)是一種性能優異的新型壓電晶體材料，相比于石英晶體材料，硅酸鎵鑭具有更強的壓電系數、更高的阻抗、更大的介電常數和機電耦合系數[12-15]。硅酸鎵鑭晶體材料開始應用于各類傳感器、諧振器、濾波器等電子器件的試制[16-17]。目前的硅酸鎵鑭晶體諧振器的試制過程都是依據經驗選取一定尺寸范圍的晶片進行制作，經測試其振動特性和電學參數后再細化所選定的晶片尺寸，費時費力且結果不盡如人意，需從振動理論上對硅酸鎵鑭晶體諧振器設計提供指導。開展新材料硅酸鎵鑭壓電聲波諧振器振動理論及設計方法研究，將會促進壓電聲波理論的進一步完善和求解方法的創新。

本文利用Mindlin 一階板理論分析了硅酸鎵鑭晶體板強耦合的厚度剪切振動和彎曲振動，獲得了硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關系、頻譜關系和振動模態位移圖。研究結果為硅酸鎵鑭晶體諧振器的設計提供了指導。

1 基本方程

硅酸鎵鑭是一種具有獨特優點的多功能晶體材料，在壓電聲波諧振器和濾波器中已經得到了不斷的應用[13]。硅酸鎵鑭諧振器的設計首先要解決的問題就是確定晶片的尺寸，也就是晶片的長度、厚度和寬度。硅酸鎵鑭晶片的厚度由工作頻率初步確定，接著確定晶片的長度，也就是設計最佳的晶片長度，從而確保諧振器工作特性的穩定，寬度對諧振器振動特性的影響不大[1-3]。需要設計的硅酸鎵鑭晶體板如圖1所示，其長度、寬度和厚度的尺寸分別為2a、2c和2b。

圖1 硅酸鎵鑭晶體板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a La3Ga5SiO14 crystal plate

基于Mindlin 板理論的位移假設，將位移展開為厚度坐標x2的冪級數[3]

硅酸鎵鑭晶體板的運動方程為[3]

式中：Tij和b分別為應力表達式和硅酸鎵鑭晶體板的半板厚。

高階本構關系為

2 色散關系

對高階位移進行截斷和選取后，可以得到應力位移的表達式：

基于直峰波位移假設，可以令位移為[18-19]

式中：A1(A2)、ζ和ω分別為振幅、波數和頻率。

為了計算簡單，可以將頻率、波數和波速進行歸一化處理：

將位移表達式(8)代入應力表達式(7)，最終代入式(6)中的運動方程，可以得到：

由于振幅A1(A2)有非零解，因此要求式(10)的系數矩陣行列式的值為0，即：

式(11)即為硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關系。確定硅酸鎵鑭晶體材料的彈性常數后[13]，利用Matlab軟件編程計算獲得了硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關系，即頻率和波數的關系，如圖2所示。主要計算思路是在式(11)中設定一個歸一化頻率值，通過Matlab軟件中的Solve函數求出歸一化波數解，然后繪制硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的色散關系圖。

圖2 硅酸鎵鑭晶體板兩種振動模態的色散關系Fig.2 Dispersion curves of two vibration modes of the La3Ga5SiO14 crystal plate

從圖2可以發現硅酸鎵鑭晶體板的厚度剪切振動模態的一階截止頻率為1，非常精確。這里獲得硅酸鎵鑭晶體板的色散關系與石英晶體板的色散關系類似。石英晶體板厚度剪切振動時如未考慮修正，獲得的一階截止頻率為0.97，為此Wang 等提出了自然修正法和對稱修正法來保證一階截止頻率為1[1-3]。

3 頻譜關系

通過色散關系式(11)可以得到兩個波數解，位移的表達式可表示為

式中：A21/A22、α1/α2和Z1/Z2分別為新定義振幅、振幅比和兩個波數。振幅比的定義為

同樣將位移表達式(12)代入應力表示表達式(7)，可以得到：

對于如圖1所示硅酸鎵鑭晶體板，在長度方向的邊界條件為

式中：a為硅酸鎵鑭晶體板板長的一半。

將式(14)中的應力表達代入式(15)中的邊界條件，可以得到關于振幅A21(A22)的兩個方程組。同樣振幅A21(A22)有非零解，令其系數矩陣的行列式值為0，即：

給定硅酸鎵鑭晶體的尺寸后，可以獲得硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的頻譜關系，也就是頻率和長厚比關系如圖3所示。頻率關系的計算思路為設定硅酸鎵鑭晶體板的一個長厚比，利用Matlab軟件中的二分法程序對式(16)中的行列式方程進行求解，獲得其歸一化頻率。

圖3 硅酸鎵鑭晶體板歸一化振動頻率與長厚比(a/b)關系圖Fig.3 Relationships between normalized vibrations frequency and a/b of the La3Ga5SiO14 crystal plate

選定硅酸鎵鑭晶片任意一個長厚比，可以獲得多個頻率解，每個頻率解表示一種振動形式，可以繪制每個頻率解的振動模態位移圖，比較各振動模態位移的大小來確定其主振模態[1-3]。研究表明斜率較大的斜直線部分為彎曲振動模態，此時彎曲振動是主振模態；而在歸一化頻率1附近的平坦部分為厚度剪切振動模態，此時厚度剪切振動是主振模態[18-19]。

圖3表明在硅酸鎵鑭晶體板高頻振動時，彎曲振動模態u(0)2和厚度剪切振動模態u(1)1存在強耦合，隨著頻率和長厚比的變化，兩種模態也在不停地相互轉換[3]。在石英晶體諧振器的高頻振動分析過程中，Wang 等提出了選取石英晶板的最佳長厚比來避免彎曲振動模態u(0)2和厚度剪切振動模態u(1)1的強耦合，也就是選取一定的a/b作為晶片的尺寸[18-19]。主要選取思路是選取歸一化頻率1附近平坦階段的中間部分、與其他模態存在一定距離的點。依據這一思路，本文同樣選取歸一化頻率隨長厚比變化較為平坦中間部分、與其他模態存在一定距離的硅酸鎵鑭晶片長厚比，也就是如圖3所示的A點，其長厚比為22.5。同樣可以選取同樣的點作為硅酸鎵鑭晶體板的最佳尺寸，也是諧振器設計和制造企業急需確定的晶片尺寸。

可以進一步重寫位移表達式：

式中：β為振幅比，其定義為

基于式(17)中的位移表達，在提取振幅A22后，可以繪制出硅酸鎵鑭晶體板各振動模態的位移如圖4所示。

圖4 硅酸鎵鑭晶體板的兩種振動模態的歸一化位移與x1/b 關系圖Fig.4 Relationships between normalized displacements of two vibration modes and x1/b of the La3Ga5SiO14 crystal plate

從圖4中可以發現，在選取硅酸鎵鑭晶體板最佳長厚比22.5 后，厚度剪切振動模態u(1)1是硅酸鎵鑭晶體板的主振模態，彎曲振動模態u(0)2的振幅相對于厚度剪切振動模態u(1)1的振幅較小，表明兩種模態不存在強烈耦合，此時的尺寸可以作為硅酸鎵鑭晶體諧振器的設計尺寸。同時圖4表明厚度剪切振動模態u(1)1的位移主要集中在硅酸鎵鑭晶體板的中間，具有很好的能陷效應[8-10]。綜合利用硅酸鎵鑭晶體板的頻譜關系和振動模態位移關系可以指導硅酸鎵鑭晶體諧振器的設計，避免了試湊硅酸鎵鑭晶片尺寸的復雜過程[1-2]。

4 結論

基于Mindlin 一階板理論，本文分析了硅酸鎵鑭晶體板的厚度剪切振動和彎曲振動，獲得了硅酸鎵鑭晶體板的色散關系、頻譜關系和振動模態位移圖。獲得的色散關系表明Mindlin 板理論同樣可以應用于硅酸鎵鑭晶體板的厚度剪切振動分析，其一階截止頻率非常精確。選取硅酸鎵鑭晶體板高頻振動的頻譜關系中基頻附近較為平緩的點作為最佳尺寸，繪制該尺寸的振動模態位移圖，結果表明厚度剪切振動模態是硅酸鎵鑭晶體板的主振模態，與彎曲振動模態的耦合較弱且能陷效應較為理想。本文建立的方程和獲得的結果可以用于指導硅酸鎵鑭晶體諧振器的實際研發。