海森堡XYZ自旋鏈系統的熱糾纏與局域量子不確定性研究

張延亮, 陳 迪

(吉首大學 計算機科學與工程學院, 張家界 427000)

1 引 言

量子關聯是多體物理系統中區別于經典關聯的非經典效應之一，是當今實現量子信息處理任務極為重要的物理資源[1].多體系統中量子關聯的度量方式包括量子糾纏[2]、量子discord[3][4]、量子steering[5]、負度[6]等.量子discord在度量多體系統的量子關聯時，其核心思想是通過局域測量的方法，最大程度地將多體系統總關聯中的經典關聯部分剔除掉.因此在使用量子discord度量多體系統的量子關聯時存在著復雜的優化處理過程.但基于此度量思想，人們提出了各種可解析計算的量子關聯度量方法，如，幾何量子discord[7]，測量誘導非定域性[8]，Winger-Yanase斜信息(Skew information)[9]等.特別地，Girolami等人提出了一種新的量子關聯量度——局域量子不確定性(Local quantum uncertainty，LQU)的概念[10].LQU是一種基于斜信息的類量子discord的量子關聯的量度，它不僅滿足所有測量量子關聯的物理要求，而且相比量子discord，任意兩比特量子態的LQU都有確定的計算結果.

最近，國內外許多學者采用局域量子不確定度研究了海森堡自旋鏈量子系統的量子關聯特性及非經典特性.郭金良等人利用LQU作為量子關聯的量度，研究了具有三格點相互作用的一維XY自旋鏈系統中任意自旋格點的量子關聯性質與自旋的量子相變，研究表明相比量子discord而言LQU在捕捉自旋鏈系統的量子相變點方面更具有優勢[11]. Coulamy等人將LQU作為量子關聯的量度，分析了一維橫場Ising自旋鏈系統的在量子相變點附近任意格點量子態LQU的特性，研究表明自旋鏈系統的LQU對自旋鏈的尺寸有著較為敏感的標度行為[12].上述研究均表明LQU在描述自旋鏈系統的量子非經典效應等具有明顯的優越性.

兩格點自旋量子系統的非經典特性是研究多體、高維、超結構自旋量子系統的理論基礎，其中具有復雜耦合作用兩格點自旋量子系統是許多研究者關注的焦點.張國鋒等人研究了兩自旋格點之間的XXZ自旋交換相互作用以及對外加非一致性磁場對系統量子關聯的影響[13].Khedif等人研究了兩格點XXZ自旋鏈系統中外加非一致性磁場對跡距離discord和局域量子不確定度的影響，研究表明外加磁場的非一致性有助于提高XXZ自旋鏈系統的量子關聯，能有效降低自旋鏈系統熱漲落引起的退相干效應[14].

通常，兩格點自旋子系統之間除了自旋與自旋之間交換作用之外，還存在自旋與軌道之間耦合相互作用，自旋與軌道之間耦合相互作用也稱為Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用，具有DM相互作用的自旋鏈系統會表現出一些新奇的特性.羅丹丹等人研究了DM相互作用及外磁場作用對量子糾纏的影響，發現DM相互作用能夠有效提高糾纏猝死外磁場臨界值，擴大熱糾纏存在的范圍[15].Habiballah在分析DM相互作用對XXZ自旋鏈系統局域量子不確定度的影響，發現在反鐵磁和鐵磁條件下，DM相互作用度量子關聯有著完全不同的影響[16].Li等研究了DM相互作用對海森堡XY模型中量子臨界現象的影響，發現DM相互作用能影響量子相變范圍的分布[17].Park研究了不同方向的DM相互作用對自旋鏈系統量子糾纏與量子discord的影響[18].然而，DM相互作用及外磁場作用對各向異性XYZ自旋鏈系統的局域量子不確定的影響研究較少，本文將研究DM相互作用及非一致性外加磁場對海森堡XYZ自旋鏈系統的熱糾纏與局域量子不確定度的影響，并且對比分析并發度(Concurrence)量子糾纏與局域量子不確定度描述自旋鏈系統量子關聯的差別.

2 理論模型

考慮了在外加橫向磁場情況下含有DM相互作用的兩量子比特海森堡XYZ自旋鏈模型，此系統的哈密頓量可表示為：

通過矩陣對角化計算，求得自旋鏈系統哈密頓量的本征值為：

E1=Jz-η1，E2=Jz+η1

E3=-Jz-η2，E4=-Jz+η2

|φ〉1=cosθ1|00〉+sinθ1|11〉

|φ〉2=cosθ2|00〉+sinθ2|11〉

|φ〉3=cosθ3|01〉+sinθ3eiφ|10〉，

|φ〉4=cosθ4|01〉+sinθ4eiφ|10〉

上式中，參數θi(i=1，2，3，4)滿足以下條件：

通過計算，在標準計算基{|00〉，|01〉，|10〉，|11〉}，兩量子比特自旋鏈在熱平衡態下的密度矩陣可表示為如下形式：

式中非零矩陣元分別為：

3 局域量子不確定度和量子糾纏

局域量子不確定度(LQU)是一種類似于量子discord的兩體系統的量子關聯的度量方式，它指出在任意局域測量條件下，量子態的最小不確定度，對于二體量子態而言，LQU定義為：

這里KA表示作用在子系統A的上的局域量子測量，I表示量子態的斜信息，其斜信息計算公式為：

對于任意兩體2?d維量子態而言，LQU的解析形式可表示為：

U(ρAB)=1-max{ω1，ω2，ω3}

其中ω1，ω2，ω3表示矩陣W的三個本征值，W由如下矩陣元構成的3階方陣：

ω3=w33

此外，對于兩體復合希爾伯特空間中的量子系統ρ，并發度量子糾纏的定義為

C(ρAB)=2max{0，|ρ14|-

接下來，本文將研究DM相互作用，外部橫向磁場對局域量子不確定度及量子糾纏的影響.

4 結果與討論

根據X型密度矩陣量子系統的局域不確定度U(ρAB)及量子糾纏C(ρAB)的計算公式，進行數值分析.圖1展示了在不同的DM相互作用強度下，自旋系統局域不確定度U(ρAB)和量子糾纏C(ρAB)隨溫度的變化關系，其他參數設置為J=1.0，γ1=0.6，B=2.0，γ2=0.3，Jz=0.8.從圖像可知，隨著溫度T的增加，自旋系統的統局域不確定度和量子糾纏逐漸降低.當D較小時，U(ρAB)和C(ρAB)隨溫度迅速降至為零；當D較大時，自旋系統的U(ρAB)和C(ρAB)顯著提升，甚至在自旋系統溫度較低時可以將其提升至1，即系統具有最大量子關聯.并且，當D較大時，U(ρAB)和C(ρAB)隨溫度的下降的速率明顯減緩，熱量子關聯存在的溫度區域明顯擴大，這表明自旋系統的DM相互作用有助于保持系統的最大量子關聯，能有效保護自旋系統熱漲落引起的退相干效應.此外，U(ρAB)和C(ρAB)隨溫度變化的過程中，當自旋系統達到一定臨界溫度值時，系統的量子糾纏突變為零，而量子局域不確定度連續變化且為非零值，因此，表明量子局域不確定度能更精細地描述自旋系統的量子關聯.

圖1 自旋鏈系統局域量子不確定度U(ρAB)和量子糾纏C(ρAB)隨溫度T的變化關系.J=1.0，D=0，2，4，6Fig. 1 The local quantum uncertainty U(ρAB) and quantum entanglement C(ρAB) of the spin chain quantum system as a function of temperature T.where J=1.0，D=0，2，4，6.

圖2和圖3分別展示了當參數J=1.0，γ1=0.6，Jz=0.1，γ1=0.3，T=1.5時，自旋系統量子局域不確定度與量子糾纏隨DM相互作用強度D和外磁場強度B的變化關系，從圖像中我們可以看出.自旋鏈系統的量子局域不確定度與量子糾纏均是關于參數D=0和B=0對稱的變化趨勢，并且隨著DM相互作用參數|D|的增加，自旋鏈的U(ρAB)和C(ρAB)顯著增加.而隨著外磁場參數|B|的增加，自旋鏈系統的(ρAB)和C(ρAB)逐漸減弱.對比分析圖2和圖3，當|B|取較大值時，自旋鏈系統的量子糾纏隨|D|的增大出現突然死亡和突然再生狀態，而量子局域不確定度并沒有發生突然死亡現象，而是逐漸降至最低值.當參數|D|和|B|均取較小值時，自旋鏈系統的量子局域不確定度趨近于零，而量子糾纏保持較大值.由零溫時自旋鏈系統的本征態分析可知，當|B|趨近于0時，tanθ1，tanθ2，tanθ3及tanθ4約等于1，即|φ〉1，|φ〉2，|φ〉1及|φ〉2均近似等于最大糾纏態.在熱態情況下，以|00〉和|11〉為基的糾纏態和以|01〉和|10〉為基的糾纏態之間存在競爭關系.因此，量子局域不確定度與量子糾纏在描述量子關聯方面存在本質不同.

圖2 自旋鏈系統量子局域不確定度U(ρAB)隨DM相互作用強度D和外磁場強度B的變化關系Fig. 2 The local quantum uncertainty U(ρAB) of the spin chain quantum system as a function of DM interaction D and external magnetic field B.

圖3 自旋鏈系統量子糾纏C(ρAB)隨DM相互作用強度D和外磁場強度B的變化關系.Fig. 3 The quantum entanglement C(ρAB) of the spin chain quantum system as a function of DM interaction D and external magnetic field B.

圖4和圖5分別展示了當系統參數J=1.0，γ1=0.5，Jz=0.8，D=1，T=1.5時，自旋系統量子局域不確定度與量子糾纏隨外磁場強度B及其非一致性參數γ2的變化關系.從圖像中我們可以看出，在外加磁場的作用強度較小時，局域量子不確定度并不處于最大值，且非一致性參數γ2對局域量子不確定度的影響情況較為復雜.當γ2取較小值是，LQU隨B的變化呈三峰值曲線，當γ2增大時，LQU隨B的變化退化成雙峰曲線形式. 當外磁場強度|B|較大時，非一致性參數γ2對局域量子不確定度的影響不明顯.然而，當外磁場強度|B|較小時，量子糾纏保持著較大值，非一致性參數γ2對量子糾纏的影響較小.當外磁場強度|B|較大時，量子糾纏明顯降低，并且，量子糾纏受非一致性參數γ2的影響較為明顯，即隨著γ2的增加，量子糾纏出現突然死亡和再生現象；并且，當外磁場強度|B|越大時，出現突然死亡和再生現象的γ2臨界值越大.

圖4 自旋鏈系統量子局域不確定度U(ρAB)隨外磁場強度B及其非一致性參數γ2的變化關系.Fig. 4 The local quantum uncertainty U(ρAB) of the spin chain quantum system as a function of external magnetic field B and anisotropic parameter of inhomogeneous magnetic fields γ2.

圖5 自旋鏈系統量子糾纏C(ρAB)隨外磁場強度B及其非一致性參數γ2的變化關系.Fig. 5 The quantum entanglement C(ρAB) of the spin chain quantum system as a function of external magnetic field B and anisotropic parameter of inhomogeneous magnetic fields γ2.

圖5和圖6分別展示了當系統參數B=1.0，D=1.0，γ2=0.5，Jz=0.1，T=1.5時，自旋系統量子局域不確定度與量子糾纏隨自旋交換作用強度I及其非一致性參數γ1的變化關系.從圖像中我們可以看出自旋鏈系統的量子局域不確定度與量子糾纏均是關于參數|J|=0呈對稱的變化趨勢.當非一致性參數γ1較小時，隨著交換作用強度|J|的增加，自旋鏈系統的U(ρAB)和C(ρAB)單調增加，當交換作用強度|J|達到一定值時，自旋鏈系統的局域量子不確定度與量子糾纏均穩定在最大值，即量子系統保持最大糾纏狀態，并且，自旋鏈系統的量子糾纏比局域量子不確定度更容易得到保持；當非一致性參數γ1的較大時，自旋鏈系統的U(ρAB)和C(ρAB)先降低，到達一定值后由逐漸增大；當非一致性參數γ1的趨近于1時，自旋鏈系統的U(ρAB)和C(ρAB)單調下降，最終穩定于某一固定值.可以證明這一固定值與z方向的交換作用強度Jz相關，當Jz越大，其穩定值也越大.當交換作用強度J等于零時，自旋鏈系統的量子糾纏明顯高于其局域量子不確定度.與外加磁場強度B及γ2對自旋系統量子糾纏的影響不同，自旋系統的量子糾纏沒有出現糾纏突然死亡和再生的現象.

圖6 自旋鏈系統局域量子不確定度U(ρAB)隨自旋交換作用強度J及其非一致性參數γ1的變化關系.Fig. 6 The local quantum uncertainty U(ρAB) of the spin chain quantum system as a function of spin exchange interaction J and anisotropic parameter of spin exchange interaction γ1.

圖7 自旋鏈系統量子糾纏C(ρAB)隨自旋交換作用強度I及其非一致性參數γ1的變化關系.Fig. 7 The quantum entanglement C(ρAB) of the spin chain quantum system as a function of spin exchange interaction I and anisotropic parameter of spin exchange interaction γ1.

5 結 論

本文研究熱平衡溫度，自旋相互作用強度，DM相互作用及非一致性外加磁場對海森堡XYZ自旋鏈系統的熱糾纏與局域量子不確定度的影響，對比分析了并發度量子糾纏與局域量子不確定度描述自旋鏈系統量子關聯的差別.結果發現量子糾纏隨著自旋鏈量子系統熱平衡溫度的增加呈現糾纏突然死亡和再生，而局域量子不確定度則不出現糾纏突然死亡現象，自旋鏈量子系統的DM相互作用強度能有效提高量子系統的量子關聯，提高糾纏突然死亡溫度閾值.其次，當外加橫向磁場|B|取較大值時，自旋鏈系統的量子糾纏分別隨|D|的增大以及隨著磁場非一致性參數γ2的增加，均會出現突然死亡和突然再生狀態.而當|B|取較小值時，自旋鏈系統的DM相互作用|D|與磁場非一致性參數γ2對的U(ρAB)和C(ρAB)的影響也呈現明顯不同情況.然而，在XY平面上的自旋相互作用J及其非一致性參數γ1的變化情況下，自旋鏈系統的U(ρAB)和C(ρAB)均不出現突然死亡和再生現象，兩者變化趨勢相近.總之，本文具有DM相互作用及非一致性外加磁場對海森堡XYZ自旋鏈系統的局域量子不確定度與熱糾纏的對比分析，其結論將為自旋鏈量子系統在量子信息處理的理論分析與實際應用中提供一定參考價值.