超固結黏土中不排水柱孔擴張彈塑性解及應用

呂桂陽，和西良，梁汝鳴，付艷斌，劉 洋，葛序堯，祝人杰，張 波

(1.中建八局第二建設有限公司設計研究院，山東，濟南 250014；2.深圳大學土木與交通工程學院，深圳 518060；3.深圳大學濱海城市韌性基礎設施教育部重點實驗室，深圳 518060)

圓柱形孔穴擴張問題的解決方案由于形式簡單，力學原理明確，廣泛應用于解釋一些現場實測數據以及實際工程現象，如孔壓靜力觸探技術(CPTU)試驗貫入過程和旁壓試驗[1-2]，分析樁基工程中靜壓沉樁引起的應力和孔壓變化[3-4]以及樁基承載[5]等問題。

過去半個世紀，數值求解能力有限，本構模型較為簡單，使得柱孔擴張問題大多把土體看作理想彈塑性材料，求解柱孔周圍土體單元的響應規律。例如采用Mohr-Coulomb 準則[6-7]和Tresca準則[8]。VESI?[6]考慮了土體壓縮特性，采用Mohr-Coulomb 準則，求解了柱孔擴張問題解析解；CARTER 等[8]運用小應變理論，結合Mohr-Coulomb準則以及非相關聯流動法則，求得柱孔擴張問題彈塑性解。

后來，一些學者開始應用各向同性硬化本構模型，例如原始劍橋模型和修正劍橋模型推導孔穴擴張問題(例如文獻[9 - 14])。周航等[9]結合保角變換與復變函數理論推導了非圓形孔的彈性解，并分析了正方形孔的力學特性。CAO 等[10]采用修正劍橋模型分析了不排水孔穴擴張理論，給出了孔穴擴張周圍有效應力的閉合解，表達了超靜孔隙水壓力和總壓力。張亞國等[12]運用坐標變換的方法，結合復變函數理論解答了半無限體中考慮斜坡體自重圓孔擴張問題的解析解。

最近，在求解柱孔擴張問題中，一些較為復雜的本構模型得到了應用[15-19]。例如，SU 和YANG[16]采用剪脹性與狀態相關的邊界面模型來研究各參數對砂土中圓柱形擴張影響。武孝天和徐永福[17]采用邊界面模型概念，假定加載一旦開始土體立即產生塑性變形，模擬了砂/黏土柱孔擴張過程中土體應力場和應變場的變化規律。周茗如等[18]以塑性力學與大變形理論為基礎，運用結構性黃土修正劍橋模型推導了圓孔擴張問題的理論解并應用到劈裂注漿壓力理論計算中。

上述研究對孔穴擴張理論做出了重要貢獻，對孔穴擴張周圍土體響應有了更好的認識。由于土體材料存在不確定性，靜止土壓力參數K0對柱孔擴張的影響研究較少、超固結黏土中預測樁基工程中靜壓沉樁和CPTU 實測孔壓數據方法不多。

為進一步完善柱孔擴張理論，本文采用CASM屈服面以及非相關流動法則，結合空間應力轉化方法，建立超固結黏土中考慮K0影響的柱孔不排水擴張模型，分析超固結黏土中考慮K0影響的柱孔周圍土體單元的響應規律，并結合樁基工程中靜壓沉樁以及CPTU 現場孔壓實測數據驗證模型的實用性以及正確性，同時為類似實際工程應用提供理論支撐。

1 柱孔擴張模型分析

圖1 展示了在瞬時的柱孔擴張模型中，土體受到初始應力 σ0和初始孔隙壓力u0作用。通過施加均勻分布的擴張壓力，當壓力足夠大時，孔壁上的土將首先屈服。隨著擴張壓力繼續增大，圍繞柱孔就會形成一個塑性區，其中臨界狀態區將在半徑rc中存在。塑性區以外的土體被認為處于彈性狀態區。當擴張壓力從 σ0增加到擴孔壓力σa時，初始柱孔從半徑a0擴張到當前半徑ax；對應彈塑性邊界半徑從rp0移動到rp。用柱形極坐標系統(r, θ,ν)來描述柱孔擴張特性，總應力分量分別為 σr、 σθ、 σν，有效應力分量為。用總應力和相應有效應力之差計算孔隙水壓力

總平均應力和偏應力分別用p和q表示，根據柱面問題的分析定義如下：

在彈性和塑性區，距離柱形擴張中心為r位置處的徑向和環向應力滿足平衡微分方程：

假設：受壓應力和應變為正。土體彈性階段服從胡克定律，土體塑性階段服從CASM 模型準則。

2 建立超固結黏土柱孔擴張模型

2.1 彈性區分析

假定在彈性區域r≥rp為小變形，柱孔徑向和環向應變增量 dεr和 dεθ在r處可以寫成：

式中， dur為位移增量。

彈性階段服從胡克定律表示為：

式中， dεν為體應變增量，與比體積的關系為：

在根據不排水條件總體積應變率為0：

在彈性階段，比體積和平均有效應力不變。

瞬時彈性模量E和剪切模量G也應該不變且等于對應的初始值E0和G0。

現結合以上公式，徑向和環向有效應力可以表示為：

通過上述方程可求得彈性區任意一點處土體單元的平均有效應力p′。在彈性區，總平均有效應力p沒有變化，平均有效應力p′是恒定的常數，可以相應的推出沒有超靜孔隙水壓力的變化，u=u0。

2.2 本構模型簡介

在臨界狀態下，土體表現為具有恒定體積和應力的摩擦性流體材料；對于給定的土體來說，無論其應力路徑如何變化，臨界狀態線CSL 是唯一的，定義為：

式中：q和p′分別為偏應力和平均有效應力；M為p′-q應力空間中臨界狀態線的斜率；μ=1+e0為比體積，e0為孔隙比；λ、κ和Γ 為臨界狀態常量(見圖2)。

圖2 ln p′-μ空間狀態參數圖Fig.2 ln p′-μ Space state parameter diagram

為了解決柱孔擴張過程中屈服面高估“干面”破壞應力，本文采用了YU[20]基于臨界狀態理論，引入應力狀態系數n和參考狀態參數r?(ξR=(λ-κ)lnr?)的邊界狀態曲面，稱為CASM。能夠同時在排水和不排水的加載條件下，較好模擬黏土和砂土整體受力特性。描述CASM 的狀態邊界面為：

狀態參數ξ：在相同的平均有效應力下，當前狀態與臨界狀態之間比體積差值，ξ=μ+λlnp′-Γ，也被BEEN 和JEFFERIES[21]表達為顆粒材料在一定圍壓和密度范圍內的力學性能。q/p′為應力比；n為應力狀態系數，是一種新的材料常數，通常在1.0～5.0；ξR=(λ-κ)lnr?為參考狀態參數；r*為間距比，定義為。同時，原始劍橋模型屈服面對應式(14)中n=1和r?=2.7183的情況。修正劍橋模型屈服面對應選擇r*=2和一個合適的n=1.5 ～2.0可以很好模擬“濕面”屈服面以及克服“干面”高估破壞應力的情況。根據YU 和COLLINS[22]在用臨界狀態模型考慮不同超固結比分析時取n=2.0和r?=2.718，本文取其值進行分析。此時CASM 和MCC 本構模型的屈服面形狀如圖3 所示。

圖3 CASM 與修正劍橋模型屈服面的比較Fig.3 Comparison of yield surface between CASM and modified Cambridge model

對于平均有效應力和偏應力以及狀態參數下，屈服函數的形式可以表示為：

同時，為了能夠反映強超固結黏土的應變軟化現象，本文采用ROWE[23]的應力-剪脹關系表示為：

塑性勢能可以通過應力-剪脹關系(式(16))的積分得到：

對于任意給定的應力狀態p′、q，通過求解式(17)可以很容易地確定尺寸參數 β。

塑性流動法則采用的是非相關聯的，硬化法則采用了經典的各向同性體積塑性應變硬化，表示為：

2.3 彈塑性分析

在p′-q空間中，當q增加到屈服面時，土體開始進入屈服，此時總應變增量為：

式中，上標e 和 p分別為彈性和塑性應變。彈性應變分量的增量，滿足胡克定律與應力增量的關系。

擴張過程中，孔周土體剛度E是彈性模量，定義為2G(1+ν′)；G是剪切模量，在WOOD[24]中用平均有效應力p′和比體積μ表示：

式中：ν′為有效泊松比；κ為ν-lnp′平面上卸載再加載曲線的斜率。在擴張過程中ν′為常數，不排水條件下體積不變，比體積μ增量為0。因此，剪切模量G與平均有效應力p′成正比。

塑性應變分量的增量，假設CASM 模型中的塑性流動是不相關聯的與應力增量的關系：

式中： dL為比例因子； η為應力比，定義為q/p′。根據YU[20]的研究，擴張過程中塑性體積應變為：

通過將式(20)、式(23)代入式(22)， dL求得：

其中：

將式(6)、式(28)代入到式(19)彈塑性本構方程中得：

或者求逆矩陣：

柱孔擴張過程中塑性區變形由大應變理論來描述，因此將環向應變增量定義為：

對于不排水的條件，體積變化為0，即dεv=0，因此可以給出徑向應變增量。

將式(33)代入式(32)，建立一階常微分方程，求解塑性區柱孔擴張有效徑向、環向應力與擴張半徑之間的關系：

式(35)可以計算塑性區位置r對應的有效徑向和環向應力。

2.4 邊界條件求解

隨著柱孔擴張壓力不斷增大，在擴張過程中土體單元從初始位置r0移動到一個新的位置r。在CHEN 和ABOUSLEIMAN[14]方法中，土體單元彈性部分的總位移計算如下：

由于不排水的變形必然是等體積的，所以徑向半徑位移與擴張半徑位移關系:

通過設置r和rxp均等于rp，這代表了當前彈塑性邊界上土體單元的位置，推導結果：

在彈塑性邊界上由應力連續性條件可得：

聯立屈服面方程式(15)求得屈服時的偏應力qy：

考慮到靜止土壓力參數K0的影響：

聯立式(48)～式(50)可以得到彈塑性邊界上的有效應力：

2.5 超靜孔隙水壓力

本文超靜孔壓計算方法為：通過有效應力原理，將總應力等于有效應力與孔隙水壓力之和的關系，即σr=+u和σθ=+u。代入平衡方程式(4)，從擴孔周圍土體單元的彈塑性邊界半徑rp處，積分到擴孔后土體單元對應半徑rx處，便可計算出超靜孔隙水壓力：

3 理論模型驗證與分析

通過與CHEN 和ABOUSLEIMAN[14]、李鏡培等[15]及武孝天和徐永福[17]三種方法進行對比，驗證和分析本文理論模型方法的正確性與實用性，黏土基本物理力學參數選取CHEN 和ABOUSLEIMAN[14]方法進行參數分析，見表1。

表1 黏土基本物理力學參數Table 1 Basic physical and mechanical parameters of clay

3.1 應力路徑

對比圖4(a)、圖4(b)和圖4(c)可見，MCC 模型在p-q平面內初始和最終屈服面為橢圓形，而CASM 模型通過應力狀態系數n=2.0和參考狀態參數r?=2.718旋轉屈服面，來模擬“濕面”屈服面以及克服“干面”屈服面高估屈服應力以及破壞應力的現象。

在圖4(a)中可知，當土體OCR≤2 時，本文方法破壞時偏應力略高于MCC 模型，但在Roscoe物態邊界面以內，且本文方法與物態邊界面較為接近。有效應力路徑在進入屈服面時表現為土體的應變硬化現象。在圖4(b)和圖4(c)中對比Hvorslev面可以得出，當土體OCR>2 時本文方法更接近土體在強超固結時發生屈服應力和破壞應力。有效應力路徑在進入屈服面時表現為土體的應變軟化現象。

當靜止土壓力參數K0≠1 時，土體單元初始應力狀態是在屈服面內；當靜止土壓力參數K0=1時，初始應力狀態為各項同性，不存在偏應力。

3.2 應力分布

為進一步驗證本文方法的正確性與適用性，通過對比CHEN 和ABOUSLEIMAN[14]、李鏡培等[15]及武孝天和徐永福[17]方法對應力分布分析如下：圖5 表示不同超固結比OCR 和不同靜止土壓力參數K0下，黏土柱孔擴張周圍歸一化量綱的徑向應力、環向應力、和豎向應力隨徑向位移r/a的分布規律。圖5 中橫坐標采用對數坐標。

圖5 應力分布Fig.5 Stress distribution

對比圖5 可知，本文方法與修正劍橋模方法[14-15]和CSUH 模型方法[17]彈塑性邊界的位置不同，且隨著超固結比的增大，彈塑性邊界的位置相差越大，這是由于本文方法采用了CASM 模型，修正了重度超固結黏土中屈服應力被高估的現象；在CSUH 模型方法[17]中采用了加載一旦開始，土體立即產生塑性應變，因此擴孔周圍無彈塑性邊界位置。在塑性區，有效應力變化的快慢與硬化法則有關。

當土體OCR≤2 時，本文方法應力分布與CHEN 和ABOUSLEIMAN[14]方法較為吻合，表明本文方法能夠較好地模擬土體單元“濕面”屈服應力和破壞應力。

當土體OCR>2 時，本文方法應力分布與李鏡培等[15]方法更接近，這是由于SMP-MCC 模型引入應力羅德角，其屈服面大小和形狀隨應力狀態變化而改變，與本文采用的CASM 模型較為吻合，克服了“干面”高估屈服應力和破壞應力的情況。同時發現，當OCR=3 時，本文方法與李鏡培等[15]、武孝天和徐永福[17]兩種方法最終的破壞應力值基本相同，進一步驗證了本文方法的正確性與適用性。

3.3 超靜孔隙水壓力與徑向位移的關系

對比圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)可知，本文方法和修正劍橋模型方法[14-15]和CSUH 模型方法[17]的超靜孔隙水壓力之間的異同。

圖6 超靜孔隙水壓力分布Fig.6 Excess pore water pressure distribution

當土體OCR≤2 時，本文方法超靜孔隙水壓力分布與CHEN 和ABOUSLEIMAN[14]方法較為吻合；當土體OCR>2 時，本文方法超靜孔隙水壓力分布與李鏡培等[15]方法更接近；且本文方法比CSUH 模型方法[17]超靜孔隙水壓力分布較低，這是由于CSUH 模型方法假定加載一旦開始，土體立即產生塑性變形，土體無彈性變形。同時在OCR=10時，超靜孔隙水壓力分布出現負孔壓，這是由于重度超固結黏土中徑向和環向有效應力急劇變化引起，反映了重度超固結黏土的剪脹特性。

3.4 剪切模量與徑向位移的關系

圖7 表示柱孔擴張半徑a/a0=2 時，不同超固結比OCR 和不同靜止土壓力參數K0下擴孔周圍土體單元的剪切模量變化規律，在彈性區和臨界狀態區土體的剪切模量基本為一個定值，在塑性區會產生急劇的變化。當土體為輕微超固結和重度超固結時，本文方法剪切模量分布規律與CHEN和ABOUSLEIMAN[14]、李鏡培等[15]兩種方法基本一致；當土體為重度超固結時，本文方法剪切模量分布低于CHEN 和ABOUSLEIMAN[14]和李鏡培等[15]兩種方法，這是由于本文方法采用了CASM模型，修正了屈服應力和破壞應力被高估的現象。

圖7 剪切模量G/G0 與徑向位移r/a 的關系Fig.7 Relationship between shear modulus G/G0 and radial displacement r/a

3.5 分析參數K0 與擴孔關系的影響

圖8 和圖9 展示了不同參數K0下歸一化量綱擴孔壓力[σa-(1+2K0)σ1/3]/su和超靜孔隙水壓力ua/su與歸一化量綱擴孔半徑a/a0之間的關系。當K0=1 時與CHEN 等[19]方法基本相同。

圖8 不同參數K0 下擴孔壓力與擴孔半徑的關系Fig.8 Variation of normalised internal cavity pressure with cavity radius with different parameters K0

圖9 不同參數K0 下擴孔超靜孔隙水壓力與擴孔半徑的關系Fig.9 Variation of normalised excess pore pressure with cavity radius with different parameters K0

當0＜K0＜1 時，歸一化量綱極限擴孔壓力和極限超靜孔隙水壓力隨著K0的增加而增加；當K0＞1 時，歸一化量綱極限擴孔壓力和極限超靜孔隙水壓力隨著K0的增加而減小；當K0=1 時，歸一化極限擴孔壓力和極限超靜孔隙水壓力達到最大值，這是由于處于土體處于三向等壓狀態，受力穩定，一旦土體處于三向不等壓狀態，就會有偏應力存在，先于三向等壓狀態發生破壞。

同時，當K0由1.0 變化到2.5 時，歸一化極限擴孔壓力由5.4 變化到3.2；當K0由1.0 變化到2.5 時，歸一化極限超靜孔隙水壓力由2.4 變化到1.0。當K0較大時(如K0=2.5)在擴孔孔壁周圍會產生負的超靜孔隙水壓力，這是由于豎向應力與水平應力比值較大的影響。如果忽略K0的影響，得到的極限擴孔壓力和極限超靜孔隙水壓力偏大，高估了土體實際應力狀態，對實際工程不利。

綜上，本文建立的超固結黏土柱孔擴張模型，克服了“干面”高估屈服應力和破壞應力的情況，較好地模擬土體單元“濕面”屈服應力和破壞應力，考慮了參數K0的影響，真實反映了柱孔周圍土體單元在擴孔過程中應力位移響應規律。

4 工程應用

應用1：加拿大魁北克市西部，ROY 等[25]進行了一系列靜壓樁試驗并測得了土體初始參數以及樁身周圍孔隙水壓力的變化。試驗場地的工程地質情況為：粉質黏土具有中等至低塑性，并受到中度的先期固結作用，OCR 在2.0～3.0 范圍內。原位有效應力從2.0 m 深處的16 kPa 線性增加到6.0 m 深處的36 kPa。現場試驗測量的不排水抗剪強度su的從2.0 m 深處的12 kPa 線性增加到6.0 m深處的32 kPa。土壤剛度指數Ir，定義為剪切模量G與不排水抗剪強度su之比約為150，有效內摩擦角φ′為30°。

通過對比CAO 等[10]基于修正劍橋模型方法和RANDOLPH 等[26]經驗方法分析如下：從圖10中可知，經驗方法不能考慮黏土超固結、靜止土壓力參數K0以及打樁和貫入過程中土體參數變化的影響，高估了實測值。

應用2：深圳地鐵12 號線海上田園東站基坑試驗區進行了一系列CPTU 試驗如圖11、圖12和圖13 所示，并通過室內土工試驗測得相應的土體初始參數見表2。

表2 黏土基本物理力學參數Table 2 Basic physical and mechanical parameters of clay

圖11 CPTU 試驗設備Fig.11 CPTU test equipment

圖12 CPTU 探頭室內飽和Fig.12 CPTU probe indoor saturation test

圖13 現場試驗Fig.13 Field test

通過試驗得知場地附近工程地質情況：地表以下土層分布情況如圖14 所示。

圖14 土層分布Fig.14 Soil layer distribution

本文選取③3黏土層CPTU 現場實測數據分析孔隙水壓力分布規律。該黏土層受到先期固結作用，超固結比OCR 約在2.3～3.3，原位豎向應力從224 kPa 線性增加至310 kPa，根據CPTU 現場實測數據，確定黏土不排水抗剪強度su從70 m深處的12 kPa 線性增加至19 m 深處的90 kPa，土體剛度指數Ir約為50。

通過對比CAO 等[10]方法和李鏡培等方法[15]分析如下：從圖15 中可知，基于SMP 準側改進的修正劍橋模型方法考慮了打樁過程中土體參數變化的影響，但在超固結黏土中還存在高估的現象。

圖15 CPTU 孔壓預測值與實測值對比Fig.15 Comparison of CPTU pore pressure predicted valueand measured value

綜上，本文方法充分考慮了土體的應力歷史、土體參數變化及三維特性，比較接近地預測了現場實測數據。

5 結論

本文考慮了土體靜止土壓力參數K0和重度超固結比對柱孔擴張問題的影響，基于CASM 屈服準則，采用經典的應力剪脹關系，運用非相關聯流動法則推導了黏土中考慮超固結與K0影響的柱孔擴張問題的彈塑性剛度矩陣。并通過數值方法分析了孔壁周圍土體應力和超靜孔隙水壓力分布規律，應用到打樁和CPTU 貫入過程中擴孔力學機制研究中，得出以下結論：

(1) 建立了黏土中考慮超固結與K0影響的柱孔不排水擴張問題求解模型。

(2) 通過對比物態邊界面中Hvorslev 線表明，本文方法在中度與重度超固結黏土中，克服了屈服應力和破壞應力被高估的現象。

(3) 靜止土壓力參數K0≠1 時，柱孔不排水擴張周圍土體處于三向不等壓狀態，會有偏應力存在，先于三向等壓狀態發生破壞。如果忽略K0的影響，高估了土體實際應力狀態，對實際工程不利。

(4) 對比現場實測數據得出，本文方法能夠預測中度與重度超固結土中打樁與CPTU 貫入過程中擴孔周圍孔隙水壓力的變化規律。