隨機激勵下帶滯變阻尼的調諧質量阻尼器減振性能研究

向 越，譚 平，賀 輝，陳倩敏

(1.廣州大學土木工程學院，廣州 510006；2.廣州大學工程抗震減震與結構安全教育部重點實驗室，廣州 510006；3.湖南工學院土木與建筑工程學院，衡陽 421002)

調諧質量阻尼器(TMD)作為結構被動控制策略，其應用在機械、土木行業取得重大進展[1-3]。歐進萍等[4]彌補了我國調諧控制體系的空缺，提出了適用于調諧質量控制系統的分析與設計框架。李春祥等[5]研究了TMD 高層鋼結構系統的風振舒適度控制設計方法。眾所周知，TMD 的參數對結構控制效果十分重要。傳統TMD 的參數優化有三大準則，分別是H∞優化準則[6]、H2優化準則[7]以及穩定性優化準則[8]，三者分別代表了簡諧激勵下使結構頻響函數峰值的最小化、隨機激勵下使結構頻響函數覆蓋的頻域能量最小化以及使結構的瞬態響應最小化。WARBURTON[9]從理論推導并總結了適用于各種優化工況的黏滯阻尼TMD 最優參數。VILLAVERDE[10]對減震控制的TMD 進行復模態分析并提出使結構-TMD 體系的綜合阻尼比等于結構阻尼比和TMD 阻尼比的平均值的優化思路。隨后，SADEK 等[11]重新定義了該TMD 的減震優化準則并得到最優參數公式。

相較于簡諧激勵，利用隨機激勵來控制結構響應的概率更加符合實際情況。ASAMI 等[12-13]運用H2優化推導出TMD 適用于無阻尼結構的最優參數解析式和有阻尼結構在不同激勵下的代數解析解。同時，他提出了附加空氣阻尼的三元素吸振器模型并得到了基于H2優化準則的最優參數解析式[14]。BAKRE 等[15]通過數值擬合方法對有阻尼結構的TMD 在金井清譜和白噪聲下的最優參數進行分析研究并發現兩者的最優參數差異不大。他指出，這是由于過濾白噪聲的金井清譜屬于慢變寬頻帶體系與白噪聲差異較小導致的。TIGLI[16]推導出以速度為優化目標的H2最優參數解析解，并證明按速度為優化目標時能使總體上呈現較好性能體現。MATTA[17]基于H2優化方法提出了地質條件對準結構頻率的最壞情況濾波下參數優化方法，該方法可以適用于所有場地條件下的最壞情況。彭凌云等[18]對風荷載作用下的復剛度阻尼TMD 進行參數優化研究。孫攀旭等[19]從復阻尼模型的滯變阻尼模型角度出發，提出了基于傅里葉變換的時域計算方法和基于希爾伯特-黃變換的時域計算方法，克服了復阻尼模型天然時域發散問題。作為TMD 的熱點研究領域，CHEN 等[20]研究了非線性TVMD 在隨機白噪聲下的最優參數變化。HE 等[21]基于H2優化和阻尼比增效準則提出了TVMD 最優設計參數理論解。羅一帆等[22]從基于H2優化理論得到了電磁調諧雙質阻尼器的最優參數公式。王寶順等[23]克服了 TMD 和 PSSPD 的不足，提出的質量調諧-顆粒阻尼器復合減振體系具有更寬的減振頻帶和更好的魯棒性。盛曦等[24]將TID 應用于鋼彈簧浮置板軌道中，并使軌道低頻減振性能得到有效提高。王奇等[25]利用粒子群對以彈簧作為擺動連接構件的擺式TMD 進行參數優化設計。

由于高層高聳結構裝配TMD，通常要考慮裝配TMD 的空間，更少的TMD 行程將提供更多的結構空間利用率和經濟效益。譚平等[26]基于首次穿越破壞準則對隨機風振下TMD 進行限位控制，并表明由于TMD 位移比層間位移要大，為防止TMD 與結構發生碰撞須進行TMD 限位設計。

滯變阻尼是一種與速度同相位且阻尼力大小正比于位移的阻尼形式[27]如圖1。MURAVSKII[28]對單自由度滯變模型的頻率無關特性進行分析。然而，這些分析和研究只存在在于理論之中，尚未有做出上述力學模型的真實TMD 設備。直到近年來，MATTA 等[29]和KANG 等[30]分別提出了摩擦力隨TMD 位移增加而增加的變摩擦擺式調諧質量阻尼器(VFP-TMD)和Reid-TMD，并相繼提出基于動力數值分析和應用諧波平衡法的參數優化方法。理論上，上述兩種TMD 通過庫侖-摩擦定理中的變摩擦系數[31]和變壓力大小從而使TMD 具有與位移相關的變摩擦阻尼力特性。與傳統的常摩擦以及多級變摩擦TMD[32]相比，滯變阻尼調諧質量阻尼器(HD-TMD)具有能為不同幅值激勵提供穩定的減振效果，實現有效縮小的TMD 行程等優勢。值得注意的是，目前理論上針對隨機白噪聲下的HD-TMD 最優參數設計尚存不足。出的方法的有效性。

圖1 滯變阻尼與黏滯阻尼滯回環Fig.1 Hysteretic damping loops for hysteretic damping and viscous damping

1 HD-TMD 基本方程

HD-TMD 由質量塊、剛度元件和滯變阻尼元件組成。與速度型傳統黏滯阻尼TMD 相比，HDTMD 具有線性位移相關特征。滯變阻尼元件的力學表達式如式(1)：

式中：xt為TMD 相對于結構的位移行程； η為滯變阻尼比；kt為TMD 的剛度。以控制結構第一振型的單質點結構-HD-TMD 體系為例(如圖2)，利用拉格朗日定理推導得到風振下結構-HD-TMD 運動方程如下：

圖2 結構-HD-TMD 體系Fig.2 Structure-HD-TMD system

式中：x1、m1、k1和c1指結構的位移、質量、剛度和阻尼；mt為TMD 的質量；f定義為結構遭遇的外力荷載。在無量綱化處理(表1)和拉普拉斯變換下(式(3))可將時域方程轉化為結構和HD-TMD的頻響函數表達式如式(4)和式(5)：

表1 無量綱化參數備注Table 1 Notations for dimensionless parameter

式中，X1和Xt為結構和TMD 的頻率響應。

2 H2 優化

2.1 理論推導

作為成熟的振動控制優化策略，隨機白噪聲下的H2優化的結構位移目標函數如下[9]：

式中，S0為歸一化常數譜強度。可見，該目標函數是在統計學概念上的方差位移，是通過對頻響函數的平方積分得到的。然而，如式(4)所示，頻響函數將因滯變阻尼的符號函數而分成兩種表達式如下：

鑒于此，本文對隨機白噪聲下HD-TMD 進行減振分析與研究，進一步為HD-TMD 的參數設計提供理論設計指導。首先，介紹了HD-TMD 的力學性能以及結構-HD-TMD 體系的運動方程；然后，應用H2優化準則推導出性能目標表達式并通過數值擬合得到HD-TMD 最優參數擬合公式；同時，為了考慮TMD 行程受限的影響，在H2優化的前提下進一步提出性能平衡設計；最后，通過實際結構在600 s 脈動風荷載中的響應，檢驗所提

其中：

為了方便積分運算，應用留數定理簡化積分表達式。首先，對式(8)中的分母進行復數分解如下：

式中，λi(i=1,2,3,4)定義為復平面中的奇點。

應用留數定理可將目標函數進一步提煉如下：

其中：

利用代數運算，發掘出上述系數的深層聯系如下：

其中：

整理式(11)～式(14)，可得目標函數簡化表達式如下：

根據式(9)可得奇點之間的關系如下：

進一步推導可得到奇點耦合關系如下：

通過復平面轉換，可將式(17)中的虛部消除并得到奇點耦合系數如下：

其中：

將式(9)、式(18)和式(19)代入式(15)便可得到目標函數的簡化表達式。

2.2 H2 最優參數公式

通常而言，最優參數解析解可以通過令I2對ft和 η的偏微分方程為0 得到解決。但對于HDTMD 的最優參數來說，由于通過簡化后的目標函數代數式階數過高，用上述方法將受限于阿貝爾定律(the theorem of Ruffini-Abel)難以獲得解析解。因此，基于式(15)用分支界限法獲取HD-TMD的數值最優頻率比和最優滯變阻尼比并進行曲線擬合如下：

其中：

式(20)適用于TMD 質量比分布區間為0%～50%的范圍內，這一范圍覆蓋了實際的常規TMD的應用場景。值得注意的是，最優頻率比的擬合最大誤差和均方差誤差分別為0.0873%和0.0219%，而最優滯變阻尼比的最大誤差和均方差誤差分別為3.629%和0.8464%。HD-TMD 最優參數與Den hartog[6]和Warburton[9]的經典最優參數對比如圖3所示。其中，用于對比的Warburton[9]最優參數公式所選的是基于外激勵荷載和隨機白噪聲的最優參數公式。

圖3 最優參數對比圖Fig.3 Comparisons for optimal parameters

同時，基于黏滯阻尼在同一位移和循環中產生的阻尼能量相等原則，推導出經典最優阻尼比對應的等效最優滯變阻尼比如式(22)所示，并在圖3 中進行對比。由圖3(a)和圖3(b)可知，最優頻率比隨質量比的增加而降低，而且HD-TMD 最優頻率比高于傳統黏滯阻尼TMD 的最優頻率比。然而，最優(滯變)阻尼比與質量比正相關，HDTMD 最優滯變阻尼比要低于傳統黏滯TMD 的等效最優滯變阻尼比。由圖3(c)可知，HD-TMD 的最優參數能提供最小的性能目標，從而具有比傳統黏滯TMD 更加優異的性能，凸顯出HD-TMD采用H2優化的有效性，詳細的HD-TMDH2優化步驟如圖4 所示。

圖4 HD-TMD 的H2 優化步驟Fig.4 Procedure for H2 optimization of HD-TMD

3 性能平衡設計

3.1 性能目標

為了創造更多的經濟利益和提高結構空間利用率，高層高聳結構裝配TMD 時往往有場地限制的影響。因此，在HD-TMD 的優化設計階段時，需要考慮HD-TMD 行程的影響。鑒于此，對HDTMD 進行性能平衡設計，通過加入一預先設定的權重百分比因子 α考量加入HD-TMD 行程的綜合性能目標如下：

類似地，基于留數定理應用如圖4 所示的H2優化步驟可得到HD-TMD 位移的性能目標表達式如下：

結合式(15)和式(25)，性能平衡設計的綜合性能目標如下：

式中，奇點耦合系數可參考式(9)、式(18)和式(19)。

3.2 參數分析

基于式(26)用分支界限法獲取HD-TMD 性能平衡設計的最優頻率比和最優滯變阻尼比，如圖5所示。由圖5 可知，同一權重因子下，最優參數隨質量比變化的規律與2.2 節中分析的結論一致。同一質量比下，最優頻率比的變化在給出的0%～5%權重因子區間內無變化，而最優滯變阻尼比隨權重因子的增加而增大。

圖5 性能平衡設計的HD-TMD 最優參數Fig.5 Optimal parameters for performance balance design of HD-TMD

質量比分別為1%、2%和10%的HD-TMD性能平衡設計的最優性能目標如圖6 所示，考慮HD-TMD 行程的最優綜合性能指標I1與結構性能指標I2隨這權重因子的增加而增加，而最優綜合性能指標由于I3的加入比相對于結構性能指標對權重因子更加敏感。這表明：HD-TMD 性能目標值I3的數量級在權重因子較小時相比于I2較大，因此權重因子的選擇應該慎重，否則將得到無現實意義的最優參數。同時可以發現，權重因子對質量比大的HD-TMD 影響較小。

圖6 性能平衡設計的最優性能目標Fig.6 Optimal performance indices for performance balance design

由于結構的響應隨權重因子的增加而增加，這意味著HD-TMD 的振動控制能力降低。因此，提出結構控制容忍度約束上述控制損失。容忍度可視為對權重因子的物理意義具現化指標，代表考慮HD-TMD 位移后的可接受的控制損失。

質量比為3%的結構性能目標如圖7 所示，其中各容忍度對應的最優參數在圖中標注為虛線。可以清晰的看出不同容忍度為結構性能目標的增長提供了不同級別的防線，反映出使用性能平衡設計并不是盲目的而是具有現實意義的約束HD-TMD的位移同時達到給定條件下結構最優控制的效果。

圖7 μt=0.03時性能平衡設計的結構性能目標Fig.7 Structural performance index for performance balance design ofμt=0.03

不同容忍度下最優參數的動力放大系數如圖8所示。由圖8(a)和圖8(b)可知，當α=0時結構和HD-TMD 的動力放大系數都表現出明顯的頻域雙峰調諧效果。隨著容忍度的增加，結構動力系數的峰值不斷攀升，意味著振動控制損失的產生越來越大。此時，HD-TMD 的動力放大系數峰值和覆蓋范圍不斷減小，證明基于容忍度的性能平衡設計能有效控制HD-TMD 的位移行程。

圖8 μt =0.03時性能平衡設計的動力放大系數Fig.8 Dynamic amplification factor for performance balance design ofμt=0.03

眾所周知，頻率比對TMD 的影響至關重要，性能平衡設計對結構在不同頻率變化階段下HDTMD 的控制效果如圖9 所示。由圖9 可知，一旦HD-TMD 產生失諧控制，結構性能目標值將迅速攀升，意味著HD-TMD 的控制效果迅速減弱。然而，隨著容忍度的增加，高權重因子的性能平衡設計結果展現出HD-TMD 較好的魯棒性，即隨著失諧因子的絕對值增加結構性能目標值的增長速率較α=0的增長速率低。HD-TMD 性能平衡設計的設計步驟如圖10 所示，值得突出的是基于容忍度的性能平衡設計能精確的調整所需要的權重因子從而確定最優參數，這是與已有參數設計思路不同的。

圖9 μt=0.03時性能平衡設計的失諧影響Fig.9 Detuning effect for performance balance design ofμt=0.03

圖10 性能平衡設計的設計步驟Fig.10 Procedure for performance balance design

4 實際應用的數值驗證

4.1 算例參數

為更好地驗證本文提出的H2優化最優參數和性能平衡設計方法，本節采用實際應用TMD 的某高層景觀塔模型的第一模態數據[33]以及實際可用的HD-TMD—VFP-TMD 進行順風向脈動風荷載下的仿真計算，模型具體參數如表2 所示。脈動風根據Davenport 譜應用諧波合成法，按照《建筑結構荷載規范》[34]中的百年一遇基本風壓0.6 kPa 進行模擬。頂點處風速譜對比以及脈動風速時程如圖11 所示，模擬結果表示模擬譜與目標譜走勢一致且誤差較小證明模擬脈動風荷載的有效性。

表2 具體參數Table 2 Detail parameters for verification

圖11 百年重現期脈動風速時程與功率譜Fig.11 Time history simulation and power spectrum of 100-year return period fluctuating wind speed

VFP-TMD 由變摩擦擺裝置(Variable friction pendulum bearing, VFPB)和質量塊組合，頻率由擺長半徑決定，通過變摩擦系數式的布置使VFPTMD 具有滯變阻尼特性。VFPB 的可用性在隔震體系中已有成熟的應用[35]，其依賴于滯變阻尼特性克服常摩擦摩擦擺的受限于激勵幅值的控制不穩定性[36-38]。具有初始摩擦的實際VFP-TMD 的摩擦阻尼力表達式如下[38]：

當滯變阻尼部分為0 時，式(27)可退化成常摩擦阻尼力的表達式。相應地，結構-VFP-TMD體系運動方程為：

為了突出HD-TMD 在隨機白噪聲下的減振控制效果，采用容忍度為5%的性能平衡設計并增加已有文獻的最優參數參照組結果作為對比，如表3所示。表3 中：TMD1 和TMD2 分別為Warburton的黏滯阻尼TMD 和等效滯變阻尼HD-TMD 最優參數；TMD3 和TMD4 分別為本文所用的H2最優參數公式結果和性能平衡設計下的HD-TMD 最優參數；TMD5 為的是Matta 數值H2優化下的HDTMD 最優參數結果[29]。

表3 TMD 最優參數對照表Table 3 Optimal parameters for comparison

4.2 算例分析

為表明算例減振控制效果，定義峰值減振率Rmax和均方根值減振率Rrms如式(29)和式(30)所示。

式中：x1,max,TMD和x1,max,unc為TMD 工況下的結構位移峰值和無控工況下的結構位移峰值；和為TMD 工況下的結構位移均方根和無控工況下的結構位移均方根。脈動風荷載下的時程響應和綜合指標結果分別如圖12 和表4 所示。從圖12和表4 的算例指標數值可以看出，5 種最優參數的黏滯阻尼TMD 和HD-TMD 都可以為有阻尼結構提供有效可靠的減振控制效果。其中，TMD3 能提供最好的峰值減振率、均方根減震率，同時使結構加速度最小化。上述現象證明本文提出的基于H2優化的最優參數公式的有效性，同時證明HD-TMD 的減振控制作用不弱于傳統最優參數下的黏滯阻尼TMD。

表4 算例指標值Table 4 Objective values for verification

圖12 脈動風作用下的數值響應Fig.12 Numerical response for fluctuating wind

值得注意的是，VFP-TMD 是一種擺式運動裝置，其線性化的運動方程將在TMD 產生較大位移時失效，同時意味著TMD 控制頻率的失穩。而XU 等[39]研究表明擺式TMD 在擺動角度為9。內時為線性階段，本研究以此為線性擺動最大幅值并體現在圖12(c)中。在本算例中，TMD3 對應的最大擺動幅度為9.53。這表明盡管達到了最優的控制效果，但由于TMD 的行程過大將導致體系出現非線性以及響應可能出現失真的情況。然而，TMD4 的擺動幅度為8.33。這表明本文提出的性能平衡設計能有效降低TMD 的行程，保持了TMD的魯棒性并使體系整體依舊體現線性。與TMD3相比，TMD4 在峰值減震率和均方根減振率中的控制損失僅為3.19%和0.74%。

5 結論

本文對隨機白噪聲下的HD-TMD 進行減振控制研究。構建了單質點結構-HD-TMD 體系的運動方程，并推導出其頻響函數。基于H2優化準則推導出最優性能指標的簡化表達式，并得到最優參數擬合公式。隨后，考慮HD-TMD 行程對控制效果的影響，引入基于容忍度的性能平衡設計方法。具體結論如下：

(1) 相較于其他傳統最優參數，基于H2優化的最優參數能提供使頻響函數頻域面積最小的最優結構性能指標。由于阿貝爾定理的影響，本文通過數值擬合，得到了質量比從0%～50%的能應用于絕大多數TMD 場景的最優擬合公式結果。

(2) 在百分比權重因子的連接下，得到了考慮HD-TMD 行程的性能平衡設計。在容忍度的加入下，可以得到不同具體設想下HD-TMD 的最優參數。參數分析結果表示，權重因子對最優頻率比的影響較小，對最優滯變阻尼比的影響較大。失諧分析表示，權重因子越高時，得到的最優滯變阻尼比最高，從而使HD-TMD 的魯棒性越強。

(3) 實際應用案例驗證了本文所采用的兩種優化方法的有效性和優越性。基于H2優化的最優參數能提供最優的控制效果，但由于HD-TMD 行程過大將導致實現HD-TMD 的VFP-TMD 出現非線性。采用性能平衡設計能有效降低HD-TMD 的行程，保證了體系的線性和控制的魯棒性，同時提供了與傳統黏滯阻尼TMD 相當的控制效果。