鋼筋混凝土柱的易損性函數研究

代曠宇，于曉輝，呂大剛

(1.鄭州大學水利與土木工程學院，鄭州 450001；2.哈爾濱工業大學土木工程學院，哈爾濱 150090；3.桂林理工大學土木建筑工程學院，桂林 541004)

歷史地震表明：地震將會造成建筑物的損傷，從而引起巨大的人員傷亡和巨量經濟損失。為科學的評估建筑物的抗震性能，美國于20 世紀90 年代中期開展了ATC-33 項目，相關研究成果最終形成了ASCE/SEI 41-17 系列規范[1]。在此期間，基于性能地震工程(Performance-based earthquake engineering, PBEE)的理念逐漸成型，并逐漸成為土木工程和地震工程領域眾多專家、學者和工程師們的廣泛共識。

早期的PBEE 框架無法考慮地震強隨機性、復雜性及結構存在的不確定性[2]。2000 年以后，CORNELL 和KRAWINKLER[3]學者提出了新一代的PBEE 研究框架，將研究由第一代基于性態性能目標的確定性框架向第二代基于可靠度和風險為性能目標的全概率框架轉變[4]。第二代的PBEE中的一個重要的研究目標是對建筑結構的震后損失進行精細化的分析。為達到這一目標，學者提出了構件的易損性函數這一概念[5]。構件的易損性函數表征了構件在不同大小的需求參數條件下，發生不同狀態損傷的概率。同時，其通過定義不同損傷狀態對應的修復方法及造價信息，可對震損建筑后期修復所需的直接加固費用及采用不同加固方法所造成的間接經濟損失進行評估。受FEMA[6]資助，研究人員基于構件的試驗信息建立了混凝土結構[7]、鋼結構[8]、木結構[9]、砌體結構[10]等各類結構關鍵構件的易損性函數。此外，FEMA P-58 項目組還開發了性能評估計算工具PACT(Performance assessment calculation tool)[11]，將已獲得的構件易損性函數儲存在內，從而用于各類型結構的損失評估。然而，目前PACT 中所包含的易損性函數僅相容于美國規范。由于中美規范的差異性[12]，因此，這些易損性函數無法直接用于中國結構的地震損失及韌性評估工作。

鑒于上述，本文面向我國量大面廣的鋼筋混凝土(RC)結構，針對RC 結構中的關鍵抗側力構件—柱，基于大量文獻調研，建立了滿足我國現有設計規范的鋼筋混凝土柱的擬靜力試驗數據庫。參考現行規范及相關研究，定義了RC 柱的損傷狀態及修復方法。基于FEMA P-58 方法，建立了RC柱在各損傷狀態下所對應的易損性函數，并對所建立的易損性函數進行了質量評定。同時討論了抗震設防等級和軸壓比對易損性函數參數及易損性曲線的影響。

1 構件易損性函數的建立

1.1 構件易損性函數的概念

構件的易損性函數表征了在給定需求參數下，構件不同損傷狀態下的失效概率，在研究中一般假定其服從對數正態分布[13-15]，其表達式為：

式中：Fi(EDP)為構件在損傷狀態i時的條件概率；EDP 為工程需求參數；Φ 為標準正態(高斯)累積分布函數；θi為概率分布的中位值；βi為對數標準差。

由式(1)可看出，確定構件的易損性曲線最重要的是確定其在各個損傷狀態下的中位值θi及對數標準差βi。FEMA P58 中給出了不同數據來源及數據質量情況下建立構件易損性函數的多種方法。其中，在實際需求數據已知時(即通過試驗可直接獲取需求參數對應數據)，可采用圖1 所示的7 個步驟建立構件易損性函數。

圖1 易損性函數的建立流程Fig.1 Process to develop the fragility function

由圖1 可看出，易損性函數建立流程總體上可分為三個階段，步驟1～步驟4 為數據準備階段，步驟5 為參數計算階段，步驟6～步驟7 為質量評定階段。

1.2 數據準備

建立構件的易損性函數首先可通過搜集既有文獻研究建立所構件的試驗數據庫。隨后，基于構件在地震作用下不同階段的損傷特征，須確定構件的損傷狀態及對應的修復方法。在此之后，選擇合適的工程需求參數，提取各級損傷狀態構件所對應的數據點。通過步驟1～步驟3 獲取各損傷狀態下構件對應的數據點后，須在步驟4 中采用Peirce 準則對各組數據進行校驗，刪除數據集中的離群值，相關理論見文獻[16]。

1.3 參數計算

步驟5 為參數計算階段，在獲取優化后的數據集后可通過相應公式計算易損性函數的參數值。對于中位值θi，可由式(2)計算：

式中：M為試驗數據的數量；dj為構件的通過試驗測得的第j個需求值。

對于對數標準差βi，實質上為考慮不確定性對易損性函數影響的參數，其計算式為：

式中，βr,i和βu,i分別為易損性函數中考慮本質不確定性和主觀不確定性的對數標準差。

βr,i的計算公式為：

對于βu,i，FEMA P-58 給出了βu,i≥0.25 及βu,i=0.1 兩種取值方式，具體取值情況及對應的條件如表1 所示。

表1 βu,i 的取值及對應的條件Table 1 Values of β u,i and the corresponding conditions

1.4 質量評定

在獲取易損性函數的參數值后，須通過步驟6和步驟7 對獲得的易損性函數的質量進行評定。根據FEMA P-58 規范[6]，易損性函數的質量可分為高、中和低三個等級。對易損性函數進行質量評定的主要目的為給出易損性函數的可信程度供決策者參考。對于基于實測數據建立的易損性函數，根據FEMA P-58 規定[6]需綜合考慮數據質量(相關文獻是否通過同行評議)、試件數量及函數是否通過Lilliefors 檢驗[17]等方面對其質量進行綜合評定，如表2 所示。

表2 易損性函數質量評定準則Table 2 Criteria to assess the quality of fragility function

Lilliefors 檢驗[17]是為了易損性函數是否滿足假定的對數正態分布。在易損性函數的假設檢驗中，一般取顯著性水平為5%。通過對比經驗累積分布函數和假設累積分布函數之間的最大絕對差D值與5%顯著水平下計算得到的臨界差Dcritical值的大小，可判定樣本分布是否通過Lilliefors 檢驗。當D≤Dcritical時則接受易損性函數正態分布假設，D＞Dcritical則表示可拒絕接受對數正態分布的假設。其中，D值可由式(5)計算：

式中，SM(EDP)為試驗樣本的累計概率分布函數，其計算公式為：

Dcritical值與數據量及所考慮的顯著性水平相關，在5%顯著性水平時，其計算式為：

式(5)為求解在給定EDP 下，通過易損性函數計算得到的理論易損性曲線與經驗易損性累計概率曲線超越概率相減的最大絕對值，其示意圖如圖2 所示。

圖2 理論易損性曲線和經驗易損性曲線Fig.2 Theoretical and empirical fragility curve

2 RC 柱的試驗數據集

搜集國內外文獻，建立了包含346 根柱試件的擬靜力循環往復試驗數據庫。參考我國現行《混凝土結構設計規范》(GB 50010-2010)[18]及《建筑抗震設計規范》(GB 50011-2010)[19]，采用以下準則篩選滿足我國設計規范的RC 混凝土框架柱試驗數據：

1) 試件的剪跨比大于2 且柱截面長邊與短邊之比小于等于3；

2) 試件的混凝土強度介于C20～C50 之間；

3) 試件的縱筋的鋼筋強度大于HRB400 鋼筋的標準值400 MPa，箍筋的鋼筋強度大于HRB335鋼筋的標準值335 MPa；

4) 試件的軸壓比大于0，且設計軸壓比小于1.05；

5) 試件的縱筋配筋率大于0.5%；

6) 試件的箍筋體積配箍率大于0.4%。試件的試驗配箍特征值滿足《建筑抗震設計規范》表6.3.9中各抗震等級對應最小配箍特征值的要求。此外，箍筋間距需小于等于150 mm；

7) 試件的破壞模式為彎曲破壞或彎剪破壞。

共挑選得到107 根滿足上述挑選準則的柱試件，試件的主要設計參數范圍如表3 所示，詳細設計信息見文獻[20]。此外，由于試件構造形式及加載時的邊界條件不同，本文對所有構件的荷載-位移數據進行了歸一化處理，將所有數據按照圖3 所示轉換為假定加載試件為懸臂柱時的彎矩-轉角數據[21]。

表3 柱試件的主要設計參數范圍Table 3 Range of the main design parameters of the columns

圖3 RC 柱歸一化邊界條件Fig.3 Normalized boundary conditions of RC column

3 損傷狀態、修復方法及數據提取

3.1 損傷狀態及修復方法

結合錢稼茹和馮寶銳[22]的研究及《高層建筑混凝土結構設計規程》(JGJ 3-2010)[23]，本文將RC柱的損傷狀態分為六級：輕微損壞、輕度損壞、中度損壞、比較嚴重損壞、嚴重損壞和倒塌，編號分別命名為DS1～DS6，上述損傷等級劃分亦被我國的《建筑結構抗倒塌設計標準》(T/CECS 392-2021)[24]所采用，柱構件在各損傷狀態下對應典型的試驗現象的圖片如圖4 所示。參考PAGNI 和LOWES[25]及GOKSU 等[26]研究，表4 給出了各損傷狀態對應的修復方法。上述修復方法是PAGNI和LOWES 結合FEMA 308 規范[27]及專家問卷調查制定的。

圖4 各損傷狀態的典型試驗現象圖片Fig.4 Typical phenomena images for each damage state

3.2 工程需求參數及數據點提取

過去的研究表明：采用位移角作為混凝土試件的工程需求參數相對于其它參數如加載圈數、應變、能力耗散等，能更好的描述需求參數與損傷狀態的關系[25-28]。因此，本文采用位移角作為RC柱易損性函數的工程需求參數。錢稼茹和馮寶銳[22]的研究表明：RC 柱的損傷狀態與位移轉角之間存在很強的相關性。二者通過建立了RC 柱構件的四折線彎矩-轉角(M-θ)骨架曲線，并標定了柱構件各損傷狀態對應的骨架曲線特征點，如圖5 所示。上述研究被我國的《建筑結構抗倒塌設計標準》(T/CECS 392-2021)[24]所采用。

圖5 損傷狀態在四折線骨架曲線所對應的特征點Fig.5 Characteristic points corresponding to the damage states in the backbone curve

圖5 中：骨架曲線上的特征點包括B點、IO點、C點、LS點、D(CP)點和E點，分別對應構件達到輕微損壞、輕度損壞、中度損壞、比較嚴重損壞、嚴重損壞和倒塌。其中，B點、C點、D點和E點分別對應骨架曲線上的名義屈服點(此時My=0.8Mp)、峰值點、抗彎承載力下降15%和25%的點。值得注意的是，《建筑結構抗倒塌設計標準》[24]將構件的彎矩承載力下降15%之后的損傷狀態統一規定為“嚴重損壞”，并未對彎矩承載力下降25%的損傷狀態進行定義。考慮上述問題，本文參考崔濟東[29]針對RC 柱的相關研究，將E點之后的狀態定義為“倒塌”，構件在D點時承載力下降但仍具備豎向承載能力，而在達到E點時徹底失去豎向承載能力。

基于上述研究，本文提取了試驗數據集107根構件的骨架曲線，并通過骨架曲線獲得了各損傷狀態所對應的位移角數據點，用于建立RC 柱的易損性函數。試件各損傷狀態所對應的位移角數據詳見文獻[20]。

4 RC 柱的易損性函數及評估

4.1 易損性函數參數及曲線

在刪除離群值后，結合式(2)～式(4)可得到RC柱在各極限狀態的易損性函數參數，如表5 所示。由表5 可看出，隨著試件的損傷等級的提升，其易損性函數位移中位值θ 逐漸增長。RC 柱在易損性函數的對數標準差β 處于0.339～0.425，構件間變形能力變異性較低。這說明了按我國當前規范設計的柱試件的可靠性較高。此外，由DS5 和DS6 的中位值θ 僅從4.107%增長至4.52%，可看出試件在嚴重破壞階段后輕微的位移增長即可造成試件倒塌。這表明嚴重破壞及倒塌的分界點并非十分明顯。

表5 易損性函數參數Table 5 Parameters of fragility functions

將易損性函數參數代入式(1)可得到RC 柱的易損性曲線，如圖6 所示。由圖6 可看出隨著損傷狀態的提高，在相同位移下高損傷狀態易損性曲線的超越概率逐漸減小。對比DS5 和DS6 曲線，可看出二者之間的差異性相較于其余損傷狀態對應的易損性曲線較小。

圖6 RC 柱的易損性曲線Fig.6 Fragility curves of RC columns

4.2 函數質量評定

4.2.1 Lilliefors 檢驗

通過式(5)～式(7)可獲得各易損性函數的Lilliefors 檢驗結果，如表6 所示。由表6 可看出，DS1、DS4、DS5 和DS6 通過了5%顯著性水平下的正態分布的假設。DS2 和DS3 并未通過Lilliefors檢驗，但對比D和Dcritical值可發現其數值相差并不明顯。這意味著對DS2 和DS3 的易損性函數采用對數正態分布函數假定并不會造成結果的顯著誤差。

表6 Lilliefors 檢驗結果Table 6 Results of Lilliefors test

4.2.2 本文結果與FEMA P-58 對比

表7 中對比了FEMA P-58/BD3.8.6[7]中的彎曲破壞為主的RC 柱的易損性函數與本文結果。FEMA P-58 易損性函數所采用的試件均滿足ASCE/SEI 41-06[30]設計規范中的構造要求。FEMA P-58 將RC 柱的損傷狀態劃分為DSC、DS0、DS1、DS2 及DS3五個等級，分別與本文的DS1～DS5 對應。由表7可看出，本文易損性函數的中位值θ 整體上高于FEMA P-58 結果。這說明采用中國規范設計的柱構件的在低損傷狀態下的變形能力要高于美國規范的構件。隨著損傷狀態的提升，二者在DS5 時差異性僅有2.93%。說明中美規范設計的柱構件的極限變形能力相似。此外，對比二者的對數標準差，可發現FEMA P-58 結果與本文研究結果存在差異性。這是由于FEMA P-58 在中獲得試件易損性函數時采用的數據量小(36 榀構件)且主要設計參數的變異程度比本文小所導致的。

表7 FEMA P-58 結果與本文結果對比Table 7 Comparison of fragility function parameters between FEMA P-58 and this study

4.2.3 函數質量評定

由表7 給出的易損性函數質量評定準則可對本文的易損性函數進行質量評定。由于本文易損性函數滿足以下要求：1) 所搜集的試驗數據均來源于期刊或學位論文，數據質量經過同行評議檢驗；2) 試件數量大于5 個；3) 大部分易損性函數通過了5%顯著水平的Lilliefors 檢驗，未通過的易損性函數的D和Dcritical值亦相差較小；4) 易損性函數的中位值θ 與FEMA P-58 接近；5) 易損性函數的對數標準差β 介于0.2 和0.6 之間。因此，本文建立的易損性函數質量整體可判定為高質量水準。

5 影響因素分析

過去的研究表明：軸壓比、配筋率、體積配箍率、剪跨比等設計參數影響RC 柱試件的變形能力[28-31]。其中，配筋參數及軸壓比對其影響尤為明顯[22]。參考《建筑抗震韌性評價標準》(GB/T 38591—2020)[32]，按試件配筋參數及試驗軸壓比將試件劃分為六組。對于配筋參數，根據抗震規范對于各級框架柱需滿足的配箍特征值及最小配筋率，將試件按抗震等級分為一級、二級和三、四級三類。同時，軸壓比考慮v≤0.3 及v>0.3 兩種情況。將v≤0.3 的試件定義為低軸壓比試件，v>0.3的試件定義為高軸壓比試件，該分組方式亦被紀曉東等[12]在進行RC 剪力墻構件易損性函數研究時所采用。

5.1 易損性函數參數影響

分別對不同抗震等級及軸壓比分組的試件建立易損性函數，其易損性函數參數值如表8 所示。由表8 中給出的易損性參數值可獲得易損性函數參數隨抗震等級及軸壓比的變化規律，如圖7所示。由圖7 可看出，在相同的損傷狀態及設防等級下低軸壓比試件的易損性函數中位值θ 總是高于高軸壓比試件。同時，在低軸壓比工況下，θ 值與試件的設防等級顯示出了明顯的規律性。一級框架柱的θ 值高于二級框架柱，二級框架柱高于三、四級框架柱。在高軸壓比工況下，一級框架柱在部分損傷狀態的θ 值低于二級框架柱，但差別極小，且二者均明顯高于三、四級框架柱。

表8 鋼筋混凝土柱考慮抗震設防等級及軸壓比的易損性函數Table 8 Fragility functions for RC columns considering seismic grade and axial load ratio

圖7 易損性函數參數隨抗震等級及軸壓比的變化Fig.7 Fragility function parameters variation with seismic grade and axial load ratio

對于易損性函數的對數標準差β，可看出其在不同設防等級及軸壓比的工況下并未顯現出與中位值θ 類似的明顯規律。然而，從整體上可看出β 值的范圍約在0.3～0.45。各工況的β 值在DS3 時整體上最高。這是由于RC 柱試件峰值點所對應位移角的變異性較高所導致的。在DS6 時，各工況的β 值的差異性最小，這說明RC 柱試件在給定設防等級及軸壓比下的極限變形能力的差異性較小。

5.2 易損性曲線影響

本文采用了ΔPf這一指標用于定量化研究抗震設防等級及軸壓比對RC 柱試件在各損傷等級的易損性超越概率的影響[33]，其定義為在相同的損傷狀態下兩條易損性曲線的超越概率之差，其計算公式為：

由表8 和圖7 可看出，在相同的損傷狀態下一級框架柱和三、四級框架柱的易損性函數的差異性最高。因此，本文將二者進行對比，通過將相同損傷等級的三、四級框架柱與一級框架柱的易損性曲線超越概率相減，研究設防等級對易損性曲線超越概率的影響，如圖8 所示。由圖8 可看出，在相同的軸壓比分組下，ΔPf的最大值總體上隨損傷狀態提高而增長。對于低軸壓比柱試件，三、四級框架柱與一級框架柱在各極限狀態的最大ΔPf值分別為0.58%、4.63%、4.86%、8.93%、10.65%和11.79%。相比低軸壓比試件，框架柱的抗震設防等級對于高軸壓比試件的影響更加明顯，其最大ΔPf值分別為6.81%、6.58%、7.61%、9.34%、14.48%和15.39%。上述現象說明，在高軸壓比的工況下RC 柱的易損性函數受抗震設防構造的影響更為明顯。

圖8 三、四級框架柱和一級框架柱的ΔPfFig.8 ΔPf between RC columns at the first and third/fourth seismic grades

圖9 顯示了一級、二級及三、四級框架柱在高軸壓比與低軸壓比工況下ΔPf隨位移角的變化規律。由圖9 可看出。在相同的抗震設防等級下，ΔPf的最大值隨損傷狀態提高呈現先增長后下降的規律。在抗震設防等級為一級、二級及三級、四級時，ΔPf的最大值分別達到了42.61%、37.11%和43.37%。三、四級框架柱受軸壓比的影響最為明顯，其在各損傷等級對應的最大ΔPf值整體上要高于一級和二級框架柱。此外，不同損傷等級下，軸壓比對各級框架柱在DS6 時的最大ΔPf值影響最小。

圖9 高軸壓比與低軸壓比框架柱的ΔPfFig.9 ΔPf between RC columns with high and low axial load ratio

6 結論

本文基于滿足我國現有設計規范的RC 柱試驗數據，采用FEMA P-58 方法，選擇RC 柱的位移角為工程需求參數，建立了其在不同損傷狀態下的易損性函數，同時分析了抗震設防等級及軸壓比對易損性函數的影響。本文結論如下：

(1) RC 柱的損傷狀態被劃分為輕微損壞、輕度損壞、中度損壞、比較嚴重損壞、嚴重損壞和倒塌六個，各狀態對應的易損性函數中位值分別為0.764%、1.413%、2.041%、3.084%、4.107%和4.52%，對數標準差分別為0.339、0.388、0.425、0.38、0.372 和0.353，本文建立的易損性函數質量整體處于高質量水準。

(2) 對比本文結果和FEMA P-58 結果，采用中國規范設計的柱構件的在低損傷狀態下的變形能力要高于美國規范的構件，二者在在臨近極限狀態時的變形能力相似。對于對數標準差，由于FEMA P-58 在中易損性函數考慮的數據量小且設計參數的變異程度比本文大，造成本文與FEMA P-58 結果存在一定差異。

(3) 在相同的軸壓比分組下，各級框架柱的易損性函數的中位值θ 隨抗震設防等級的提升而提高，而對數標準差β 的范圍約為0.3～0.45。

(4) 三、四級框架柱與一級框架柱在各極限狀態的易損性曲線的超越概率之差在低軸壓比工況和高軸壓比工況下最高可達到11.79%和15.39%，在高軸壓比的工況下RC 柱的易損性函數受抗震設防構造的影響更為明顯。

(5) 在相同的抗震設防等級下，易損性曲線的超越概率之差的最大值隨損傷狀態提高呈現先增長后下降的規律。一級、二級及三、四級框架柱最大可達到42.61%、37.11%和43.37%。三、四級框架柱受軸壓比的影響最為明顯。此外，軸壓比對各級框架柱在DS6 時的最大超越概率之差影響最小。