部分浸沒充液無限長圓柱殼聲輻射特性研究

王文濤，王 斌，范 軍，周富霖

（上海交通大學海洋工程國家重點實驗室高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240）

0 引 言

殼體是工程應用中的常見結構，例如系泊的潛艇、水面艦船、油氣運輸管道等均可簡化為部分浸沒的充液圓柱殼。近些年來，單層圓柱殼、雙層圓柱殼[1]和內部加肋圓柱殼[2]等的聲振特性被廣泛研究，但是大多聚焦在全無限流體域中，忽略了自由液面邊界的影響，因此本文開展部分浸沒充液圓柱殼的研究，重點關注浸沒深度和充液高度對其輻射聲場的影響。

在現有研究中，Salaün[3]建立了半浸沒狀態下無限長圓柱殼聲輻射的解析模型，研究表明自由液面對半浸沒圓柱殼輻射聲場具有重要影響；王斌等[4]研究了半浸沒無限長圓柱殼的振動和聲輻射特性，通過對比激勵力位于液面上方及下方時殼體的均方振速和輻射聲功率，得出殼體均方振速受激勵力位置影響較小的結論；葉文兵[5]基于Flügge薄殼理論建立了半潛無限長圓柱殼振動和聲輻射的解析模型，將殼體周圍流體域近似為扇形，得到了部分浸沒圓柱殼振動的近似理論模型，這些工作為后續研究部分浸沒圓柱殼的振動和聲特性奠定了理論基礎。當殼體部分浸沒時，殼體與流體之間的耦合面會隨著浸沒深度變化，嚴格解析解較難獲得，大多采用數值仿真計算方法，因此Ergin[6]和Adams[7]等利用有限元方法討論了部分浸沒在流體中的圓柱殼自由振動特性。關于部分浸沒真空圓柱殼的聲輻射研究已較為成熟，而針對內部充液圓柱殼的研究，Li[8]通過波數域方法研究了半浸沒全充液圓柱殼在流動的流體中的聲輻射特性，并指出輻射聲場與激勵點位置、流體流速和殼體厚度有關；林子欽等[9]利用附帶水質量法討論了部分浸沒充液圓柱殼的自由振動特性。但是上述工作對于殼體中彈性波的研究大多聚焦在定量分析而未對其機理進行深入討論。

本文首先利用有限元軟件COMSOL 建立半充液無限長圓柱殼和半浸沒無限長圓柱殼的仿真模型。然后，為了研究殼體浸沒深度變化對輻射特性的影響，計算了半充液無限長圓柱殼輻射聲壓的頻率-浸沒深度譜，為了研究殼體充液高度對輻射特性的影響，計算了半浸沒無限長圓柱殼輻射聲壓的頻率-充液高度譜。考慮到在后續的研究中方便與現有實際模型對比，計算參數取殼體中面半徑a=0.1365 m，厚度hs=0.004 m，材料為鋼，密度ρs=7850 kg/m3，楊氏模量Es=1.94201×1011Pa，泊松比σs=0.25；水介質密度ρf=1000 kg/m3，聲速cf=1500 m/s，結果中呈現出兩種不同的輻射共振亮線。最后，通過對殼體中彈性環繞波的激發、傳播路徑以及輻射的研究，分析了共振現象的產生機理，并給出共振頻率的預報公式。

1 仿真建模

假設圓柱殼為彈性薄殼，沿軸向無限長，頂部施加軸向線激勵F。以殼體截面圓心為原點建立柱坐標系(r,φ,z)，其中φ的取值范圍為0到2π。

對于部分浸沒半充液無限長圓柱殼，其浸沒深度動態變化，引入參量h表示殼體底部與外部流體液面間的距離，仿真模型示意圖如圖1所示。

圖1 部分浸沒半充液圓柱殼仿真模型示意圖Fig.1 Simulation model of partially-immersed semi-filled cylindrical shell

為了方便對計算結果的觀測，引入歸一化浸沒深度H，令H=(h-a)/a。當殼體下表面剛剛接觸外部流體自由液面時H=-1；當殼體恰好完全浸沒于殼體外部流體時H=1。因此當H的變化范圍為-1～1 時表示殼體連續下潛的過程。遠場輻射聲壓觀察點取在殼體正橫位置的正下方100 m 處(r=-100,φ= 3π 2,z= 0)。力源激勵頻率范圍為20～5000 Hz。

在COMSOL 軟件中添加二維軸對稱幾何，并設置上文所述參數和相應的區域以及邊界條件，建模結果如圖2所示。

圖2 部分浸沒半充液無限長圓柱殼建模結果Fig.2 Modeling result of partially-immersed semi-filled infinite cylindrical shell

然后掃描歸一化浸沒深度和激勵頻率，可以得到不同浸沒深度下圓柱殼遠場輻射聲壓的頻譜結果，最終可得到殼體遠場輻射聲壓的頻率-浸沒深度譜。

對于半浸沒部分充液無限長圓柱殼，建立相同的殼體結構坐標系，如圖3所示。

圖3 半浸沒部分充液圓柱殼仿真模型示意圖Fig.3 Simulation model of semi-immersed partially-filled cylindrical shell

殼體內部充液高度為d，為了方便對計算結果的觀測，引入歸一化充液高度D，令D=(d-a)/a。當殼體內部真空時D=-1，當殼體內部完全充液時D=1。因此當D的變化范圍為-1～1 時表示殼體連續充液的過程。

在COMSOL軟件中采用類似的建模方法，得到的結果如圖4所示。

圖4 半浸沒部分充液無限長圓柱殼建模結果Fig.4 Modeling result of semi-immersed partially-filled infinite cylindrical shell

通過掃描歸一化充液高度和激勵頻率，可以得到不同充液高度下圓柱殼遠場輻射聲壓的頻譜結果，最終得到殼體遠場輻射聲壓的頻率-充液高度譜。

上述兩種工況的模型計算均屬于振動問題，在COMSOL 計算過程中只掃描參數的變化，原理相同。

2 半充液圓柱殼浸沒深度對聲輻射特性的影響研究

本章主要研究半充液圓柱殼輻射聲場隨浸沒深度的變化規律，通過對輻射聲壓的頻率-浸沒深度譜的分析，基于彈性環繞波理論對結果中呈現出的共振現象做出機理解釋。

基于第1章仿真模型和計算方法可以得到半充液圓柱殼輻射聲壓的頻率-浸沒深度譜，結果如圖5 所示。其中：顏色代表聲壓幅值，單位為Pa；縱軸為圓柱殼歸一化浸沒深度H；橫軸為力源激勵頻率f。

圖5中呈現出兩種明顯特征：一是存在一系列規律分布且大致平行的傾斜亮線，這是由殼體內彎曲波a0輻射共振產生的[10]；二是存在兩段獨立分布的共振亮線，如圖中紅色虛線框標注所示，說明殼體內還存在其他形式的波。兩種特征均與激勵頻率以及浸沒深度有關。

首先分析a0波的輻射共振規律，a0波在殼體中的傳播速度分為兩種情況：一是殼外流體液面低于充液液面，如圖6所示；二是殼外流體液面高于充液液面，如圖7所示。

圖6 部分浸沒半充液圓柱殼彎曲波傳播路徑情況一：外部流體低于充液高度Fig.6 Propagation path of bending wave of semi-filled cylindrical shell with the liquid level higher than external fluid level

圖7 部分浸沒半充液圓柱殼彎曲波傳播路徑情況二：外部流體高于充液高度Fig.7 Propagation path of bending wave of semi-filled cylindrical shell with the liquid level lower than external fluid level

對于情況一，圓柱殼浸沒在水中，殼體外部與水面交于A1、B1兩點，殼體內部與水面交于A2、B2兩點。以順時針傳播為例，a0波的路徑為A1—＞A2—＞B2—＞B1—＞A1，會途經殼體兩側均為真空的部分（A2—＞B2）、殼體外部真空內部充液部分（A1—＞A2、B2—＞B1）和殼體兩側均為水的部分（B1—＞A1）。設a0波在其中的相速度分別為。根據不同部分傳播的相速度，可以得到共振頻率的預報公式：

隨著殼體浸沒深度的增加，θ1逐漸減小，共振頻率f逐漸減小，所以共振峰隨著浸沒深度的增加向低頻方向傾斜，在頻率-浸沒深度譜上呈現出從左上到右下的共振亮線。

對于情況二，殼體外部與水面交于A4、B4兩點，殼體內部與水面交于A3、B3兩點。同樣以順時針傳播為例，a0波的路徑為A4—＞B4—＞B3—＞A3—＞A4，會途經殼體兩側均為真空的部分、殼體外部浸水內部真空部分（B4—＞B3、A3—＞A4）和殼體兩側均為水的部分。設a0波在B4—＞B3、A3—＞A4段傳播的相速度為，由此可以得到共振頻率的預報公式：

隨著殼體浸沒深度的增加，θ2逐漸增大，共振頻率f逐漸減小，共振峰分布向低頻傾斜。

由于浸沒狀態下的充液圓柱殼頻散曲線較難獲得，且a0波在圓柱殼中的傳播速度與在平板中的傳播速度相似，可通過相同材料、相同厚度的板中波的相速度頻散曲線預報輻射共振。通過譜方法計算兩側真空的鋼板、一側真空一側水的鋼板和兩側均為水的鋼板等三種工況的頻散曲線，結果如圖8所示。

圖8 不同工況鋼板的相速度頻散曲線Fig.8 Phase velocity dispersion curve of different steel plates

圖中橫軸表示激勵頻率，縱軸表示不同工況鋼板中a0波波速與水中聲速的比值。黑色實線表示兩側均為真空的鋼板中a0波相速度頻散曲線（c值），紅色虛線表示一側真空一側為水的鋼板中a0波的相速度頻散曲線值），藍色點劃線表示兩側均為水的鋼板中a0波的相速度頻散曲線（c值）。基于預報公式和頻散曲線，將計算出的預報結果添加至輻射聲壓的頻率-浸沒深度譜中，結果如圖9所示。

圖9 a0波共振預報結果與數值計算結果對比Fig.9 Comparison between the prediction results and the numerical results of a0 wave resonance

圖中白色虛線即為預報結果，可以看出預報結果與數值仿真計算結果中的亮線吻合得很好，說明導出的預報公式能夠準確地解釋共振現象。此外，聲壓的頻率-浸沒深度譜中除了a0波貢獻的傾斜條紋外，還存在獨立分布的共振亮條紋，這是由于殼體內被激發出的一系列流體附加波導致的。流體附加波只在殼體內表面流體中往返傳播[11]，路徑如圖10 中白色曲線所示。

圖10 流體附加波傳播路徑Fig.10 Propagation path of fluid additional wave

可見流體附加波往返傳播會激發較強的輻射共振，為了導出共振頻率的預報公式，需要計算半充液圓柱殼中各種波的相速度頻散曲線。已知殼體浸沒對流體附加波的傳播影響很小[12]，因此本章僅針對外部真空狀態下的半充液圓柱殼模型展開計算，為了避免手動插值造成結果不準確，采用COMSOL 仿真計算求解，結果如圖11所示。

圖11 半充液圓柱殼中流體附加波相速度頻散曲線Fig.11 Phase velocity dispersion curve of fluid additional wave in semi-liquid filled cylindrical shell

圖中橫軸表示激勵頻率，縱軸表示真空中半充液圓柱殼內流體附加波Fi的波速與水中聲速的比值。在研究頻段內，起主要貢獻作用的是低階流體附加波F0和F1。由于殼體內部恒為半充液，因此共振頻率的預報公式為

圖12 流體附加波共振預報結果與數值計算結果對比Fig.12 Comparison of prediction results and numerical calculation results of fluid additional wave resonance

圖12 中紅色虛線表示F0波激發的共振峰，紅色“*”線表示F1波激發的共振峰。趨勢吻合說明推導的預報公式可以預報輻射聲壓的頻率-浸沒深度譜中的共振現象。但是在數值計算結果中，當H在-1～0 范圍內變化時，流體附加波的輻射很弱，起主要貢獻作用的是F0波，相速度幾乎不變，表現為不隨浸沒深度變化的共振條紋；當H在0～1 范圍內變化時，起主要貢獻作用的是F1波，表現為隨浸沒深度變化的彎曲亮條紋，其中的原因有待進一步研究。

3 半浸沒圓柱殼內部充液對聲輻射特性的影響研究

接下來研究半浸沒圓柱殼輻射聲場隨殼體內部充液高度的變化規律，通過對輻射聲壓的頻率-充液高度譜的分析對呈現出的共振現象做出機理解釋。

采用相同計算參數，得到半浸沒圓柱殼輻射聲壓的頻率-充液高度譜，結果如圖13所示。其中顏色代表聲壓幅值，單位為Pa；縱軸為圓柱殼歸一化充液高度D；橫軸為力源激勵頻率f。

圖13 半浸沒圓柱殼輻射聲壓頻率-充液高度譜Fig.13 Frequency height spectrum of radiated sound pressure of semi-immersed cylindrical shell

從圖13 中可以觀察到一系列規律分布的由a0波激發的共振峰和一條獨立的由Fi波激發的共振峰。首先分析a0波輻射共振機理，a0波的傳播也分為兩種情況：一是充液高度低于浸沒深度，如圖14所示；二是充液高度高于浸沒深度，如圖15所示。

圖14 半浸沒部分充液殼體彈性波傳播路徑情況一：充液高度低于浸沒深度Fig.14 Propagation path of elastic wave in partially-filled cylindrical shell with the lower filling height

圖15 半浸沒部分充液殼體彈性波傳播路徑情況二：充液高度高于浸沒深度Fig.15 Propagation path of elastic wave in partially-filled cylindrical shell with the higher filling height

對于情況一，圓柱殼半浸沒在水中，殼體外部與水面交于C2、D2兩點，殼體內部與水面交于C1、D1兩點。以順時針傳播為例，a0波的路徑為C1—＞C2—＞D2—＞D1—＞C1，會途經殼體兩側均為真空的部分、殼體外部浸水內部真空部分和殼體兩側均為水的部分。根據不同部分傳播的相速度，可以得到共振頻率的預報公式：

隨著殼體浸沒深度的增加，γ1逐漸減小，共振頻率f逐漸減小，所以共振峰隨著浸沒深度的增加向低頻方向傾斜，在頻率-浸沒深度譜上呈現出從左上到右下的共振亮線。

對于情況二，殼體外部與水面交于C3、D3兩點，殼體內部與水面交于C4、D4兩點。同樣以順時針傳播為例，a0波的路徑為C4—＞D4—＞D3—＞C3—＞C4，會途經殼體兩側均為真空的部分、殼體外部真空內部充液部分和殼體兩側均為水的部分，由此可以得到共振頻率的預報公式：

隨著殼體浸沒深度的增加，γ2逐漸增大，共振頻率f逐漸減小，共振峰分布向低頻傾斜。

由于預報公式中需要的a0波在不同部分的相速度均在圖5中給出，因此可直接對共振峰進行預報，將預報結果添加至輻射聲壓的頻率-充液高度譜中，結果如圖16所示。

圖16 a0波共振預報結果與數值計算結果對比Fig.16 Comparison between the prediction results and the numerical results of a0 wave resonance

圖中白色曲線即為預報結果，可以看出預報結果與數值仿真計算結果中的亮線吻合得很好，說明了預報公式的準確性。接下來分析流體附加波的共振機理，其傳播路徑與上一章分析的類似，限于篇幅，在此不重復描述。計算外部真空全充液圓柱殼中各種波的相速度頻散曲線，結果如圖17所示。

圖17 全充液圓柱殼相速度頻散曲線Fig.17 Phase velocity dispersion curve of fully-filled shell

圖17中橫軸表示激勵頻率，縱軸表示真空中的全充液圓柱殼內流體附加波Fi波速與水中聲速的比值。可見在研究頻段內，起主要貢獻作用的只有F0波，可得共振頻率的預報公式為

式中，β表示圖11 中OC1與OD1之間的夾角。將預報結果添加至輻射聲壓的頻率-充液高度譜中，結果如圖18所示。

圖18 流體附加波共振預報結果與數值計算結果對比Fig.18 Comparison of prediction results and numerical calculation results of fluid additional wave resonance

圖中紅色曲線即為F0波共振的預報結果。由頻散曲線易知，F0波相速度在研究頻段內幾乎不變，表現在輻射聲壓的頻率-充液高度譜中為近似線性分布，吻合得很好。說明了本章推導的預報公式能準確地預報輻射聲壓的頻率-充液高度譜中的共振現象，同時解釋了流體附加波對殼體輻射聲場的影響規律。

4 結 論

本文分析了部分浸沒圓柱殼和部分充液圓柱殼輻射聲場的構成，利用有限元軟件建立了部分浸沒半充液無限長圓柱殼和半浸沒部分充液無限長圓柱殼輻射的仿真模型，基于COMSOL 軟件計算得到輻射聲壓的頻率-浸沒深度/充液高度譜。通過殼體中各種波的相速度頻散曲線解釋了輻射聲場中呈現的輻射共振現象。得到如下結論：

（1）部分浸沒半充液無限長圓柱殼和半浸沒部分充液無限長圓柱殼輻射聲場均呈現出一系列規律分布的共振峰，這是由于殼體中彎曲波a0在不同部分的傳播速度不同導致的；

（2）部分浸沒半充液圓柱殼的輻射聲場中存在的獨立分布的共振峰，是由殼體內低階流體附加環繞波F0和F1激發的，其分布規律與殼體浸沒深度有關；

（3）半浸沒部分充液圓柱殼的輻射聲場中存在的獨立共振峰則主要由F0波貢獻，在殼體輻射的頻率-充液高度譜中近似呈現線性分布規律；

（4）基于殼體中各種波的相速度頻散曲線推導出的頻率預報公式能夠準確地預報聲場中出現的共振現象；

（5）經過驗證，當殼體的厚徑比改變時，共振頻點間隔隨之改變，但是分布規律以及產生的機理相同，因此本文結論具有普適性。