任意邊界條件下旋轉功能梯度錐-柱連接殼行波模態分析

張宇航，劉文光，劉 超

（1.南昌航空大學航空制造工程學院，南昌 330063；2.哈爾濱工業大學深圳理學院，廣東深圳 150001）

0 引 言

作為一種新型復合材料，功能梯度材料（functionally graded materials，FGMs）有望應用于船舶推進系統中連接殼的設計。但是連接殼通常服役于復雜的邊界條件環境中并伴隨著旋轉運動，導致連接殼結構出現行波模態，所以研究任意邊界下旋轉FGMs連接殼的行波模態對于推進FGMs在船舶推進結構的動力學設計應用具有重要價值。

近些年來，關于FGMs 殼的振動問題引起了研究者的廣泛關注?；赗ayleigh-Ritz 法，劉超等[1-2]推導了內環向加筋FGMs圓柱殼和含孔隙FGMs圓柱殼的模態頻率方程，分析了加筋方式、數量、位置及孔隙率對FGMs 圓柱殼模態頻率的影響。引入彈性支撐，黃小林等[3]采用應力函數法推導了FGMs圓錐薄殼的運動學方程，分析了含孔隙的FGMs 圓錐薄殼的振動響應。受實際因素的影響，經典邊界通常難以完全實現，眾多學者開始致力于研究任意邊界條件下殼體結構的振動問題[4-7]。引入人工彈簧技術，Qin 等[7]以改進Fourier 級數、正交多項式和Chebyshev 多項式構造位移函數求解了圓柱殼的自由振動，比較了三者的收斂速度和計算效率，發現Chebyshev 多項式具有較高的計算速度。考慮旋轉運動時殼體產生的科氏力和離心力，Bryan[8]研究了自旋轉圓柱殼的動力學行為。結合改進的Fourier級數法和Rayleigh-Ritz 法，李文達等[9-10]分析了彈性邊界下旋轉薄壁圓柱殼的行波模態特性。利用廣義微分求積方法（GDQM）[11]，Han等[12]分析了旋轉FGMs圓錐殼的動力學特性；Shakouri[13]研究了熱環境下旋轉FGMs 圓錐殼的自由振動。采用Chebyshev 多項式描述位移容許函數，劉超等[14]分析了任意邊界條件下旋轉FGMs層合圓柱殼的行波模態特性，分析表明，旋轉運動對殼體結構的模態有很大影響，科氏力導致旋轉殼行波模態出現分叉現象。

工程實際中，殼體結構往往以連接殼的形式出現。因此，連接殼結構的振動問題也得到了研究者的關注。Irie等[15]采用傳遞矩陣法，建立了圓錐-圓柱連接殼體的模態頻率方程，求解了不同幾何參數下連接殼的模態頻率。Bagheri等[16-19]研究了不同邊界條件下FGMs圓柱殼、圓錐殼和球殼各種組合殼的模態頻率。采用分區廣義變分和最小二乘加權殘值法，瞿葉高等[20-21]將振動問題轉化為滿足條件下的無約束泛函變分問題，分析了以圓錐殼、圓柱殼和球殼為單元的單殼與連接殼的自由振動問題。采用改進的Fourier 級數法，張帥等[22]研究了錐-柱-球組合連接殼的振動行為?？紤]石墨烯增強復合材料和碳納米管增強材料對殼體結構的作用，研究者探討了增強復合材料對殼體結構動力學性能的影響。Soureshjani 等[23]分析了熱效應對碳納米管增強圓錐-圓錐連接殼動力學行為的影響；Damercheloo等[24]研究了不同邊界條件下石墨烯增強復合材料圓錐-圓錐連接殼的自由振動特性。

雖然研究者對連接殼的振動問題進行了廣泛的研究，但大多數研究通常關注靜態結構下的駐波模態。由于旋轉運動下，離心力會產生環向應力，提高結構的剛度；同時，科氏力會導致頻率發生分叉現象，產生前后行波模態，并且由于前后行波頻率不同，無法再疊加為常規的駐波模態，因此研究旋轉結構的振動問題，只能從行波模態的角度出發。本文以旋轉FGMs錐-柱連接殼為對象，采用彈簧模擬結構的任意邊界條件和接觸邊界條件，推導連接殼的模態頻率方程，探討不同參數對旋轉連接殼行波模態的影響。研究結果可以為FGMs連接殼的動力學設計提供理論支撐。

1 FGMs連接殼模型

1.1 幾何模型

如圖1 所示，FGMs 連接殼由圓錐殼和圓柱殼組成。假設兩個柱坐標系（xi，θi，zi）分別建立在圓錐殼和圓柱殼中面上，殼體的厚度均為h，并且殼體繞軸線以恒定角速度Ω旋轉。殼體的軸向、環向和法向的位移分別為ui、vi、wi，其下標con、cy分別表示圓錐殼和圓柱殼。以該柱坐標系為參照，圓錐殼小端中面半徑為R1，大端中面半徑為R2，長度為Lcon，半錐角為α0。相應的圓柱殼中面半徑為Rcy=R2，長度為Lcy。

圖1 旋轉FGMs圓錐-圓柱連接殼的幾何模型Fig.1 Geometric model of a rotating FGMs joined conical-cylindrical shell

1.2 材料屬性模型

圓錐殼和圓柱殼均采用金屬陶瓷材料作為梯度組分，采用冪律函數來描述陶瓷材料沿厚度方向上的體積分數[13]為

采用Voigt模型，FGMs沿殼體厚度方向的有效參數可以定義為

式中，N表示陶瓷體積分數指數，Vmi、Vci分別為金屬和陶瓷的體積分數，Pmi、Pci分別為金屬和陶瓷的材料屬性，Pi為FGMs圓錐殼和圓柱殼的有效材料屬性。

因此，FGMs連接殼的材料屬性如彈性模量E、密度ρ、泊松比v可分別表示為

式中，下標m、c分別表示金屬材料和陶瓷材料。

1.3 邊界連續性模型

如圖2所示，在結構的兩端與圓柱-圓錐殼的連接處分別定義了4組連續分布的彈簧，以模擬任意邊界條件和連接處的連續性。在xcon=0和xcy=Lcy處設置軸向彈簧ki

圖2 邊界約束彈簧和連接彈簧Fig.2 Boundary constraint springs and connecting springs

1、環向剪切彈簧ki2、徑向剪切彈簧ki3與扭轉彈簧ki4。同樣在xcon=Lcon和xcy=0 處設置軸向彈簧kcon-cy1、環向剪切彈簧kcon-cy2、徑向剪切彈簧kcon-cy3、扭轉彈簧kcon-cy4。連接處的位移所滿足的連續性條件可表示為

2 模態頻率方程

2.1 應力應變方程

根據Love薄殼理論，連接殼的應變分量與中面位移的關系[22]可定義為

2.2 能量方程

根據彈性力學，FGMs連接殼的應變能Us可以表示為

殼體旋轉時產生的動能K由方程（17）和（18）表示，環向應力產生的初始應變能Uh由方程（19）和（20）表達。根據1.3 節中連續性條件，儲存在邊界彈簧和接觸彈簧中的彈性勢能Ue可由方程（21）～（23）表達。

式中，上標“·”表示對時間的一階導數；Ω的0次項表示因變形產生的動能；Ω的1次項表示因科氏力產生的動能；Ω的2次項表示因離心力所產生的動能；Ii

1表示慣性矩，表達式為

需要指出的是，當令轉速為0 時，結構簡化為靜止結構，其同樣適用于本文的方法進行模態分析。

2.3 位移方程

假設環向波數取n時的位移方程為

用Chebyshev多項式展開振型函數以模擬任意邊界條件和接觸連續性條件：

2.4 頻率方程

構造拉格朗日能量函數

式中，M1、M2、K分別表示質量陣和剛度陣。

求解式（32）可得到旋轉連接殼的前后行波模態頻率。與旋轉方向一致且小于0為前行波模態頻率，相反為后行波模態頻率。為了更好地比較前后行波模態，取前后行波模態頻率的絕對值分析。定義無量綱轉速和無量綱頻率：

式中，ωb和ωf分別表示連接殼的后行波模態頻率和前行波模態頻率。

3 模型驗證

3.1 收斂性分析

假設FGMs 連接殼的幾何參數分別取：R1/Rcy=0.4，Lcy/Rcy=2.5，Rcy/h=100，α0=30°。材料參數分別取Em=2.08×1011Pa，Ec=3.22×1011Pa，ρm=8166 kg/m3，ρc=2370 kg/m3，vm=0.3177，vc=0.3。軸向波數m取1。如無特殊說明，以下數值計算取的參數不發生改變。

因模態頻率與Chebyshev 多項式的截斷項數以及彈簧剛度取值有關，圖3 首先分析了Ω=0 時，連接彈簧和邊界彈簧剛度值的收斂情況。結果表明，無論是連接彈簧還是邊界彈簧，彈簧剛度值大于1012時，模態頻率收斂。

圖3 彈簧剛度收斂性分析（A=6）Fig.3 Convergence analysis of spring stiffness（A=6）

本文連接彈簧剛度值取1013，而邊界彈簧剛度值為0時視作自由邊界；邊界彈簧剛度為1013時視作固支邊界。因此，改變彈簧的剛度值可模擬不同的邊界條件。表1所示是自由（F）、簡支（S）、固支（C）各種經典邊界對應的彈簧剛度取值。表2分析了自由邊界條件下連接殼（R1/Rcy=0.4226，Rcy/Lcy=1，Rcy/h=100，α0=30°，Em=2.11×1011Pa，ρm=7800 kg/m3，vm=0.3）的無量綱模態頻率?。

表1 經典邊界下彈簧剛度值Tab.1 Spring stiffness values with classical boundary conditions

表2 自由邊界條件下連接殼頻率收斂性分析Tab.2 Convergence analysis of joined shell with free boundary conditions

結果表明，殼的模態頻率隨截斷項數的增加逐漸趨于收斂。所以，后續分析過程中取截斷項值Ai=10。

3.2 有效性分析

將連接殼簡化為靜態均質圓柱殼、旋轉均質圓柱殼和旋轉FGMs圓錐殼以驗證模型的有效性。表3 對比了不同邊界均質圓柱殼（Lcy/Rcy=2，Rcy/h=500，Em=7.102×1010Pa，vm=0.3，ρm=2796 kg/m3）的模態頻率。表4 顯示了簡支邊界下旋轉均質圓柱殼（Lcy/Rcy=5，R2/h=500，Ωd=0.0013，Em=1.6806×1011Pa，vm=0.3，ρm=3000 kg/m3）的前行波模態頻率變化情況。通過與文獻[12]微分求積法（DQM）和文獻[28]廣義微分求積法（GDQM）所得結果的對比，表5 分析了旋轉FGMs圓錐殼（Lcon/R1=2.5，R1/h=20，Ωd=0.025，n=1，α0=45°，N=1）的后行波模態頻率隨圓錐角的變化情況。

表3 均質圓柱殼模態頻率對比Tab.3 Comparison of frequencies of an isotropic cylindrical shell

表4 旋轉均質圓柱殼前行波頻率對比Tab.4 Comparison of frequencies of forward wave of a rotating isotropic cylindrical shell

表5 旋轉FGMs圓錐殼后行波頻率對比Tab.5 Comparison of frequencies of backward wave of a rotating FGMs conical shell

結果表明，本文計算結果和文獻吻合性良好，說明了理論模型的合理性。同時，對于不同邊界條件只需要改變彈簧的剛度取值，就可大大降低構造滿足邊界條件的位移函數的復雜性。

4 行波模態頻率分析

4.1 環向波數的影響

圖4 比較了Ωd=0.003 時不同邊界條件下旋轉FGMs連接殼行波模態隨環向波數的變化。結果表明，后行波頻率始終大于前行波頻率，兩種頻率均隨著波數的增大呈先減小后上升趨勢。在C-C 和S-S 邊界下，結構最低的頻率都出現在環向波數取5 的情況，而對于F-C邊界，則出現在取值為3時。后續研究中，為了避免結構發生低頻共振，選用對應最小頻率下的波數進行分析。

圖4 不同的環向波數下的行波模態頻率Fig.4 Traveling wave frequencies with different circumferential wave numbers

4.2 體積分數指數的影響

圖5分別比較了Ωd=0.001、0.003、0.005時，體積分數指數對FGMs錐-柱連接殼前后行波模態頻率的影響。結果表明，前后行波模態頻率都隨體積分數指數N的增大呈下降趨勢。這是由于N越大，殼體中的陶瓷含量降低，結構剛度下降。隨著轉速的增大，后行波模態頻率上升，前行波模態頻率下降，前后行波的分叉越發明顯。在F-C邊界條件下，前后行波模態頻率隨轉速和體積分布指數變化最小?？梢园l現，當N＞5 后，頻率變化對陶瓷體積分數的敏感度進一步降低，即對于旋轉FGM 結構，通過調節N的大小可以在不改變結構模態頻率的基礎上，得到工程中所需要的材料性能，如陶瓷含量增加所提高的耐熱性、金屬含量增加所提高的耐腐蝕性。

圖5 不同體積分數下的行波模態頻率Fig.5 Traveling wave frequencies with different volume fraction exponents

4.3 旋轉速度的影響

圖6研究了圓錐角α0=30°、45°、60°時轉速對前后行波模態頻率的影響。結果表明，不同邊界條件下，模態頻率對于錐角的敏感程度為：F-C＞S-S＞C-C。在F-C 邊界條件下，前行波的模態頻率隨轉速的增大而下降，并將出現零頻率。因此，實際中考慮F-C邊界條件下，轉速不宜取過大，從而避免結構失穩。不同于F-C邊界，C-C和S-S邊界條件下，前行波模態頻率隨轉速增大先下降后上升。

圖6 不同旋轉速度下的行波模態頻率Fig.6 Traveling wave frequencies with different rotational speeds

4.4 邊界條件的影響

工程實際中，結構所處的邊界非常復雜，因此接下來分析任意邊界下連接殼的行波模態。取Ωd=0.003，圖7 和圖8 分別研究了k1i=k4i=0 時，由F-F 邊界變化到S-S 邊界連接殼前后行波模態頻率的變化和k2i=k3i=1013時，由S-S 邊界變化到C-C 邊界連接殼前后行波模態頻率的變化。結果表明，環向彈簧k2i和徑向彈簧k3i對旋轉FGMs連接殼的行波模態影響類似。當彈簧剛度取10-4～106時，結構的行波模態幾乎不受影響。而當剛度在106～1012時，前后行波模態頻率呈線性上升的趨勢，最后收斂在1013處。行波模態在k1i取10-4～108時，k4i取10-4～104時，軸向彈簧k1i和扭轉彈簧k4i的共同作用幾乎不受影響。在k1i取108～1012以及k4i取104～108時，結構的行波模態頻率快速上升，且最終分別收斂于1013、109，因此軸向彈簧的收斂速度要遠低于扭轉彈簧，其對結構行波模態的影響遠大于扭轉彈簧。可以看出，在彈性邊界時，結構行波模態變化明顯，因此采用彈簧模擬邊界條件是必要的。

圖7 兩組彈簧剛度（ki2，ki3）對旋轉FGMs錐-柱連接殼行波模態的影響Fig.7 Effects of two kinds of boundary spring stiffness coefficients（ki2，ki3）on the traveling wave mode for a rotating FGMs joined conical-cylindrical shell

圖8 兩組彈簧剛度（ki1，ki4）對旋轉FGMs錐-柱連接殼行波模態的影響Fig.8 Effects of two kinds of boundary spring stiffness coefficients（ki1，ki4）on the traveling wave mode for a rotating FGMs joined conical-cylindrical shell

由圖6可知，轉速對殼體的行波模態影響明顯，因此圖9探究了轉速和單組彈簧剛度共同影響下，旋轉FGMs錐-柱連接殼的行波模態變化。除所討論的邊界彈簧剛度外，其他邊界彈簧剛度值取1013。

圖9 單組彈簧剛度和旋轉速度對旋轉FGMs錐-柱連接殼行波模態的影響Fig.9 Effects of single boundary spring stiffness coefficients and rotational speed on the traveling wave mode for a rotating FGMs joined conical-cylindrical shell

分析發現，軸向彈簧（k1i）對連接殼的行波模態影響最大，環向彈簧（k2i）對連接殼的行波模態作用最小，而徑向彈簧（k3i）和扭轉彈簧（k4i）所產生的效果類似。相比后行波模態，前行波模態對邊界彈簧剛度更為敏感，在彈簧剛度取106～1012時，模態頻率呈現顯著上升的趨勢。隨著轉速的提高，后行波模態一直呈現上升態勢。對于前行波模態，頻率總是先減小，而當轉速高于0.004 時呈現增大趨勢。在改變環向、徑向以及扭轉彈簧剛度時，旋轉FGMs錐-柱連接殼行波模態頻率主要受轉速的影響。而在軸向彈簧與轉速共同作用時，軸向彈簧對連接殼的行波模態起主要作用。

5 結 論

本文采用彈簧模擬旋轉FGMs 錐-柱連接殼的任意邊界條件和連接條件，推導了旋轉連接殼在考慮科氏力和離心力作用下任意邊界條件的理論模型，利用Chebyshev多項式和Rayleigh-Ritz 法求解了結構的行波模態頻率，分析了各種參數對行波模態的影響。主要結論如下：

（1）采用人工彈簧技術，有效實現了實際工程中的彈性邊界，在計算求解過程中，相比于傳統能量法，減少了大量重復的計算，提高了計算效率。

（2）隨著陶瓷體積分數的增大，旋轉FGMs錐-柱連接殼前后行波模態頻率呈現下降趨勢，當N＞5后，行波模態頻率的變化趨勢逐漸平緩；工程實際中，可以通過合理設計N以突出梯度材料組分中某一材料的優越性能。

（3）由F-F 邊界過渡到S-S 邊界，環向彈簧剛度（ki2）和徑向彈簧剛度（ki3）對結構行波模態的影響趨勢基本一致，且行波模態收斂所對應的彈簧剛度都為1013；由S-S邊界過渡到C-C邊界，軸向彈簧剛度（ki1）相對扭轉彈簧剛度（ki4）對結構行波模態的影響更明顯，彈簧剛度分別取ki1＞1013、ki4＞109后，行波模態頻率趨于收斂。

（4）針對短薄連接殼結構，軸向彈簧剛度對其行波模態影響最為顯著，而軸向彈簧相較于轉速對行波模態又有更顯著的影響；在臨界轉速之前，前行波模態頻率呈下降趨勢，之后上升；當結構在臨界轉速工況下，前行波模態頻率最小，結構更容易發生失穩，實際中應該避免臨界轉速的工況。