一堂雙曲線的性質探究課實錄及反思

呂成杰

［摘 要］雙曲線是一種具有重要意義的二次曲線，教材對雙曲線的性質只作了初步的研究，基于此，教師在教學中應積極引導學生對雙曲線的性質進行深入探究，以激發學生的探究意識，培養其創新精神，促使學生將知識轉化為能力與素養。

［關鍵詞］雙曲線的性質；探究；反思

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）30-0010-03

在現行高中數學教材中，雙曲線是一種極其重要的二次曲線，其性質得到了初步的研究，包括雙曲線的漸近線、離心率與圖象的對稱性。然而，由于篇幅限制，教材并未對雙曲線的其他重要性質進行深入研究。在教學中，教師應積極引導學生對雙曲線的性質進行深入探究，以激發學生的探究意識，培養學生的創新精神，促使學生將知識轉化為能力與素養?；诖?，筆者上了一堂雙曲線的性質探究課，現將其整理如下，以供同仁指教。

一、教學過程

（一）回顧復習，引出課題

師：我們已經學習了雙曲線的簡單的幾何性質，其中包括雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的圖象具有對稱性，有兩條漸近線[y=±bax]；漸近線與雙曲線既不相交，也不相切。請同學們思考下面的問題。

問題1：直線[y=kx+m]與雙曲線[x2a2-y2b2=]1 （[a>0，b>0]）最多有幾個交點？

（讓學生獨立思考5分鐘，然后相互交流。）

生1：我認為最多有四個交點。原因是雙曲線由兩支曲線組成，只需讓這條直線與每一支曲線都有兩個交點即可。

生2：我認為最多有兩個交點。這是因為無論是橢圓還是雙曲線，它們均屬于二次曲線，而二次曲線與直線的交點數最多只有兩個。因此，雙曲線與直線也最多有兩個交點。

師：兩位同學說的似乎都有道理，還有同學補充的嗎？

生3：我認為直線與雙曲線最多有兩個交點。可以將直線與雙曲線的交點問題轉化為對應的方程組的解的問題。因為通過消元法將方程組[y=kx+m，x2a2-y2b2=1]變形得到的一元二次方程最多有兩個相異實根，因而對應的方程組最多有兩組解。

師：非常棒！通過對這個問題的探究，我們再次體會到研究解析幾何問題的基本策略——數形結合與方程思想的重要性。

師：從剛才的討論中，我們發現雙曲線看似簡單，卻隱藏著許多秘密。本節課就讓我們一起來深入挖掘一些教材上沒有提及的雙曲線的性質。

（二）著眼定義，與圓“聯動”

師：在數學問題的研究中，定義是根本。從定義出發，往往可以得到許多意想不到的性質，請同學們思考下面的問題。

問題2：若P為雙曲線上一點，以焦半徑[PF1]為直徑的圓與以實軸為直徑的圓有怎樣的位置關系？

學生借助數形結合的方法分組討論，得出的結論是這個兩個圓是外切的，并給出如下證明：

如圖1，記[PF12=r]，當點[P]在雙曲線的左支上時，依據雙曲線的定義，兩圓圓心距為[d=OM=PF22=2a+PF12=a+PF12=a+r]，故兩圓外切。因此，以焦半徑[PF1]為直徑的圓與以實軸為直徑的圓外切。

同理，當點[P]在雙曲線的右支上時，[OM=r-a]，所以，以焦半徑[PF1]為直徑的圓與以實軸為直徑的圓內切。

師：請同學們從雙曲線的定義出發再來探究以下問題。

問題3：設[P]為雙曲線上一點，則[△PF1F2]的內切圓與實軸有怎樣的位置關系？

由于有了問題2的鋪墊，學生很快發現該內切圓與實軸相切，且切點是雙曲線上點[P]的同側的頂點，學生的證明過程如下：

如圖2，由切線長定理：[F1S+F1T=PF1-PF2+F1F2=2a+2c]，[F1S=F1T=a+c]，而[F1T=a+c=F1A2]，[T]與[A2]重合，故內切圓與[x]軸切于右頂點，同理可證P在其他位置的情況。于是，當[P]為雙曲線上一點，則[△PF1F2]的內切圓必切于與[P]在同側的頂點。

（三）聯立方程，“動”中探“定”

師：雙曲線定值問題是一類?？嫉木C合性較強的解析幾何問題，這類問題能考查大家的邏輯思維能力、數學運算能力和解題自信心與毅力。請同學們嘗試解決下面的問題。

問題4：過雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上任一點[A（x0，y0）]任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于[B、C]兩點，則直線[BC]的斜率是定值嗎？

學生探究：由數學直觀可知，直線[BC]的斜率應該是定值，那定值的表達式是怎樣的呢？

有學生建議采用從特殊到一般的探究方法，把原問題改成：過雙曲線[x23-y24=1]上一點[A（3，22）]任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于[B、C]兩點，則直線[BC]的斜率是多少？算得結果后，再用類比推理的方法得出一般性結論。

有學生反對這種做法，該部分學生認為符合題意的情況多且復雜，不易通過類比得出結論，還不如直接推理。

經過一番討論后，學生認為對待定值問題應該具體問題具體分析，從特殊到一般雖然是求解探究性問題的好方法，但不適用于本題，應該直接推理。那么如何推理呢？學生一致認為，對于本題應采取聯立方程組并對有關未知數“設而不求”的方法。學生的解答如下：

通過引導學生對圓錐曲線中傾斜角互補的有關斜率問題進行研究得到了雙曲線的又一個性質：過雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上任一點[A（x0，y0）]任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于[B、C]兩點，則直線[BC]定向且[kBC=-b2x0a2y0]（常數）。

（四）分組討論，合作探究

師：同學們，我們剛才研究了與雙曲線相關的某些性質。那么雙曲線是否還具有其他性質呢？下面請大家以學習小組為單位，合作探究。

學生分組探究，積極討論。教師巡視，并解答學生在探究中遇到的問題。10分鐘后學生交流成果。

小組1：我們小組從雙曲線的定義出發，探討了雙曲線與相關圓的關系，得出如下結論：

（1）雙曲線焦點三角形中，以焦半徑為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的內切或外切。

（2）雙曲線兩焦點到雙曲線焦點三角形內切圓的切線長為定值[c+a]與[c-a]。

小組2：我們小組研究了雙曲線中的定值問題，經過討論，得出如下結論：

經過雙曲線[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）的實軸的兩端點[A1]和[A2]的切線，與雙曲線上任一點的切線相交于[P1]和[P2]，則[P1A1·P2A2=b2]。

小組3：我們小組研究了與雙曲線焦點弦有關的問題，通過作圖與運算得到如下兩個結論：

（1）雙曲線的一條直徑（過中心的弦）的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項。

（2）過雙曲線一個焦點[F]的直線與雙曲線交于兩點[P、Q]，而[A1、A2]為雙曲線實軸上的頂點，[A1P]和[A2Q]交于點[M]，[A2P]和[A1Q]交于點[N]，則[MF⊥NF]。

小組4：我們小組研究了“相似雙曲線”，發現：

設A，B為雙曲線[x2a2-y2b2=k]（[a>0]，[b>0]，[k>0]，[k≠1]）上兩點，其直線[AB]與雙曲線[x2a2-y2b2=1]相交于[P、Q]兩點，則[AP=BQ]。

師：同學們都展示了自己小組的研究成果，這些成果都正確嗎？請大家課后各小組相互交流并對這些結論加以證明。

二、教學反思

在教材中，對于雙曲線的性質并沒有進行深入研究。如果教師不引導學生進行拓展，那么學生的思維能力以及對雙曲線的性質的認識只能處于淺層次的水平，只能解一些基礎題。而高考對于雙曲線的掌握程度要求頗高，不僅考查學生的邏輯推理能力，還考查學生的數學運算能力。此類考題往往屬于壓軸題，尤其是定值定點問題備受命題者青睞。因此，無論是從高考的角度，還是從提高學生數學素養的角度，引導學生對雙曲線性質進行深度研究都是十分有必要的。教師具體該如何引導學生進行探究呢？筆者以為，教師應抓住三個“度”。

1.控制探究問題的難度。對于雙曲線性質探究難度的把握，必須依據教材，緊扣教學內容，充分考慮學生的認知水平。教師可以從課本的例題和習題出發，也可通過類比其他雙曲線的性質，從中得出相關問題引導學生探究。

2.把握探究問題的梯度。受思維水平的影響，學生一開始分析具有一定深度的問題還是存在困難的。因此，教師要根據學生的思維水平，提出具有一定梯度的問題，以便學生能夠通過努力解決問題，實現“跳一跳就可以摘桃”。否則，會挫傷學生探究的積極性。

3.關注學生的參與度。在數學探究課中，“研究”的成分相對較多，而學生在認知水平上存在個體差異，因此教師不僅要關注學優生的探究興致，同時也要關注學困生的學習情緒，引導學生人人參與探究。為了實現這個目標，教師既要把學生的學習看成個人行為，鼓勵學生獨立思考，也要讓學生學會合作，集思廣益，通過優等生聯動學困生，從而實現全體學生的共同發展。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 岳緒彬.雙曲線焦點三角形內心的性質及其應用［J］.中學數學，2022（3）：58-59.

［2］? 李進，楊海燕.問題串引領下的深度學習：以“雙曲線的性質”教學為例［J］.高中數學教與學，2022（2）：36-37，35.

［3］? 朱志棟.基于核心素養下的教學設計：以雙曲線的幾何性質為例［J］.中學數學，2022（1）：32-34.

［4］? 楊海燕.問題“明”導思考 同構“暗”導思維：以“雙曲線的幾何性質”的教學為例［J］.中小學數學（高中版），2021（11）：58，64.

［5］? 寧銳，高俊翔.以新探舊，推陳出新：基于“雙曲線”探究課的創新實踐［J］.數學教學，2019（2）：21-25.

（責任編輯? ? 羅? ? 艷）

［基金項目］本文系陜西省教育科學“十四五”規劃2022年度課題“新高考背景下信息技術對高中數學課堂有效性影響的研究”（課題編號：SGH22Y0054）的階段性研究成果。