“弧長及扇形的面積”案例

侯雅琳

一、案例背景

近些年，課堂教學仍然以課本為中心，注重知識的傳授，而忽略學生思維的鍛煉，教學方式上仍采用“滿堂灌”，學生長期習慣于被動接受，缺少主動探索問題、思考問題的意識。隨著教育改革的推進，《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情景所蘊含的關系中發(fā)現和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題。我們的課堂改革勢在必行，因而本文提出新的課堂教育模式，即以問題為主導，讓學生自主探究的課堂模式，整節(jié)課以問題展開、以問題收尾，增強學生對數學學習的好奇心，提高學生對數學學習的興趣和熱情。筆者以“弧長及扇形的面積”兩種不同的教學案例為例，簡要闡述在教學實踐層面凸顯以問題為導向的自主探究式學習的一些做法。

二、教材分析

“弧長及扇形的面積”是蘇科版九年級數學上冊第2章第七節(jié)的內容，是在學習完圓的相關概念、定理之后，對圓中元素的計算課。研究的是弧長以及扇形面積的計算方法、推導過程，以及在實際生活中的應用。作為圓中一節(jié)重要的計算課，弧長以及扇形面積以圓的周長和面積為依據，以圓心角和半徑為影響因素展開學習，將之前的內容進一步融合。本節(jié)課還為“圓錐的側面積”的學習做鋪墊，為高中進一步研究圓奠定基石，是一節(jié)“承前啟后”的課。

三、學情分析

學生在幼兒時期初步感知、認識圓形；到了小學，將圓進一步量化，學會計算圓的周長以及面積；到了初中階段，進一步加強對圓的剖析，深入了解學習圓中有關的概念和定理。這是一個螺旋式上升的過程。學生在對圓加深認識的過程中，計算的內容從易到難這是一個必然的過程，也符合學生認知的過程。九年級學生經過七年級與八年級的學習，在計算能力以及數學方法的運用上也有了一定的發(fā)展，具備了一定的自主探究能力以及合作交流學習的經驗，為自主探究弧長以及扇形面積知識奠定了良好的基礎。

四、教學目標

知識與技能：

掌握弧長以及扇形面積公式的推導過程，了解弧長以及扇形面積的公式，能運用弧長以及扇形面積公式解決相關問題。

過程與方法：

經歷弧長以及扇形面積公式的探索過程，體會數形結合、類比推理等數學思想方法，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力，進一步加強學生的代數推理能力。

情感態(tài)度與價值觀：

在探索弧長及扇形面積公式中，激發(fā)學生對數學的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學生的合作交流能力。學生在運用數學知識解決問題時，獲得成功的體驗，建立自信心。

五、教學重難點

弧長及扇形面積公式的計算與推導。

六、教學設計

◆問題導入

師：我們知道，圓上任意兩點間的部分叫作弧，那么弧和圓有什么關系呢？

生：弧是圓的一部分。

師：半徑為R的圓，周長是多少？

生：2πR。

（意圖分析：在提問中，幫助學生回憶弧長的定義，了解弧長與圓之間的關系，引導學生思考：既然弧長作為圓的一部分，圓的周長可以計算，那么弧長也可以計算。）

師：我們知道弧的度數與圓心角的度數相等，你認為弧長與哪些量有關？

生：圓的周長、圓的半徑、圓心角度數。

（意圖分析：在實際課堂中，由于在前面引導學生認識了弧與圓之間的關系，學生會去思考，那么弧長就是圓周長的一部分，因而會提出弧長與圓周長有關。教師在這里需要繼續(xù)引導學生思考，圓周長又與什么量有關？從而引導學生進一步明確弧長與圓的半徑、圓心角有關，為下面具體探究弧長公式進行鋪墊。）

師：半徑為R的圓中n°的弧長是多少？請同學們利用學習過的方法，分小組探究。

組1：利用特殊到一般的方法，可以先算幾個特殊的角，如180°、90°，找出其中的規(guī)律，然后通過計算特殊的角，找到計算n°角的方法。

組2：發(fā)現360°的圓心角對應的是一個整圓，1°的圓心角對應的是圓的三百六十分之一，所以n°的弧對應的是圓周長的三百六十分之n。

組3：因為弧的度數與圓心角度數有關，所以發(fā)現圓心角占360°的比例是多少，對應的弧長占整個圓的比例就是多少。

……

（意圖分析：這是一個開放式的探究問題，在告訴學生弧長公式與半徑和圓心角度數有關之后，讓學生用自己先前的學習經驗來探究弧長公式。學生在實際課堂中積極探索，熱烈討論。此問題讓學生在課堂中進行思維的碰撞，鍛煉了合作學習的能力和表達能力，拓寬了學生的視野，加深了學生對弧長的理解。）

最后教師總結公式，并將公式板書。

◆問題探索：如何計算扇形面積？

師：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形。扇形和圓之間有什么關系呢？

生：扇形是圓的一部分。（教師補充提問：半徑是R的圓面積如何計算？）

師：你能類比弧長的推導過程，求出半徑為R的圓中圓心角為n°的扇形面積嗎？

（意圖分析：讓學生模仿弧長公式自主探究扇形面積公式。在弧長公式的基礎上，學生探究扇形面積公式時會去類比弧長公式的探索方法，如從特殊到一般等，在探索中感受類比思想，在解決問題過程中體會成功的喜悅，激發(fā)學習數學的興趣，增強自主探究數學問題時的自信心與能力。）

師：扇形的面積與弧長有什么關系？你能從“數”與“形”兩個角度來解釋嗎？

（學生先自行探索，然后分小組討論）。

生1：扇形面積是弧長的二分之R倍。

生2：扇形面積與弧長公式有很多相似的量，可以從扇形面積公式中把弧長公式提煉出來。

生3：我們得到的公式很像三角形的面積公式，由此可以類比三角形的面積公式來理解扇形面積與弧長之間的關系：弧可以看作是三角形的底，半徑可以看作是三角形的高，扇形面積可以看作是三角形的面積。

教師總結弧長、扇形面積以及二者之間的推理。

（意圖分析：這部分重點是探討扇形面積公式與弧長公式之間的關系，由于本節(jié)課重在計算，因而學生在思考這二者之間的關系時，首先想到從代數的角度思考這兩者之間的關系，利用弧長和扇形面積的公式進行代數推理，找到二者之間的關系，但本節(jié)課重點在于計算一個幾何圖形的面積。作為一節(jié)幾何課，我們不能忽略是否能夠從圖形的角度解釋公式的合理性，從而加深學生對扇形面積公式的認識，加深學生對公式的記憶，培養(yǎng)學生代數推理和幾何直觀的素養(yǎng)。此外，這里還運用到了數形結合思想、類比思想，進一步加深了學生對數學方法的理解，為我們之后運用數學思想、數學方法解決問題打下了良好的基礎。）

◆問題解決

例1.（1）已知扇形的圓心角為60°，半徑為3 cm，它的弧長為_______，面積為_______.

（2）已知扇形的半徑為9 cm，弧長為12 πcm，則扇形面積為_______.

（意圖分析：兩題考查了學生對扇形面積和弧長公式的運用。在這里，教師可以在第二題后追問：這個扇形的圓心角是多少？讓學生感受在運用公式時，知道其中的兩個量，就可以將第三個量推導出來。學生可以選擇運用弧長公式計算圓心角，也可以運用扇形面積公式計算圓心角。學生在計算過程中可以感受到難易程度，從而選擇適當的方法進行計算。）

例2.如圖1，△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC＝60°．設⊙O的半徑為2，求弧BC的長.

（意圖分析：將計算與圓知識中的結論與定理相結合，在公式中我們所運用到的角度是圓心角，但是在學習圓中元素時，我們還學過一類角，叫作圓周角，通過此題，幫助學生區(qū)分在運用弧長及扇形面積公式計算時，需要注意帶入公式的角是圓心角而非圓周角，提高運用公式的正確率。）

例3.如圖2，折扇完全打開后，OA、OB的夾角為120°，OA的長為30 cm，AC的長為20 cm，求圖中陰影部分的面積S．

◆問題拓展

追問1：在例3中，OA=R，OC=r，∠AOB=n°，求圖中陰影部分面積S.

追問2：若弧AB的長度為l1，弧CD的長度為l2，AC=d，你能用l1、l2、d表示扇環(huán)ABDC的面積嗎？

（意圖分析：例3是用公式來解決實際問題，在運用公式的基礎上進一步考查學生的圖形分解能力。在問題拓展的部分，我們將問題從具體的數據一般化，考查學生運用公式進行代數推理的能力，計算難度較大，幫助學生進一步鞏固課堂中所學的知識和技能，深刻理解數學思想和內涵，全面提升數學素養(yǎng)。追問2拓展陰影部分的面積在通過代數方法推理得到之后，引導學生發(fā)現陰影部分面積的計算方法可類比梯形公式來解決，與扇形面積公式可類比三角形面積公式進行計算形成呼應，又加深了對學生化歸思想、數形結合思想的培養(yǎng)，提高了學生綜合解決、分析問題的能力。）

七、案例小結

本案例注重問題設計，以問題貫穿整節(jié)課。不同于往常的講授式，問題成為教師和學生之間的一座橋梁。作為學生的引領者，教師提問，學生回答成為一節(jié)課經常使用的模式，但教師提問不是碎片化的，而是針對某一個知識點，有結構、有框架、有邏輯地設計的問題串。本節(jié)課注重大問題的整體設計，在思考完圓的周長、弧與圓之間的關系，有一定方向性之后，直接將弧長公式的探索拋給學生思考。課堂實施中發(fā)現，學生能夠展現多種探索方法。多種思維的碰撞打開了學生的視野，提升了課堂活躍度與學生的參與度。同時，在采用這種方式時，也需注意，不可將問題設計得過于開放，否則可能會造成學生無法完成教學任務或者無從下手這兩種極端情況，但同時也需注意，過于細化的問題會忽略學生的創(chuàng)造性，導致方法的單一與固定，在一定程度上也不利于學生的發(fā)展。

除此之外，本節(jié)課還注重小組合作。根據新課標要求，在初中階段，學生應養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑的學習習慣。一個人的力量往往很難提出或者解決問題，這就需要學生之間的合作。合作不僅能幫助學生養(yǎng)成合作的習慣，更能夠提高學生的表達交流能力，使學生形成適應社會的關鍵能力。

總之，本節(jié)課的教學遵循了國家新課改的方向，消除了傳統(tǒng)教學法的弊端，是符合學生身心發(fā)展的。教學改革關乎學生的未來發(fā)展，不斷改進完善我們的教學方法是每位教師都需要做的。本文仍有很多不當之處，請大家批評指正！

編輯：常超波