利用幾何畫板講一次函數的圖象與性質

宗迎峰

一次函數是學生首次學習，由于具有高度抽象性，給學生的學習帶來一定難度。一次函數探索過程中的數形結合思想，為學生以后學習二次函數、反比例函數以及其他函數提供了可以類比的研究途徑。在教學過程中若單純使用傳統教學手段，學生很難完全理解一次函數的圖象與性質。而利用幾何畫板不僅可以方便地畫出一次函數的圖象，學生還能通過動手操作體驗到函數圖象與性質隨函數解析式變化而做出的相應改變，進一步提升信息素養。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對一次函數提出的學業要求是會根據一次函數的圖象和表達式y=kx＋b（k≠0）探索并理解k值的變化對函數圖象的影響，同時還提出，數學課堂上要利用數學專用軟件開展數學實驗。

一次函數的圖象與性質取決于k值和b值，只從解析式角度去分析，顯然不夠直觀，學生難以完全理解和掌握。在正比例函數的基礎上探索一次函數圖象的平移變化，盡管學生也可以用描點法畫出圖象進行研究，但描出的點比較有限，圖象不夠精確。同時，如果畫出的圖象數量過少，缺乏普遍意義，學生難以觀察歸納出本質特征；如果畫出的圖象太多，又比較耗時。而運用幾何畫板（5.06版）這一工具，通過演示對比正比例函數與一次函數，學生能夠更好地體驗數形結合的思想，并且在學習過程中感受“從特殊到一般”這一重要數學研究方法。

一、一次函數圖象平移

一次函數圖象初中階段只涉及上下平移，選擇函數y=2x和函數y=2x＋3進行研究，這兩個函數解析式比較簡單，便于計算和描點。

（一）從“數”的角度分析研究

學生觀察解析式的異同，思考：函數y=2x＋3和函數y=2x相比，多了常數項3，當自變量取相同數值時，函數值會有什么差異？

學生列表求值，x取一些特殊數值，計算兩個函數對應的函數值，并對函數值進行對比，觀察規律。

思考：當x取相同數值時，y=2x＋3的函數值比y=2x多3，這在圖象上會有什么樣的表現？

猜想函數y=2x和函數y=2x＋3圖象的關系。

以上是從自變量與函數值的角度分析兩個函數的關系，學生能理解“當橫坐標相同時，函數y=2x＋3上的點縱坐標比y=2x大3”，進而根據“點動成線”提出自己的猜想，但缺乏直觀感受。

（二）從“形”的角度分析研究

學生在操作臺上用幾何畫板畫出函數y=2x和函數y=2x＋3的圖象，其他學生同時在練習本上用描點法畫出圖象。雖然幾何畫板可以直接畫出圖象，也比較直觀準確，有利于學生觀察，但學生用描點法畫圖的過程也是不可缺少的，這既是為了培養學生的畫圖能力，同時又因為畫出函數圖象、觀察函數圖象進而歸納性質特征是研究函數的思路，這為以后研究新函數提供了途徑。

1.學生畫出圖象以后，與操作臺同學畫出的圖象進行對比，觀察自己所畫圖象是否正確。

觀察圖象思考：函數y=2x＋3的圖象是什么形狀？函數y=2x和函數y=2x＋3的圖象有什么位置關系？

猜想：函數y=2x圖象通過怎樣的平移能夠得到函數y=2x＋3的圖象？

以上活動是讓學生通過觀察初步感知函數y=2x＋3的圖象與性質。

2.在兩個函數圖象上構造一些橫坐標相同的點。

學生觀察思考：當函數y=2x與y=2x＋3圖象上的點橫坐標相同時，縱坐標有什么關系？

發現：當橫坐標相同時，函數y=2x上的點的縱坐標比y=2x＋3小3。

為了更有說服力，在函數y=2x上構造點A，經過點A作y軸平行線，然后構造這條平行線與函數y=2x＋3的交點B，度量點A和點B的坐標。拖動點A，就可以清晰地看到：隨著點A位置的改變，點B和點A的橫坐標相同，縱坐標多3。

3.思考：點A通過怎樣的平移能到點B的位置？

學生發現點A向上平移3個單位長度得到點B。

教師演示平移的動態過程。

為了便于學生觀察，把先前所構造的函數y=2x圖象上的點在“顯示”菜單中設置成“追蹤點”，這樣，當點擊“動畫點”按鈕時，函數y=2x的圖象向上平移的軌跡就直觀地顯示出來了。

4.思考：根據“點動成線”，函數y=2x的圖象通過怎樣的平移能夠得到函數y=2x＋3的圖象？

學生通過前面過程已經理解了兩個函數圖象上對應點的關系，能夠得出結論：函數y=2x圖象上的每個點都向上平移3個單位長度就得到函數y=2x＋3的圖象，所以函數y=2x＋3的圖象也是直線。

觀察兩條直線的位置關系，發現它們互相平行。

教師用幾何畫板演示直線平移過程。

利用前面做出的點A和點B構造線段AB，在線段AB上構造點C，選中點C和點A，在“構造”菜單里點擊“軌跡”，出現和直線y=2x平行的直線。選中點C，按“編輯→操作類按鈕→動畫”流程操作，出現“動畫點”按鈕，右鍵設置“屬性”，“方向”選擇“向后”，然后點擊“確認”。點擊“動畫點”，可以看到函數y=2x圖象向上平移3個單位長度得到函數y=2x＋3圖象的過程。

把常數項換成其他數字進行演示，學生觀察總結。

用類似的教學流程在動態變化中來講函數y=2x圖象和函數y=2x－3圖象的關系，以調動學生的積極性，增加學生參與演示的機會。

5.在教學k值小于0的一次函數圖象性質過程中，把上面的流程做一個相反的變化。

先提出問題：把正比例函數y=－2x的圖象向上平移4個單位長度，哪些特點發生變化？哪些特點不變？請猜想解析式。

學生已經有了前面的探究經歷，所以在學習活動中不急于演示動態變化過程，可以先引導學生從函數的增減性、經過的象限、與y軸的交點坐標等方面對正比例函數y=－2x進行想象，然后思考它向上平移4個單位長度以后有哪些特點發生變化，哪些特點不變。

學生回答之后，不評價對錯，先畫出函數y=－2x+4的圖象，然后演示動態過程，讓學生觀察圖象的相同點和不同點，對結論進行驗證。

學生觀察思考：正比例函數y=－2x的圖象在向上平移過程中，解析式哪些部分發生變化？哪些部分不變？

在“度量”菜單中有“度量方程”的功能，拖動函數圖象，學生能夠觀察到當函數圖象位置發生變化時，k值不變，一直都是－2，b值發生變化。這為下面總結一次函數圖象的性質作出了鋪墊。

一次函數圖象是一條直線，但在幾何畫板中經過定點畫這個函數圖象的平行線是不能直接作出的，往往是在原函數圖象上構造兩個點，然后經過這兩個點畫出一條和原函數圖象重合的直線，最后再經過定點來構造這條新直線的平行線，從而得到與原一次函數圖象平行的直線。

“軌跡”構造的直線也無法直接度量方程，同樣可以在這條直線上構造兩個點，隱藏直線，然后構造經過這兩個點的直線，度量新直線的解析式。

在演示圖象平移過程中往往會出現一種情況：圖象平移之后會跳回原來的位置，不能停留在終點，不利于學生觀察。以直線y=－2x平移到直線y=－2x+4為例來解決這個問題，先根據前面流程作出直線y=－2x向上平移4個單位長度得到直線y=－2x+4的動畫，再選中直線y=－2x+4做“隱藏/顯示”按鈕（流程是編輯→操作類按鈕→隱藏/顯示），然后依次選中“動畫點”和“隱藏/顯示”兩個按鈕，在“編輯”菜單中“操作類按鈕”選擇“系列按鈕”，這樣就實現了一個按鈕控制整個移動過程，并且不會發生跳回現象。

6.歸納總結階段把重點轉向學生的操作體驗。因為經過前面的學習過程，學生已經對一次函數圖象和性質有了初步的理解，還需要通過進一步的體驗感悟來加深印象。

為了讓學生直觀感受k值的作用，教師可讓學生畫出大量k值固定不變的一次函數的圖象，如k=0.5，畫出直線y=0.5x，y=0.5x＋4，y=0.5x＋2，y=0.5x－1.5，y=0.5x－4…學生觀察到這些函數的圖象都是平行的直線。

總結規律：一次函數的k值相同時，它們的圖象是一組互相平行的直線；反過來，當一次函數圖象是平行直線時，它們的解析式k值相同。

學生在幾何畫板中畫出k=－2的一次函數y=－2x，y=－2x+4，y=－2x＋2，y=－2x－0.5，y=－2x－3…的圖象，通過觀察再次驗證規律。

思考：觀察兩組函數圖象以及前面正比例函數圖象到一次函數圖象的動態變化過程，你能說出一次函數圖象從左到右上升或下降的規律嗎？

由此得到k的第二個作用：k＞0，一次函數圖象從左到右上升，函數值隨自變量的增大而增大；k＜0，一次函數圖象從左到右下降，函數值隨自變量的增大而減小。

把正比例函數圖象和一次函數圖象放在同一個坐標系中，更方便比較它們的異同。

通過以上過程，學生對一次函數中k值對圖象的兩個作用有直觀、清晰的理解認識。

二、一次函數圖象與y軸的交點

一次函數中常數項的作用與以后要學習的二次函數中常數項的作用相同，所以常數項的研究方法對今后學習其他函數具有指導作用，仍然從“數”與“形”兩個角度進行研究，以函數y=2x+3為例。

（一）從“數”的角度分析研究

思考：一次函數y=2x+3，當x=0時，y值等于幾？

學生求出當x=0時，y=3。

思考：這個計算結果反映了函數y=2x+3的圖象有什么樣的特征？

根據自變量和函數值的關系，可以知道函數圖象與y軸的交點坐標是（0，3）。

思考：一次函數y=kx+b（k≠0）與y軸的交點坐標是什么？

學生利用前面分析具體解析式獲得的經驗，從特殊到一般，可以推導出一次函數y=kx+b（k≠0）與y軸交點坐標是（0，b）。

從“數”的角度盡管也能得出結論，但缺乏直觀性，不利于學生思維的發散，難以進行更深層次的發掘。

（二）從“形”的角度分析研究

1.利用正比例函數圖象的平移分析

思考：一次函數y=2x+3的圖象可以由哪個正比例函數圖象通過怎樣的平移得到？與y軸的交點發生了怎樣的變化？

這是由函數圖象的平移得到與y軸交點的平移。

學生由函數y=2x的圖象向上平移3個單位長度得到函數y=2x+3的圖象，可以聯想到圖象與y軸的交點也向上平移了3個單位長度，函數y=2x+3的圖象與y軸交點坐標為（0，3）。

2.幾何畫板畫圖分析

學生在操作臺上利用幾何畫板畫出一次函數y=4x＋3，y=2x＋3，y=0.5x＋3，y=－0.5x＋3，y=－x＋3，y=－2x＋3…的圖象。

觀察思考：這些圖象與y軸的交點有什么特點？

學生可以看出它們與y軸的交點坐標都是（0，3）。

觀察思考：它們的解析式有什么樣的共同點？

學生能夠發現函數解析式中常數項b值都是3。

這樣學生就建立起了b值與函數圖象y軸交點坐標之間的關系，進一步引導學生分析為什么它們的圖象與y軸的交點坐標都是（0，3）。

最后學生共同歸納出一次函數y=kx+b（k≠0）中b值的作用：決定著一次函數圖象與y軸交點的坐標，b值相同的一次函數圖象與y軸交點在同一位置。

三、結語

如果使用傳統教學手段，只能側重從“數”的角度分析一次函數圖象和性質，盡管也可以用描點法對畫出的圖象進行分析研究，但不利于學生完全理解一次函數的本質，也不利于學生進一步發掘。

課堂上利用幾何畫板講授一次函數，一方面動態演示，從微觀和運動變化的角度進行探索，真正實現了數形結合，另一方面強大的交互性讓學生有更多的參與機會，學生在“做中學”，通過體驗感悟，能夠從本質上理解一次函數的圖象與性質，并且留下深刻印象。同時，利用幾何畫板把正比例函數的圖象和大量的一次函數的圖象放在一個平面直角坐標系中加以對比，讓學生在動態變化中清晰、準確地認識和理解它們的關系，進一步體驗到類比的數學思想。

但是幾何畫板只能作為一種輔助教學手段，在教學過程中不能完全以演示代替教師的啟發引導和學生的畫圖實踐，只有合理利用，才能真正促進數學教學方式的變革，提高學生的核心素養。

編輯：趙飛飛