利用幾何畫板講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

宗迎峰

一次函數(shù)是學生首次學習，由于具有高度抽象性，給學生的學習帶來一定難度。一次函數(shù)探索過程中的數(shù)形結(jié)合思想，為學生以后學習二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及其他函數(shù)提供了可以類比的研究途徑。在教學過程中若單純使用傳統(tǒng)教學手段，學生很難完全理解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。而利用幾何畫板不僅可以方便地畫出一次函數(shù)的圖象，學生還能通過動手操作體驗到函數(shù)圖象與性質(zhì)隨函數(shù)解析式變化而做出的相應改變，進一步提升信息素養(yǎng)。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對一次函數(shù)提出的學業(yè)要求是會根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式y(tǒng)=kx＋b（k≠0）探索并理解k值的變化對函數(shù)圖象的影響，同時還提出，數(shù)學課堂上要利用數(shù)學專用軟件開展數(shù)學實驗。

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)取決于k值和b值，只從解析式角度去分析，顯然不夠直觀，學生難以完全理解和掌握。在正比例函數(shù)的基礎上探索一次函數(shù)圖象的平移變化，盡管學生也可以用描點法畫出圖象進行研究，但描出的點比較有限，圖象不夠精確。同時，如果畫出的圖象數(shù)量過少，缺乏普遍意義，學生難以觀察歸納出本質(zhì)特征；如果畫出的圖象太多，又比較耗時。而運用幾何畫板（5.06版）這一工具，通過演示對比正比例函數(shù)與一次函數(shù)，學生能夠更好地體驗數(shù)形結(jié)合的思想，并且在學習過程中感受“從特殊到一般”這一重要數(shù)學研究方法。

一、一次函數(shù)圖象平移

一次函數(shù)圖象初中階段只涉及上下平移，選擇函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3進行研究，這兩個函數(shù)解析式比較簡單，便于計算和描點。

（一）從“數(shù)”的角度分析研究

學生觀察解析式的異同，思考：函數(shù)y=2x＋3和函數(shù)y=2x相比，多了常數(shù)項3，當自變量取相同數(shù)值時，函數(shù)值會有什么差異？

學生列表求值，x取一些特殊數(shù)值，計算兩個函數(shù)對應的函數(shù)值，并對函數(shù)值進行對比，觀察規(guī)律。

思考：當x取相同數(shù)值時，y=2x＋3的函數(shù)值比y=2x多3，這在圖象上會有什么樣的表現(xiàn)？

猜想函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3圖象的關系。

以上是從自變量與函數(shù)值的角度分析兩個函數(shù)的關系，學生能理解“當橫坐標相同時，函數(shù)y=2x＋3上的點縱坐標比y=2x大3”，進而根據(jù)“點動成線”提出自己的猜想，但缺乏直觀感受。

（二）從“形”的角度分析研究

學生在操作臺上用幾何畫板畫出函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3的圖象，其他學生同時在練習本上用描點法畫出圖象。雖然幾何畫板可以直接畫出圖象，也比較直觀準確，有利于學生觀察，但學生用描點法畫圖的過程也是不可缺少的，這既是為了培養(yǎng)學生的畫圖能力，同時又因為畫出函數(shù)圖象、觀察函數(shù)圖象進而歸納性質(zhì)特征是研究函數(shù)的思路，這為以后研究新函數(shù)提供了途徑。

1.學生畫出圖象以后，與操作臺同學畫出的圖象進行對比，觀察自己所畫圖象是否正確。

觀察圖象思考：函數(shù)y=2x＋3的圖象是什么形狀？函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3的圖象有什么位置關系？

猜想：函數(shù)y=2x圖象通過怎樣的平移能夠得到函數(shù)y=2x＋3的圖象？

以上活動是讓學生通過觀察初步感知函數(shù)y=2x＋3的圖象與性質(zhì)。

2.在兩個函數(shù)圖象上構(gòu)造一些橫坐標相同的點。

學生觀察思考：當函數(shù)y=2x與y=2x＋3圖象上的點橫坐標相同時，縱坐標有什么關系？

發(fā)現(xiàn)：當橫坐標相同時，函數(shù)y=2x上的點的縱坐標比y=2x＋3小3。

為了更有說服力，在函數(shù)y=2x上構(gòu)造點A，經(jīng)過點A作y軸平行線，然后構(gòu)造這條平行線與函數(shù)y=2x＋3的交點B，度量點A和點B的坐標。拖動點A，就可以清晰地看到：隨著點A位置的改變，點B和點A的橫坐標相同，縱坐標多3。

3.思考：點A通過怎樣的平移能到點B的位置？

學生發(fā)現(xiàn)點A向上平移3個單位長度得到點B。

教師演示平移的動態(tài)過程。

為了便于學生觀察，把先前所構(gòu)造的函數(shù)y=2x圖象上的點在“顯示”菜單中設置成“追蹤點”，這樣，當點擊“動畫點”按鈕時，函數(shù)y=2x的圖象向上平移的軌跡就直觀地顯示出來了。

4.思考：根據(jù)“點動成線”，函數(shù)y=2x的圖象通過怎樣的平移能夠得到函數(shù)y=2x＋3的圖象？

學生通過前面過程已經(jīng)理解了兩個函數(shù)圖象上對應點的關系，能夠得出結(jié)論：函數(shù)y=2x圖象上的每個點都向上平移3個單位長度就得到函數(shù)y=2x＋3的圖象，所以函數(shù)y=2x＋3的圖象也是直線。

觀察兩條直線的位置關系，發(fā)現(xiàn)它們互相平行。

教師用幾何畫板演示直線平移過程。

利用前面做出的點A和點B構(gòu)造線段AB，在線段AB上構(gòu)造點C，選中點C和點A，在“構(gòu)造”菜單里點擊“軌跡”，出現(xiàn)和直線y=2x平行的直線。選中點C，按“編輯→操作類按鈕→動畫”流程操作，出現(xiàn)“動畫點”按鈕，右鍵設置“屬性”，“方向”選擇“向后”，然后點擊“確認”。點擊“動畫點”，可以看到函數(shù)y=2x圖象向上平移3個單位長度得到函數(shù)y=2x＋3圖象的過程。

把常數(shù)項換成其他數(shù)字進行演示，學生觀察總結(jié)。

用類似的教學流程在動態(tài)變化中來講函數(shù)y=2x圖象和函數(shù)y=2x－3圖象的關系，以調(diào)動學生的積極性，增加學生參與演示的機會。

5.在教學k值小于0的一次函數(shù)圖象性質(zhì)過程中，把上面的流程做一個相反的變化。

先提出問題：把正比例函數(shù)y=－2x的圖象向上平移4個單位長度，哪些特點發(fā)生變化？哪些特點不變？請猜想解析式。

學生已經(jīng)有了前面的探究經(jīng)歷，所以在學習活動中不急于演示動態(tài)變化過程，可以先引導學生從函數(shù)的增減性、經(jīng)過的象限、與y軸的交點坐標等方面對正比例函數(shù)y=－2x進行想象，然后思考它向上平移4個單位長度以后有哪些特點發(fā)生變化，哪些特點不變。

學生回答之后，不評價對錯，先畫出函數(shù)y=－2x+4的圖象，然后演示動態(tài)過程，讓學生觀察圖象的相同點和不同點，對結(jié)論進行驗證。

學生觀察思考：正比例函數(shù)y=－2x的圖象在向上平移過程中，解析式哪些部分發(fā)生變化？哪些部分不變？

在“度量”菜單中有“度量方程”的功能，拖動函數(shù)圖象，學生能夠觀察到當函數(shù)圖象位置發(fā)生變化時，k值不變，一直都是－2，b值發(fā)生變化。這為下面總結(jié)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)作出了鋪墊。

一次函數(shù)圖象是一條直線，但在幾何畫板中經(jīng)過定點畫這個函數(shù)圖象的平行線是不能直接作出的，往往是在原函數(shù)圖象上構(gòu)造兩個點，然后經(jīng)過這兩個點畫出一條和原函數(shù)圖象重合的直線，最后再經(jīng)過定點來構(gòu)造這條新直線的平行線，從而得到與原一次函數(shù)圖象平行的直線。

“軌跡”構(gòu)造的直線也無法直接度量方程，同樣可以在這條直線上構(gòu)造兩個點，隱藏直線，然后構(gòu)造經(jīng)過這兩個點的直線，度量新直線的解析式。

在演示圖象平移過程中往往會出現(xiàn)一種情況：圖象平移之后會跳回原來的位置，不能停留在終點，不利于學生觀察。以直線y=－2x平移到直線y=－2x+4為例來解決這個問題，先根據(jù)前面流程作出直線y=－2x向上平移4個單位長度得到直線y=－2x+4的動畫，再選中直線y=－2x+4做“隱藏/顯示”按鈕（流程是編輯→操作類按鈕→隱藏/顯示），然后依次選中“動畫點”和“隱藏/顯示”兩個按鈕，在“編輯”菜單中“操作類按鈕”選擇“系列按鈕”，這樣就實現(xiàn)了一個按鈕控制整個移動過程，并且不會發(fā)生跳回現(xiàn)象。

6.歸納總結(jié)階段把重點轉(zhuǎn)向?qū)W生的操作體驗。因為經(jīng)過前面的學習過程，學生已經(jīng)對一次函數(shù)圖象和性質(zhì)有了初步的理解，還需要通過進一步的體驗感悟來加深印象。

為了讓學生直觀感受k值的作用，教師可讓學生畫出大量k值固定不變的一次函數(shù)的圖象，如k=0.5，畫出直線y=0.5x，y=0.5x＋4，y=0.5x＋2，y=0.5x－1.5，y=0.5x－4…學生觀察到這些函數(shù)的圖象都是平行的直線。

總結(jié)規(guī)律：一次函數(shù)的k值相同時，它們的圖象是一組互相平行的直線；反過來，當一次函數(shù)圖象是平行直線時，它們的解析式k值相同。

學生在幾何畫板中畫出k=－2的一次函數(shù)y=－2x，y=－2x+4，y=－2x＋2，y=－2x－0.5，y=－2x－3…的圖象，通過觀察再次驗證規(guī)律。

思考：觀察兩組函數(shù)圖象以及前面正比例函數(shù)圖象到一次函數(shù)圖象的動態(tài)變化過程，你能說出一次函數(shù)圖象從左到右上升或下降的規(guī)律嗎？

由此得到k的第二個作用：k＞0，一次函數(shù)圖象從左到右上升，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；k＜0，一次函數(shù)圖象從左到右下降，函數(shù)值隨自變量的增大而減小。

把正比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象放在同一個坐標系中，更方便比較它們的異同。

通過以上過程，學生對一次函數(shù)中k值對圖象的兩個作用有直觀、清晰的理解認識。

二、一次函數(shù)圖象與y軸的交點

一次函數(shù)中常數(shù)項的作用與以后要學習的二次函數(shù)中常數(shù)項的作用相同，所以常數(shù)項的研究方法對今后學習其他函數(shù)具有指導作用，仍然從“數(shù)”與“形”兩個角度進行研究，以函數(shù)y=2x+3為例。

（一）從“數(shù)”的角度分析研究

思考：一次函數(shù)y=2x+3，當x=0時，y值等于幾？

學生求出當x=0時，y=3。

思考：這個計算結(jié)果反映了函數(shù)y=2x+3的圖象有什么樣的特征？

根據(jù)自變量和函數(shù)值的關系，可以知道函數(shù)圖象與y軸的交點坐標是（0，3）。

思考：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y軸的交點坐標是什么？

學生利用前面分析具體解析式獲得的經(jīng)驗，從特殊到一般，可以推導出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y軸交點坐標是（0，b）。

從“數(shù)”的角度盡管也能得出結(jié)論，但缺乏直觀性，不利于學生思維的發(fā)散，難以進行更深層次的發(fā)掘。

（二）從“形”的角度分析研究

1.利用正比例函數(shù)圖象的平移分析

思考：一次函數(shù)y=2x+3的圖象可以由哪個正比例函數(shù)圖象通過怎樣的平移得到？與y軸的交點發(fā)生了怎樣的變化？

這是由函數(shù)圖象的平移得到與y軸交點的平移。

學生由函數(shù)y=2x的圖象向上平移3個單位長度得到函數(shù)y=2x+3的圖象，可以聯(lián)想到圖象與y軸的交點也向上平移了3個單位長度，函數(shù)y=2x+3的圖象與y軸交點坐標為（0，3）。

2.幾何畫板畫圖分析

學生在操作臺上利用幾何畫板畫出一次函數(shù)y=4x＋3，y=2x＋3，y=0.5x＋3，y=－0.5x＋3，y=－x＋3，y=－2x＋3…的圖象。

觀察思考：這些圖象與y軸的交點有什么特點？

學生可以看出它們與y軸的交點坐標都是（0，3）。

觀察思考：它們的解析式有什么樣的共同點？

學生能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式中常數(shù)項b值都是3。

這樣學生就建立起了b值與函數(shù)圖象y軸交點坐標之間的關系，進一步引導學生分析為什么它們的圖象與y軸的交點坐標都是（0，3）。

最后學生共同歸納出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中b值的作用：決定著一次函數(shù)圖象與y軸交點的坐標，b值相同的一次函數(shù)圖象與y軸交點在同一位置。

三、結(jié)語

如果使用傳統(tǒng)教學手段，只能側(cè)重從“數(shù)”的角度分析一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，盡管也可以用描點法對畫出的圖象進行分析研究，但不利于學生完全理解一次函數(shù)的本質(zhì)，也不利于學生進一步發(fā)掘。

課堂上利用幾何畫板講授一次函數(shù)，一方面動態(tài)演示，從微觀和運動變化的角度進行探索，真正實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，另一方面強大的交互性讓學生有更多的參與機會，學生在“做中學”，通過體驗感悟，能夠從本質(zhì)上理解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并且留下深刻印象。同時，利用幾何畫板把正比例函數(shù)的圖象和大量的一次函數(shù)的圖象放在一個平面直角坐標系中加以對比，讓學生在動態(tài)變化中清晰、準確地認識和理解它們的關系，進一步體驗到類比的數(shù)學思想。

但是幾何畫板只能作為一種輔助教學手段，在教學過程中不能完全以演示代替教師的啟發(fā)引導和學生的畫圖實踐，只有合理利用，才能真正促進數(shù)學教學方式的變革，提高學生的核心素養(yǎng)。

編輯：趙飛飛