解數學題對中學數學教學的啟示

張進華

筆者在中學數學教學中遇到這樣幾道非常典型的數學題目：

題目一：如圖1，一個牧民趕著一匹馬從B處欲回到他的帳篷A，他又想在回程中先到以L1為界的草地吃草，繼而到河的岸邊L2去飲水，他應該走怎樣的路線最節省時間？

分析：在解題過程中，若我們想到現行義務教育課程標準實驗教科書數學七年級下冊228頁問題解決第二題：在某街道L同側有居民區A、B，要在街道旁修建一個奶站向居民區A、B供應牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的路程和最短？

該題目不難解決，如圖2所示，設想居民區B在以L為對稱軸的軸對稱B1處，那么由A到B1的 最短路程，顯然以線段AB1為最短，這實際上給出了最短路線的求法，P就是奶站的位置。同樣在極小點P處，射線PA、PB與軸L成等角，這是最短路程的物理意義：反射路線所走的路線，乃是最短路程，或者說所用的時間最省。利用軸對稱，還可以解決較復雜的最短路線問題，為此我們不難找出題目一的解決方法：如圖1所示，先作出A關于L2的對稱點A1，再作出A1關于L1的對稱點A2，連接A2B交L1為P1，連接P1A1交L2為P2，則可得P1為馬的吃草點，P2為馬的飲水點。另外，在實際生活中，臺球所經的路線亦受此規律的約束，這樣我們可以順利解決幾何題目：如下圖3，設在一個矩形球臺P0P1P2P3上有二球A、B，沿怎樣的方向擊球A，可使它接連碰撞桌邊P0P1，P1P2和P2P3后恰好擊中球B？

初中數學的學習，特別是初中幾何知識的學習，最害怕陷入單純、枯燥的邏輯推理之中。如果能把某些推理過程或推理出的結論同我們的生活實際聯系起來，學生就會感到親切而且有無窮的趣味，從而消除單純推理的枯燥感，進而主動、積極地學好數學。但值得說明的是，雖然有一些數學題目是“編造”的，但也要合乎實際，以假亂真，才能收到預期的效果；如果一個非常有趣的題目，學生初看時“難于上青天”，一旦通過自己分析，找出課本上的原型，揭示題目的聯系，而解題方法巧妙又簡單出奇，不禁令人拍案叫絕，這樣就會激發出學生極大的興趣，同時還展示出數學美感。其實在幾何的學習園地里到處都體現著數學的美學價值、應用價值，曲徑通幽，只要我們同學生深入進去，就會在教學過程中感到美不勝收。精巧的幾何圖形本身就能引起學生極大的興趣，給人以美的享受，如果能與學生生活實際聯系起來，會使學生體會到學以致用，就更會興致盎然。

事實勝于雄辯，在數學教學和中高考復習中要用好課本，以課本為主。多年來，我看到許多數學考試卷中有很多的題目是對課本上最基本的知識點或數學概念的考查，所以，我們要重視基礎概念的教學和復習，切實抓好基礎知識和基本訓練，深化知識，從本質上發現數學知識的聯系，從而提高學生的解題能力。如上面解決問題的方法，實際上體現了“化歸”的數學思想和“變換”的數學方法。在中學數學教學及解題中“化歸”是廣為運用的法寶。中高考復習教學中教師要十分重視對學生“化歸”等數學思想的培養，要求每一個考生掌握數學“變換”的規律，熟練運用數學方法靈活地解決有關的數學問題。運用“化歸”的方法能將復雜的問題“化歸”為簡單的問題，將未解決的問題“化歸”為已解決的問題，這樣難關就會變成易行的大道，甚至恰當的“化歸”會使人進入“留戀忘返，拍案叫絕”的境地。

題目三 過拋物線y2=2px焦點F的一條直線和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2.求證：y1y2=－p2.

以上可以再次充分看出：在中學數學教學和復習中要用好課本，以課本為主，充分利用知識的形成過程和例題的典型方法。

總之，數學試卷中的很多試題是課本上例題的直接運用或整合。在平時的教學中，如果教師都能注重課本，加強學生思維能力的培養，那么學生在遇到具體問題時就能運用平時所學到的知識加以解決。尤其是近些年許多考試題中的一個特點“少計算，多思考”，就要求學生平時加強基礎練習，提升思考能力。因此，作為教師，要重視基礎，切實抓好基礎知識和基本訓練，從源頭上發現數學概念間的聯系，從而提高學生應用知識的能力，全面培養學生的數學素質。

編輯：趙飛飛