深度教研之路徑的整體設計
——以“圓的認識”教學設計為例

浙江溫州市濱江外國語小學 （325002） 林志輝

浙江溫州市仰義第一小學 （325002） 陳柯柯

學習路徑是指為了實現特定目標而設計的任務序列，涵蓋學生在學習過程中需要經歷的各個環節。在本文中，“路徑的整體設計”是指在特級教師林志輝提出的“單元視角下的比較研究”中進行深度教研第三維度的研究。該研究基于“內容的整體解讀”和“學情的整體分析”，關注靜態的知識和動態的學情，借鑒大量的課例文獻，深入思考、優化調試，旨在設計出最適合的學習路徑。實現“路徑的整體設計”需要對目標設定、課例比較和路徑思考進行比較分析。

一、目標設定

教學目標可以說是指揮棒，直接指向教學所應達成的成效。目標設定是教師對教學內容、學生知識經驗和能力素養進行高度概括的過程，能充分展現教師的專業性。為了更加精確地確定教學目標，筆者采取了與常規方法不同的方式。如圖1 所示，要求參與研討的教師先逐步細化學段領域目標和單元整體目標，然后解讀單元內各個相關課時的目標，最后確定教學課例的目標。縱向和橫向比較知識技能、過程方法和情感態度，能讓教學目標從宏觀走向微觀，從大單元走向一節課，不斷細化和精準。

圖1 目標設定框架圖

1.不同版本課程標準的對比

以“圓的認識”為例，縱向比較不同時期的課程標準可發現，1986 年的全日制小學數學教學大綱依然要求學生掌握圓的特征。然而，從2001 年版《義務教育數學課程標準（實驗稿）》開始，課程標準的要求轉變為認識圓，并一直延續至今，且“認識”被定義為描述對象的特征和由來，闡述該對象與相關對象之間的區別和聯系。

可以看出，隨著課程標準的更迭，學生不僅需要了解圓的特征，還需要了解為什么圓會具有這樣的特征。隨著時間的推進，課程標準明確要求學生通過觀察和操作來認識圓，注重讓學生通過親身體驗來學習這部分知識。學習方式強調了學生的主動學習和動手操作。此外，課程標準對學生在技能方面的要求也更加具體：要求學生使用圓規來畫圓，并注重培養學生對美的欣賞能力。

2.現行版本課程標準對比

繼續以“圓的認識”為例，通過對比《義務教育數學課程標準（2022 年版）》在第一學段、第三學段和第四學段不同學段領域的目標安排，聚焦第三學段六年級中圓所在單元的整體目標，梳理對比相關課時的目標，確定“圓的認識”的課例目標。

（1）學段領域目標

通過比較不同學段領域的教學目標，可以看出第一學段著重于辨認圓，關注靜態、直觀的整體表象。第三學段則要求學生通過觀察和操作來認識圓，掌握使用圓規畫圓的技能，并且了解圓周率、掌握圓周長和圓面積的計算公式，能夠解決簡單的與圓相關的實際問題。此外，學生還需要學會從平移、旋轉和軸對稱的角度來欣賞生活中的圖案，并能在方格紙上設計簡單的圖案。在第三學段中，學生開始逐漸理解圓的特征的動態本質，為第四學段學習更抽象的圓概念打下堅實的基礎。

（2）單元整體目標

基于學段領域目標，教師可以選取所在單元的“圓的周長”“圓的面積”和“扇形的認識”作為核心案例。通過橫向比較教師教學用書對各節課的目標定位，確定“圓的周長”“圓的面積”以及“扇形的認識”這些課程是為了豐富學生對圓的特征的認識。由此確定本節課的目標：知識層面上為學習圓的特征打基礎，技能層面上為后續進一步學習曲線圖形奠定基礎，培養學生的空間觀念。

（3）課時、課例目標

結合學段領域目標、單元整體目標以及與相關典型案例的比較分析，從知識技能、過程方法和情感態度三個方面確定課時、課例目標為：①理解并掌握圓的特征，學會畫圓；②通過探索圓的特征的過程，積累實踐經驗，發展空間觀念；③感受數學知識之間的緊密聯系，激發學習數學的興趣。

二、課例比較

課例比較是基于充分的文獻閱讀，對典型案例的路徑設計進行對比分析（如圖2 所示）。此過程主要從課例的導入、展開和練習三個方面出發，對課例的共性和個性進行抽象和聚焦，以求同尋異。通過發現課例的共性設計來確定課例的知識重難點，還要進行雙向驗證以確保目標設定的準確性。而對不同課例的立意點進行比較，能為路徑設定提供有益的參考，同時結合學情，找到最佳的學材和教學序列，從而全面理解教學內容的廣度。

圖2 課例比較框架圖

1.求同尋異

以“圓的認識”為例，筆者根據課例設計的特點選取了4 篇典型的課例作為比較對象，分別是佘路祥老師、肖麗丹老師和汪秀芹老師，以及馮凱老師賞析的特級教師蘇明杰的課例。

從導入環節來看，這4 篇課例都注重喚醒學生對圓的原有認知。他們利用生活情境或游戲等不同方式引導學生進入課題。在教學環節中，佘路祥老師和蘇明杰老師利用操作和思考活動引導學生自主發現圓的相關特征，并總結出圓“一中同長”的本質屬性。學生在了解圓“一中同長”的特征后，可以選擇多種方法來畫圓，從中感悟不同畫法之間的共同屬性，體會用圓規畫圓的優勢。汪秀芹老師和肖麗丹老師則采用先畫圓再探究圓的特征的方式。這4 位老師都注重探究方法的多樣性，引導學生通過多次使用圓規畫圓、使用不同工具畫圓來認識圓的特征。其中，只有肖麗丹老師讓學生研究找圓心的方法，從而讓學生進一步體會圓上任意一點到圓心的距離相等。無論是先畫圓后探究，還是先探究后畫圓，畫圓和探究圓的特征都是本節課的目標。在練習環節，這4 位老師都是讓學生感受生活中圓的美，強調圓的特征的應用，符合課程標準的要求。

通過比較，筆者總結出這幾個課例的三個共性。（1）導入環節需要喚醒學生原有的知識或經驗，關注學生的起點；（2）展開環節需要聚焦圓的特征探索，特別是圓“一中同長”的本質屬性?？梢砸龑W生在畫圓的過程中探索和體會圓的特征，并通過觀察、操作和表達等方式培養學生的空間觀念；（3）練習環節需要拓展圓的特征的應用，并強調學生對圓的美的欣賞。

2.優化凝練

課例比較是路徑設計的參考依據，但教學的主體是學生，他們的學情決定了教學的起點。只有適合學生的教學方法才能達到最好的教學效果。筆者團隊提出的路徑的整體設計以大量文獻為基、以教學對象為主設置教學任務。為了更準確地把握學生的水平，筆者團隊設計了以下三個前測問題：①在格子圖中找到距離已知點學校300 米的小明家（1格表示100米）；②畫出你心目中的圓；③描述圓的特征。

通過對所在區域的322 名學生進行調研，筆者團隊發現以下情況。

第①題，找點。解決這個問題時，大多數學生都能意識到小明家可能在圓上，畫出圓表示小明家可能在的位置的學生占比為70.19%，其中有19.25%的學生想到以學校為中心，在上下左右四個方向描出4個點。

第②題，畫圓。令人意外的是，高達98.14%的學生能夠使用圓規畫圓，只有個別學生在使用圓規時稍顯不熟練。大多數學生已經明確知道圓規的針尖可以用來確定圓心，圓規兩腳張開的大小可以確定圓的大小。

第③題，說圓。由于學生可以通過多種渠道獲取關于圓的知識，所以35.40%的學生已經能說出圓的半徑、直徑和圓心等概念，他們也知道圓的特征中包括“一中同長”。但通過進一步的訪談，筆者發現，學生只是停留在知道的層面，缺乏對圓的真正理解。

根據以上調研結果，以及對班級小樣本的集中觀察，筆者發現，學生對圓的半徑、直徑和圓心等概念已經有了一定的認識。面對這樣的高起點，筆者嘗試采用更抽象的教學方法，即通過操作和探究來引導學生從感性認識到理性認識，抽象概括出圓的本質特征，積累學習平面圖形的經驗，并發展空間觀念。

三、路徑思考

路徑思考是教師在選擇合適的素材、恰當的教學呈現方式和教學呈現時的思考過程，它體現了教師思想創新的深度。教師要基于目標聚焦下的高度進行概括、課例比較下的廣度進行理解，依托學生的真實學習起點，選擇合適的“材”，鎖定適切的“序”，順應學生的學習規律，尊重學生的真實學情。

1.“材”的選擇

如“圓的認識”一課中，基于“圓的認識”前測單的數據反饋，面對學生高起點的學情，筆者摒棄了教材中用實物拓印圓和描物體邊線的活動，選擇課程標準中提到的格子圖，讓學生以不同課例中所提到的動態視角理解圓。筆者嘗試設計讓學生在找點的過程中理解“一中同長”的活動。導入環節選擇課前讓學生找距離學校300 米處的小明家的素材，即選擇找圓上的點的相關素材。展開環節讓學生在格子圖上先畫一個三角形ABC，再畫一個圓，使得三角形ABC的三個頂點三都在圓上，最后找出這個圓的圓心；保留線段AB，找出過線段端點A和B的圓的圓心，并辨析在同一直線上的三點為何不能在同一個圓上。練習環節不是欣賞生活中圓，而是讓學生想象13 個圓能組成什么圖形，進而感受數學之美。

2.“序”的鎖定

在“圓的認識”一課中，為了進一步加深學生的理解，筆者嘗試從激活認知初識特征、探究本質豐厚特征、遷移延伸深化特征、圖形想象拓展思維四個環節展開教學（如圖3），帶領學生找點畫圓。這些環節旨在尊重學生的原有知識起點和技能經驗，培養學生的空間觀念。

圖3 “圓的認識”教學流程圖

第一個環節分兩層逐步推進。第一層是通過找小明家的位置，讓學生從離散點到密集點再到連續點（即圓）中初步感受到半徑處處相等。第二層是通過畫圓后對比圓的位置和大小，讓學生認識到圓心決定了圓的位置，半徑決定了圓的大小。

第二個環節分三層推進。第一層是通過以直角三角形中的某一點為圓心，讓學生明白斜邊和直角邊長不一致時是無法畫出圓的。第二層是引導學生從畫一個圓到畫多個圓，再到畫無數個圓，讓學生緊緊圍繞“為什么圓心在這里？”這個問題進行思考，逐漸理解圓“一中同長”的本質特征。第三層是通過畫圓，讓學生感受到只有以圓心作為唯一點才能使得三角形的三個頂點都在圓上。

在第三個環節中，通過找小亮家的方式讓學生體會直徑的特征，并明確直徑與半徑的關系。

在第四個環節中，通過想象13 個圓能組成什么圖形來拓展學生的思維，并讓他們感受到圓的美。

3.一類課的思考

單元整體視角下的路徑整體設計，不僅僅是針對單個課堂的深度研討，更重要的是用聯系的眼光來看待一系列的課程。比如，“圓的認識”屬于認識平面圖形的一部分。在“圓的認識”之前，教材編排了四邊形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形和三角形的認識內容。而“圓的認識”又是整個“圓”單元的起始課，那么它會給后續的課程如“圓的周長”“圓的面積”等帶來哪些啟發呢？這些問題都是路徑整體設計需要研討的內容。筆者團隊倡導從一節課走向一類課，注重自然單元之間的課例設計，以及關聯大單元（即同主題系列）的課例推進。

（1）圓的系列課例思考

本單元是小學階段最后一個認識平面圖形的單元，圓作為曲線圖形的一部分，對學生來說是一個挑戰。在整個單元中，“圓的認識”是第一課時，也是學生認識曲線圖形的起始課。而本單元的系列課例需要引導學生感受動態圓的軌跡變化過程。例如，在學習圓的周長時，通過將曲線轉化為直線的方式來理解圓周長的概念，可以加深對圓周率的理解。而在學習圓的面積時，通過將圓轉化為長方形的方式來理解圓面積的概念，即將曲線圖形轉換為熟悉的直邊圖形能夠更好地理解。在這兩節課中，教師應當像在“圓的認識”一課中一樣，注重學生的操作，讓他們通過實際的探索來掌握圓周長和圓面積的公式，并解決一些簡單的實際問題，同時也促進他們空間觀念的發展。

（2）圖形的認識系列課例思考

圖形的認識是幾何領域教學的基石，涵蓋了圖形測量、圖形變換、圖形與位置等方面的內容。它是培養學生空間意識、幾何直觀和推理能力的重要載體。在人教版教材中，從縱向比較的角度來看，一年級下冊開始編排平面封閉圖形的初步認識，著重培養學生的直觀表象和整體辨析能力。到了第二學段，開始編排圖形特征的初步認識，因為學生需要從整體走向元素，并逐漸從直觀的認知走向分析性的思考，為第三學段學習抽象概念奠定基礎。在第二學段，學生對圖形的認識屬于再認識的范疇，教師在概念教學中可以采用概念同化的教學路徑來讓學生認識圖形，特別是在長方形、正方形、平行四邊形、梯形和三角形的認識過程中。通過采用概念同化的教學路徑，學生可以將新學習的概念與已有的相關概念進行聯系和比較，從而更好地理解和掌握圖形的特征。

這樣的教學路徑有助于學生在圖形認識中深化和遷移概念，培養他們的幾何思維和學科的連貫性思維。同時，路徑的整體設計是培養教師創新能力的有力載體，也能夠為學生的后續學習打下堅實的基礎。