“做數學”素材的內涵、特征與開發

江蘇南京市建鄴區教師發展中心 （210000） 范韋莉

“做數學”是一種具身認知，其價值已被廣泛認可。“做數學”較好融入課堂教學的基礎是對“做數學”素材的開發。素材的選擇不僅關系到學生數學學習的興趣、動機及對數學的理解，而且直接影響他們學習潛能的發揮，決定著學習活動能否生動活潑、富有個性。在基于“做數學”進行素材開發時，要重點思考素材開發的價值、目標以及路徑，也就是明確“為何開發”“開發時要注意什么”，更要解決“如何開發”的根本問題。

一、“做數學”素材的內涵解讀

1.對“做數學”的理解

“做數學”是以陶行知“教學做合一”的教育思想為基礎，同時融合了“Hands-on”學習理念、杜威的“從做中學”理念、弗賴登塔爾的再創造思想以及具身認知理論的學習方式。匹茲堡大學在QUASAR研究項目成果中提出，“做數學”是高認知水平層次的任務，它要求學生探索和理解數學觀念、過程和關系的本質，在多種表達形式之間建立聯系。在小學階段，“做數學”是指學生利用各種媒介、工具、材料，通過手腦協同作用的行為理解知識、探究規律、解決問題。“做數學”具體包括三個要素。

（1）“做”是關鍵

學生應在學習任務或問題情境中，調動各種感官參與數學認知活動，通過觀察、操作、實驗、猜想、計算、推理、歸納及遷移等獲得對抽象數學概念和數學原理的直接體驗。

（2）“思”是核心

學生在經歷“做思共生”的建構活動中，認識“做數學”的價值，產生有質量的對話，經歷思維的重組，從而掌握解決問題的一般步驟，掌握基本的數學方法和創新的學習策略。

（3）“創”是目標

經過充分學習，學生能夠自主探索未知的數學領域，能運用數學的工具、原理、方法和模型解釋現實生活中的問題，能發現新的數學事實或關聯，能創造性地解決各種問題。

2.對“做數學”素材的理解

從課程的角度看，“做數學”素材其實就是一種課程資源。數學課程資源是在數學課程設計、實施和評價的過程中各種可利用的顯性的素材、隱性的素材、所需要的條件，以及在此過程中生成的各種可加以利用的資源。因此，“做數學”素材既包括實物、學具、計算器等工具，也包括問題、習題、情境等材料。

二、小學“做數學”素材的基本特征

為了使學生對“做數學”產生濃厚的興趣，教師應首先考慮素材的現實性、趣味性和挑戰性；此外，素材還應與學生的生活經驗、活動經驗緊密相關，且要適合嵌入數學問題情境，方便設置探究路徑和空間。具體而言，“做數學”素材應具有以下基本特征。

1.多元化

“做數學”要求學生借助學具（如小棒、七巧板、紙片等）或調動身體（實驗、實踐），以動腦、動手、動口的方式解決問題，從而完成從數學操作向數學思維建構的升華過程。為豐富建構過程，教師應為學生提供多元的學習素材，如小棒、七巧板、紙片等實物素材，習題、問題等文本素材，既可以是常規素材，也可以是非常規素材，既可以是實物等操作類素材，也可以是題組、問題等思辨類素材。

例如，圍繞“長方體和正方體”內容，筆者開發了“表面涂色的立方體”活動，提供給學生的素材是問題“一個大長方體，表面涂色后切開成若干塊相同的小正方體，其中三面涂色的小正方體有6 塊，這樣的長方體長什么樣？”。

在此之前的學習中，學生接觸到的此類切立方體問題中，三面涂色的小正方體都在大長方體的頂點處，大長方體有8 個頂點，因此三面涂色的小正方體有8 個。然而，上述提供的素材中三面涂色的小正方體卻只有6 個，這與學生已有認知發生了沖突。這種沖突會引發學生的思考，當原有的經驗無法解決問題時，學生會借助小正方體這一直觀的幾何模型，通過動手操作、空間想象等方式來擺脫思維定式，將解決問題的過程具體、形象地表達出來。

2.開放性

提供給學生的“做數學”素材應區別于標準化習題，要具有更強的開放性，是學生實踐的直接經驗和書本的間接經驗整合的結果。學生在面對這類素材時，可能會有些擔心，因為素材本身沒有提供明顯的解決問題的途徑，也沒有可以直接得到答案的用于解決整個問題的步驟。因此，學生需要運用已有的知識進行深入探究。這種學習過程曲折且結果具有多樣性的素材能夠激發學生的探究欲望，為學生數學學習提供有力的支撐。

例如，圍繞“用列舉的方法解決問題”內容，筆者開發了開放性問題“怎樣圍面積最大”，設計了層層遞進的素材鏈：①王叔叔用12個1米長的柵欄在空地上圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？②王叔叔用12 個1 米長的柵欄圍一個一面靠墻的長方形花圃，怎樣圍面積最大？③如果花圃兩面靠墻呢？學生要想成功解決這些問題，必須在不斷變化的任務情境中推理驗證，最終得出一般化的結論。

3.思考力

在“做數學”的過程中，學生應探索和理解數學觀念、過程和關系的本質，以深入知識內核進行深度學習，其重點在于學生應具備獨立或者在適當的指導下找到內隱的數學結構的能力。換言之，“做數學”素材，應彰顯數學本質、內蘊思考力，促進學生積極思考。因此，教師要加工好適合學生開展“做數學”的學習素材，這既能幫助學生獲得對知識的深刻認識，掌握處理新材料、新問題、新情境的方法，又能讓學生感受到自我知識的局限性，隨著一波三折具有反轉活動的徑深，進入良性的學習循環。

例如，圍繞“10 以內數的分與合”內容，筆者開發了“玩轉三角數圖”活動，將三角數圖作為素材，讓學生思考“如何把圓片合理地擺在三角數圖中？”，并設計了任務串：①規則是什么；②動手擺一擺；③說說你的秘訣。當學生能熟練地在三角數圖中擺放圓片后（三角數圖及擺放如圖1-1），教師提供了如圖1-2 所示的素材，讓學生思考“為什么剛才發現的規律不適用了？”，隨著學習的深入，學生逐漸能夠探尋到規則的缺陷，并意識到這與素材本身提供的3 個數的奇偶性有關，為培養其理性精神奠定了基礎。

圖1-1

圖1-2

三、小學“做數學”素材的開發路徑

“做數學”素材的開發是通過將素材所承載的數學知識、數學方法、數學意識和數學情感等元素進行整合，把現成的數學學習資源轉化為動態的、適合學生建構數學知識體系的學習內容。

1.對教材“動手做”欄目的再組織

（1）欄目分析

“動手做”欄目是蘇教版小學數學教材中的特色內容，通常出現在單元結束后，是與單元內容配套的，全套小學數學教材共安排了37 個“動手做”欄目，包含數據收集、方案設計、定期觀察、動手制作、實驗操作、數學游戲等。“動手做”欄目中的活動，具有較強的操作性和實踐性，有助于學生在觀察、操作、實驗的過程中感受數學學習的樂趣，增強實踐意識和動手能力；具有較強的探索性和啟發性，有助于學生在“做數學”的過程中發現和提出問題，感悟數學的豐富內涵。

然而，有時這個欄目的教學僅止于學生文本閱讀層面，雖然學生對這部分內容很感興趣，但缺乏教師的有效指導和學生之間的互動交流。因此，在研讀教材的過程中，教師應聯系單元整體內容以領會教材編寫意圖，對教學內容進行合理組織、適度拓展。

（2）欄目使用

深挖素材內涵。教材就像一根杠桿，教師對待教材的態度以及研讀開發教材的能力就是杠桿的支點，“支點”離學生越近，教師在教學活動中付出的價值就越高。因此，教師要理解教材的深層意義，充分挖掘教材的數學內涵，從而更好地引導學生掌握知識、發展能力。

適度改造素材。根據學生情況和教學需求，教師需要對教材所提供的素材進行有選擇、有目的地取舍、開發和利用。具體地說，就是從整合、拓展和結構化的視角對素材進行重組和補充，對知識脈絡進行聯結和延伸，對學習內容進行梳理和重構。

創新素材使用。教師要對素材實施動態層面的創新加工，以引導學生通過“做數學”的方式參與到數學活動中，使素材本身成為展現數學知識形成過程并促進學生探究的媒介。這樣，可以拉長學生的探究過程，讓學生更易掌握知識。

例如，蘇教版教材四年級下冊有一則“動手做”，把一幅圖平均分成4 份后打亂，要求學生經過若干次平移和旋轉，把圖案恢復成原本的樣子。

以此素材為基礎，教師可以選擇冬奧會吉祥物為素材，開發“冰墩墩還原記”一課。教師引導學生回顧平移和旋轉的要素之后，設計闖關活動。第一關：將打亂的冰墩墩圖片還原。引導學生比較不同的還原方法，讓學生初步學會用數學語言記錄還原的步驟。第二關：將一分為二的冰墩墩圖片還原。教師鼓勵學生尋找最少的還原步驟以及思考這樣做的道理。第三關：獨立還原一分為四的圖片，先想象、再驗證，記錄操作的步驟。完成以上三個活動，學生不僅需要不斷嘗試與調整、比較與優化，還需要想象與推理。

2.由例到類對習題深度挖掘

深入思考是“做數學”的關鍵屬性，它將“做數學”與淺顯的實踐操作相區分，這就帶來了開發素材的另一視角，即教師可以聚焦某個習題進行深入探討，科學、合理、有序地組織學生開展探究活動。具體來說，教師可以運用情境背后的線索，改變習題的條件或結論，以“做數學”為載體將其轉化為開放性的探究素材，引導學生形成“繼續思考下去”的數學思維方式，促進學生對知識之間關聯性理解。通過聯想、類比、推廣、演變，學生可以在數學學科的學習中建立獨特的發現問題方式和思考路徑。

例如，認識完“千以內的數”，學生遇到一道思考題：“在計數器上表示212 要用5 顆算珠，那么用5 顆算珠還可以表示哪些三位數？”為了引導學生探討用若干顆算珠在計數器上表示三位數的問題，筆者以“用若干顆算珠在計數器上表示三位數，有多少種方法”為問題引領，開發了“神奇的組數問題”一課。

簡單探索后，有學生提出了“算珠越多，算珠能表示的三位數的個數越多”，馬上有學生反駁“用27 顆算珠時，只有1 種方法，即每個數位上都有9顆算珠，只能表示999”，這一觀點引發了熱烈討論，在新的探究中，有的學生驗證了用25 顆算珠、26 顆算珠的情況，覺察“隨著用的算珠變多，組成的三位數的個數可能先變多再多少”，并猜想1～27的中間數14 是一個反轉數。為了確認這一想法，學生合作列舉出所有的數據。仔細觀察這些數據，學生發現，用1～14 顆算珠表示時，算珠越多，算珠能表示的三位數的個數越多，從14 顆算珠開始，算珠越多，算珠能表示的三位數的個數越少。

由教材問題延伸的“做數學”，過程為“自主感悟—萌生猜想—分析驗證—修正猜想—成功體驗”。在這個過程中，學生積極猜想，意識到驗證猜想的重要性，并在驗證中完善與修正猜想。

總的來說，開發“做數學”素材必須以基礎性課程的目標和要求為基礎，其目標是發展學生的核心素養，其課程內容是對基礎性課程的延伸、補充、拓展和整合。要有效開發“做數學”素材，還需廣大教師繼續探索和創新。