在“做數學”中培養學生的空間觀念
——以“體與面的碰撞”教學為例

江蘇南京市建鄴實驗小學分校 （214421） 饒正凱

一、開發背景

1.教材分析

空間觀念是《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中數學學科核心素養之一，主要是指一個人對物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。空間觀念是主體自身通過大腦思維而產生的一種空間想象力，其中，空間想象起著至關重要的作用。

相應地，蘇教版教材安排的“觀察物體”的內容，重點是引導學生從不同角度、不同方向觀察活動，更加透徹地理解物體的特征，初步感受二維圖形與三維物體的相互轉化，進而培養學生初步的空間觀念，為進一步認識圖形、解決相關實際問題提供支持。

蘇教版教材將“觀察物體”內容分兩次編排。

第一次，“觀察物體”內容出現在二年級上冊，側重引導學生從不同角度觀察日常生活中的場景或實物，讓學生初步學會辨認從不同角度觀察到的場景圖片或實物圖片。

第二次，“觀察物體”內容出現在四年級上冊，側重引導學生從前面、側面、上面觀察一些簡單的幾何圖形，初步感受三維物體與三視圖之間的轉換。值得一提的是，教材安排了三道例題之后，在單元末尾還安排了一次“動手做”活動，要求學生根據給出的三視圖用5 個同樣大的正方體擺出相應的立體圖形，側重引導學生從不同角度體會三維物體與二維圖形的轉換。

這有助于學生逐步掌握觀察方法、積累觀察經驗，學會辨認從不同方向看到的圖形。教材的編排由易到難、由具體到抽象，符合學生的認知規律。關于“觀察物體”的例題基本內容見表1。

表1 “觀察物體”的例題基本內容

2.學情分析

在學習有關“觀察物體”的知識后，學生本應該可以依據物體的形狀、大小及位置關系辨認從不同角度看到的物體的圖片；能通過觀察一個物體的前面、側面、上面較為全面地描述該物體的幾何特征；能辨認從不同方向看到的幾何圖形的形狀或從同一個方向看到的不同幾何圖形的形狀；能初步感知三維物體與二維圖形的轉換，體會物體與三視圖的聯系。

在日常教學中，筆者發現部分學生對三維物體與二維圖形的轉換過程難以理解。筆者認為，這是因為在平常學習的過程中，這些學生僅僅停留于觀察層面，缺乏相應的活動和思考。培養學生的空間觀念是需要堅持不懈的。在日常教學的過程中，筆者潛心研究，發現在培養學生空間觀念的過程中，直觀操作起到至關重要的作用。基于這樣的思考，筆者在平時教學過程中注重利用教材中的“動手做”欄目設計教學活動——體與面的碰撞，以發展學生的空間觀念。

二、案例透視

1.我回顧

師：圖1 是一個立體圖形，我們能從哪幾個方向觀察這個立體圖形？

生1：前面、上面、左面、右面。

師：從前面看到的圖叫主視圖，從上面看到的圖叫俯視圖，從左面看到的圖叫左視圖，從右面看到的圖叫右視圖。這是我們之前學過的知識，根據給出的立體圖形畫出它的三視圖，其實就是化立體為平面的過程（板書：立體→平面）。那我們研究這樣的立體圖形的哪些特征呢？

生2：個數、體積、表面積。

2.我還原

師：如果給你某個立體圖形的三視圖（如圖2），你能還原它原來的樣子嗎？

圖2

（四人為一組，進行小組合作，還原圖形）

師：請這位同學介紹下自己擺放的過程。

生3：我是先確定俯視圖，再根據其他兩個角度的圖進行調整得到的。

生4：我也是根據主視圖先擺放的，然后根據另外兩個圖進行調整。

師：這兩名同學都是根據一個角度的圖先擺，再根據另外兩個角度的圖進行調整。其他同學擺放的結果有沒有不一樣的呢？

生5：沒有。

師：看來根據三視圖，我們只能擺出唯一的、確定的立體圖形。

3.我探究

師：現在只給出兩個圖（如圖3），你還能還原這個立體圖形嗎？

圖3

師：剛才大家擺出的圖形肯定符合，還有沒有其他擺法？

（展示學生不同的作品，教師驗證）

師：圖還是剛才的圖，為什么立體圖形的擺放方法不唯一了呢？

生6：因為少了一個圖，所以有的地方可以多放，有的地方可以少放。

師：照這樣下去，如果只給大家一個圖呢？擺出的立體圖形會怎樣呢？

生7：會有很多種可能性。

師：欣欣找到了一個俯視圖（如圖4-1），悅悅在這幅圖的基礎上進行了加工（如圖4-2），兩者有什么區別嗎？

圖4-1

圖4-2

生8：悅悅在上面加了數字。

師：你知道這些數字代表什么嗎？標記數字的好處是什么呢？還原的圖形是唯一的嗎？這些問題都交給大家解決，開始吧！

（學生自主嘗試，教師巡視，然后展示學生不同的作品，教師驗證）

生9：其實，從標有數字的俯視圖可以知道，從前面看（如圖5-1），可以看到1+2+1+1=5（個）正方體；從右面看（如圖5-2），可以看到1+2=3（個）正方體。

圖5-1

圖5-2

師：大家根據一個角度的圖，擺出了唯一的一個立體圖形。

師：欣欣又產生了這樣的疑問——像這樣標有數字的俯視圖，可以幫助我們解決個數、體積、表面積這些問題嗎？

生10：個數只需要數就可以了。

生11：體積也只需要數就可以了。

師：為什么個數和體積只要數就可以了？

生12：都是看個數。

小結：個數和體積的本質就是研究對象中包含多少個體積單位。

師：在解決表面積的過程中你有什么困惑嗎？生13：不好確定各個面的情況是什么。

4.我思考

師：看圖6（一個立體圖形的俯視圖），大家想想這個立體圖形的表面積是多少。

圖6

學生給出兩種答案：38 平方厘米和42 平方厘米。

師：我們來還原一下立體圖形。（課件演示）

5.我總結

師：回顧今天的學習，我們經歷了哪些過程呢？在這些過程中你獲得了哪些體驗？

生14：今天我們研究的過程很豐富，從探究立體圖形的三個過程（如圖7），明白了只需知道一個標有數字的俯視圖就可以還原立體圖形。

圖7

三、設計意圖

1.矛盾初現，引發思維轉折

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾認為，數學教學方法的核心是學生的“再創造”，讓學生在現實活動中通過自己的實踐和思考去創造，去獲取數學知識。在本課的開始，通過經歷根據三視圖、兩個圖和一個圖還原立體圖形的過程，學生理解了如果只有一個角度的圖是無法將立體圖形還原的，但教師將教材中常見的俯視圖與特殊的“標有數字的俯視圖”同屏展示，引發學生思考兩者之間的區別，產生了思維的轉折。有了這樣的初始矛盾引發的思考，學生的思維出現了拐點，即只提供一個角度的圖，的確可以將立體圖形進行還原，但前提是“標有數字的俯視圖”。另外，學生將“標有數字的俯視圖”和立體圖形的三維結構之間建立對應的聯系，最后通過擺一擺，進一步體會“標有數字的俯視圖”所蘊含的深度信息，感受這樣的方式帶來的好處，為接下來的自主思考和解決問題打下基礎。

2.矛盾深化，促使思維進階

我國數學教育家張奠宙先生認為，數學中到處都是變與不變的矛盾統一，萬變不離其宗，而我們之所以研究這些變化，最終的目的是找到共同的本質特征。在學生理解了“標有數字的俯視圖”的內涵之后，讓學生用自己的方式計算立體圖形體積及表面積的大小，在對比中感受到求體積和表面積的方法不是唯一的。初步感受到使用數字俯視圖可以將平面轉化成立體，將體積問題轉化為求和問題，幫助學生完善空間圖像，切實發展空間觀念。特別是在研究立體圖形表面積問題的過程中，明確只要知道上面、前面、右面3個面的面積再乘2就能計算圖形的表面積。在該過程中教師適時追問，使學生在平面與立體之間、圖形與數字之間來回比較，經歷這樣的過程后，學生不難發現，從上面看，只要將看到的數字加起來，就得出組成立體圖形的小正方體的總個數，而從右面和前面看，不僅要明確方向，還要對數字進行比較，這一列（行）的數字是幾，還要對從這一面看到的小正方體的個數進行考究。通過這樣深化矛盾性的認識，產生了思維的進階。

3.矛盾再現，抵達思維巔峰

我國數學家華羅庚認為，新的數學方法和概念，常常比解決數學問題更重要。在經歷了利用“標有數字的俯視圖”探究立體圖形表面積計算的過程后，學生已經能熟練運用這樣的方法進行計算，隨即拋出“標有數字的俯視圖”，這時大部分學生還是通過已有思路直接計算，計算的結果是38平方厘米，而少數學生想象出的結果是42 平方厘米，從而再次引發矛盾，到底哪個結果是對的呢？教師適時引導學生還原立體圖形，經過討論、觀察、對比不難發現，其實對于“標有數字的俯視圖”，無論是采用直接計算的方法，還是觀察已有的立體圖形的三視圖，都無法準確計算出立體圖形表面積。這與學生之前的總結又有了矛盾，在這樣的矛盾再現過程中，學生的空間想象力和空間觀念達到了巔峰。

教師要充分利用教材中的操作活動素材，精心設計教學內容和環節，以問題引領學生深入思考問題，放手讓學生動手操作，學生才能深刻理解“觀察物體”的知識，從而發展空間觀念。