從三個角度設釋機械能守恒定律

■安徽省全椒中學 王林青

機械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力學范圍內的表現形式，機械能守恒定律是指在只有重力或彈力對物體做功或者不受其他外力作用的條件下，物體的動能和勢能(包括重力勢能和彈性勢能)發生相互轉化，但機械能的總量保持不變。深刻理解機械能守恒定律的內涵，靈活應用機械能守恒定律求解動力學問題，可以從以下三個角度著手。

一、滿足機械能守恒的三種情況

1.物體系統只受重力作用，如物體做自由落體運動和各種拋體運動時，若不考慮空氣阻力，則物體的機械能守恒。

2.物體系統內的彈力做功伴隨著彈性勢能的變化，且系統內彈力做功等于系統彈性勢能的減少量，如光滑水平面上物體與輕質彈簧相互作用的過程中，只有物體動能與彈簧彈性勢能之間的相互轉化，由物體和彈簧組成的系統機械能守恒。

3.物體系統受除重力或彈力外的其他力，但其他力不做功，只有重力或系統內的彈力做功，如物體受到的合外力與物體的運動方向垂直，合外力對物體做功為零，物體的機械能守恒。

例1在以下關于機械能是否守恒的描述中，正確的是( )。

A.物體不受摩擦力作用時的機械能一定守恒

B.物體做勻速直線運動時的機械能一定守恒

C.物體做變速直線運動時的機械能不可能守恒

D.物體在只發生動能與重力勢能相互轉化的運動過程中，其機械能一定守恒

解析:物體不受摩擦力的作用，只說明不存在機械能與內能之間的轉化，不能確定是否有其他的外力做功使得物體的機械能發生變化，物體的機械能不一定守恒，選項A 錯誤。若物體在粗糙水平面上做勻速直線運動，則物體受到摩擦力作用，存在機械能與內能之間的轉化，物體的機械能不守恒，選項B錯誤。物體做自由落體運動時，物體做的是初速度為0，加速度為g的勻變速直線運動，只有重力做功，機械能守恒，選項C錯誤。若物體只發生動能與重力勢能的相互轉化，滿足機械能守恒的條件，物體的機械能一定守恒，選項D 正確。

答案:D

點評：根據機械能守恒定律的內容可知，機械能是否守恒取決于是否有除重力或系統內彈力以外的其他力做功。判斷B、C 兩選項采用的是舉反例的方法，舉反例是一種簡單有效地求解選擇題的方法，只要能夠舉出一個反例就可以確定這個選項是錯誤的。

例2某物理興趣小組在測定當地重力加速度時，將一木塊在距地面10 m 高的地方由靜止釋放，最終測得木塊以7.4 m/s2的加速度沿豎直方向下落。在木塊下落的過程中，其機械能的變化情況是( )。

A.保持不變 B.逐漸減少

C.逐漸增加 D.無法判定

解析:因為地球表面附近的重力加速度大小約為9.8 m/s2，而測得的木塊的加速度為7.4 m/s2，明顯小于重力加速度，所以木塊除受重力外，肯定還受到一個方向向上的外力的作用。這個外力對木塊做負功，使得木塊的機械能減少。

答案:B

點評：在地球表面不同位置，重力加速度的大小一般不同，但是精確的實驗結果測定地球表面附近的重力加速度的標準值為9.806 65 m/s2，在一般計算中重力加速度可以取9.8 m/s2或10 m/s2。當物體的加速度明顯偏離重力加速度的標準值時，就可以判定物體一定受到了除重力外的其他力的作用，物體的機械能不守恒。

二、判斷機械能守恒的三種方法

1.直接判斷:機械能包括動能、重力勢能和彈性勢能，判斷機械能是否守恒可以直接看物體系統的機械能總和是否變化。這種方法適用于已知物體速度變化量、位移和形變量問題的分析。

2.從做功的角度判斷:若物體系統只有重力或系統內彈力做功，雖受其他力，但其他力不做功，則機械能守恒;而比如繩子突然繃緊，物體間發生非彈性碰撞，子彈擊打木塊產生內能等情況下，機械能均不守恒。

3.從能量轉化的角度判斷:若物體系統中只有動能和勢能的相互轉化，而無機械能與其他形式的能的轉化，則機械能守恒;而比如有摩擦力作用的機械能轉化為內能，有安培力作用的機械能轉化為電能等情況下，機械能均不守恒。

例3在下列物理過程中，機械能守恒的有( )。

A.用一恒定外力拉著一個木箱豎直向上勻速提升的過程

B.汽車關閉油門后(不踩剎車)沿水平公路向前減速滑行的過程

C.“嫦娥五號”探測器沿橢圓軌道繞月球運行的過程

D.從高處豎直下落的小球落在豎直放置的彈簧上，小球壓縮彈簧的過程中，對由彈簧和小球組成的系統

解析:用一恒定外力拉著一個木箱豎直向上勻速提升的過程中，除重力做功外，還有向上的外力對木箱做正功，木箱的機械能增加，選項A 錯誤。汽車關閉油門后(不踩剎車)沿水平公路向前減速滑行的過程中，要克服摩擦阻力做功，汽車的機械能減少，選項B錯誤。“嫦娥五號”探測器沿橢圓軌道繞月球運行的過程中，只有月球對探測器的萬有引力做功，機械能守恒，選項C正確。小球從高處豎直下落壓縮彈簧的過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，由彈簧和小球(包括地球)組成的系統的機械能守恒，選項D 正確。

答案:CD

點評：功是能量轉化的量度，重力做功將引起物體重力勢能的變化，彈簧彈力做功將引起彈簧彈性勢能的變化，摩擦力做功將引起內能的變化，靜電力做功將引起電能的變化。從做功的角度判斷機械能是否守恒，需要先確定物體的受力情況，并正確選擇物體系統和運動過程。比如選項D 中，在小球壓縮彈簧的過程中，由彈簧和小球（包括地球）組成的系統的機械能是守恒的，但僅對小球或彈簧來說，其機械能是不守恒的。

例4如圖1所示，長度為L的輕繩一端固定在O點，另一端拴一質量為m的小球。將小球拉至最高點A，以水平初速度將其拋出，小球先后經過O點右上方的B點、與O點等高的C點、O點右下方的D點，以及最低點E。在下列運動過程中，小球的機械能守恒的是( )。

圖1

A.小球從最高點A運動到B點的平拋運動過程

B.小球從B點運動到D點的過程

C.小球越過C點運動到最低點E的圓周運動過程

D.小球從A點運動到最低點E的過程

解析:因為，所以在開始的一段時間內輕繩松弛，小球做平拋運動。設當輕繩繃緊時，輕繩所在直線與水平方向間的夾角為θ，則根據平拋運動規律可知，在水平方向上有Lcosθ=v0t，在豎直方向上有，解得θ=0，，即輕繩呈水平狀態時剛好繃緊。在輕繩繃緊的瞬間，小球的水平分速度立即由變為零，存在機械能損失。小球越過與O點等高的C點后以豎直分速度大小做圓周運動，輕繩的拉力與小球的運動方向垂直，不做功，小球的機械能守恒。因此在含有輕繩繃緊瞬間的過程中，小球的機械能不守恒;在平拋運動或圓周運動過程中，小球的機械能守恒。

答案:AC

點評：在輕繩繃緊的瞬間，小球沿水平方向的分速度由v0突變為零，沿豎直方向的分速度保持不變，動能減少，機械能不守恒。判斷小球在不同運動過程中的機械能是否守恒，不僅要知道在輕繩繃緊的瞬間有機械能損失，還要確定小球運動到哪個位置時輕繩繃緊。

三、機械能守恒的三種表達形式

1.守恒觀點:系統的初狀態機械能總和與末狀態機械能總和相等，表達式為Ek+Ep=Ek'+Ep'，實質上在滿足機械能守恒條件的研究過程中，不僅要求初狀態和末狀態的機械能總和相等，而應該是要求任意兩個狀態下的機械能總和都相等。

2.轉化觀點:系統的機械能守恒時，系統減少(增加)的動能等于系統增加(減少)的勢能，表達式為ΔEk=-ΔEp。

3.轉移觀點:由A、B兩部分組成的系統(系統可以分為A、B兩部分)滿足機械能守恒條件時，A部分物體機械能的增加量與B部分物體機械能的減少量相等，表達式為ΔEA增=-ΔEB減。

例5如圖2所示，一楔形木塊固定在水平地面上，其斜面的傾角θ=30°，斜面頂端固定一光滑定滑輪，一根輕繩跨過定滑輪，分別與物塊A和B連接，物塊A的質量為5m，物塊B的質量為m，開始時物塊B在外力作用下靜止于水平地面上，突然撤掉外力，使得物塊B在輕繩拉力作用下上升，物塊A沿斜面下滑。斜面足夠長，物塊A與斜面間的摩擦忽略不計，物塊B始終不與斜面體和定滑輪碰撞，空氣阻力忽略不計。若物塊A沿斜面下滑距離l時，輕繩突然斷裂，則物塊B上升的最大高度為( )。

圖2

解析:選由物塊A、B組成的系統為研究對象，在物塊A、B運動的整個過程中，只有重力做功，系統的機械能守恒。設輕繩突然斷裂的瞬間，物塊B的速度為v。

方法一:在物塊A沿斜面下滑距離l的過程中，根據機械能守恒定律表達式ΔEk=-ΔEp得，解得。輕繩斷裂后物塊B做豎直上拋運動，設物塊B能夠繼續上升的最大高度為h，根據機械能守恒定律表達式Ek+Ep=Ek'+Ep'得，解得。根據幾何關系得物塊B上升的最大高度H=h+l，解得。

方法二:在物塊A沿斜面下滑距離l的過程中，根據機械能守恒定律表達式ΔEA增=-ΔEB減得，解得。輕繩斷裂后物塊B做豎直上拋運動，設物塊B能夠繼續上升的最大高度為h，根據機械能守恒定律表達式ΔEk=-ΔEp得，解得。根據幾何關系得物塊B上升的最大高度H=h+l，解得。

答案:C

點評：在物塊A沿斜面下滑距離l的過程中，由物塊A、B組成的系統的機械能守恒；在輕繩斷裂后物塊B做豎直上拋運動的過程中，物塊B的機械能守恒。機械能守恒定律三種表達形式的本質是相同的，在滿足機械能守恒條件的前提下，合理選擇守恒觀點、轉化觀點或轉移觀點列式求解往往可以達到化繁為簡的目的。