基于隨機(jī)控制理論的一種最優(yōu)投資消費(fèi)模型

摘 要：給定一個(gè)具有兩種資產(chǎn)的市場(chǎng)，其中，一種資產(chǎn)為債券，另一種資產(chǎn)為股票。同時(shí)，假定市場(chǎng)中的利率是浮動(dòng)的、假定市場(chǎng)中具備通貨膨脹、假定投資者的目標(biāo)為資產(chǎn)效用與消費(fèi)效用的最大化，在忽略資產(chǎn)與現(xiàn)金的轉(zhuǎn)化所需的時(shí)間以及消費(fèi)所需的時(shí)間的情況下，基于隨機(jī)控制理論，通過求解一個(gè)HJB方程，得出了使投資者效用最大的最優(yōu)投資消費(fèi)模型。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)控制；浮動(dòng)利率；通貨膨脹；HJB方程；最優(yōu)投資消費(fèi)模型

隨著金融市場(chǎng)與金融衍生品的不斷發(fā)展，有關(guān)金融數(shù)學(xué)的研究越來越具有現(xiàn)實(shí)意義。在有關(guān)金融數(shù)學(xué)的研究中，最優(yōu)投資的相關(guān)問題一直是非常重要的研究方向。近年來，一些學(xué)者分別在理論層面和具體模型中做出了有價(jià)值的研究，本文在前人工作的基礎(chǔ)上，給出了更具參考意義的最優(yōu)投資消費(fèi)模型。

1 模型假設(shè)

假設(shè)投資者在［0，T］時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行投資，在任意時(shí)刻t∈［0，T］，市場(chǎng)上均有兩種資產(chǎn)，其中一種為債券，另一種資產(chǎn)為股票，t時(shí)刻債券的利率為r（t），其變化過程滿足：

dr（t）=b［μ1-r（t）］dt+σ1dW1（t）

債券在t時(shí)刻的價(jià)格為S1（t），其價(jià)格過程滿足：

dS1（t）=S1（t）r（t）dt

股票在t時(shí)刻的價(jià)格為S2（t），其價(jià)格過程滿足：

dS2（t）=S2（t）{［μ2+r（t）］dt+σ2dW2（t）}

假設(shè)投資者在t時(shí)刻擁有的資產(chǎn)為X（t），同時(shí)，為考慮通貨膨脹對(duì)于投資消費(fèi)所帶來的影響，本文引入單位商品價(jià)格K（t），其不指代某一具體商品，只體現(xiàn)貨幣購買力的變化，其價(jià)格過程滿足：

dK（t）=K（t）［μ3dt+σ3dW3（t）］

同時(shí)，本文得到投資者在t時(shí)刻擁有的資產(chǎn)的實(shí)際價(jià)值X*（t）=X（t）K（t）。

在以上模型中，b、μ1、μ2、μ3、σ1、σ2、σ3>0、W1（t）、W2（t）、W3（t）為布朗運(yùn)動(dòng)，其中，W1（t）與W2（t）的相關(guān)性為ρ12，W1（t）與W3（t）的相關(guān)性為ρ13，W2（t）與W3（t）的相關(guān)性為ρ23，即：dW1（t）dW2（t）=ρ12dt，dW1（t）dW3（t）=ρ13dt，dW2（t）dW3（t）=ρ23dt，且K（0）=1。

為簡(jiǎn)化復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)因素，本文假設(shè)資產(chǎn)與現(xiàn)金的轉(zhuǎn)化可瞬間完成，現(xiàn)金可瞬間用于消費(fèi)，資產(chǎn)連續(xù)產(chǎn)生收益，消費(fèi)連續(xù)進(jìn)行，即：總資產(chǎn)中投資某一資產(chǎn)的比例可連續(xù)變化，全部資產(chǎn)在消費(fèi)發(fā)生前可連續(xù)產(chǎn)生收益。同時(shí)，本文記投資者在t時(shí)刻投資股票的資產(chǎn)比例為π（t），投資債券的資產(chǎn)比例為1-π（t），消費(fèi)率為c（t）；記投資者的資產(chǎn)效用函數(shù)u1（x）=xpp，消費(fèi)效用函數(shù)u2（x）=xpp，其中0<p<1。

根據(jù)伊藤公式，本文給出投資者的資產(chǎn)實(shí)際價(jià)值滿足的過程：

dX*（t）=dX（t）K（t）=1K（t）dX（t）+X（t）d1K（t）+dX（t）d1K（t）

同時(shí)，本文給出投資者的資產(chǎn)滿足的過程：

dX（t）=X（t）［1-π（t）］dS1（t）S1（t）+X（t）π（t）dS2（t）S2（t）-X（t）c（t）dt

=X（t）［r（t）+π（t）μ2-c（t）］dt+X（t）π（t）σ2dW2（t）

d1K（t）可根據(jù)伊藤公式計(jì)算得出，其滿足：

d1K（t）=-1K2（t）dK（t）+1K3（t）dK（t）dK（t）

=-1K（t）［（μ3-σ23）dt+σ3dW3（t）］

結(jié)合dtdt=dW1（t）dt=dW2（t）dt=dW3（t）dt=0，投資者的資產(chǎn)實(shí)際價(jià)值滿足的過程可表示為：

dX*（t）=X*（t）［r（t）+π（t）μ2-c（t）-μ3+σ23-π（t）σ2σ3ρ23］dt

+X*（t）π（t）σ2dW2（t）-X*（t）σ3dW3（t）

投資者希望找到最優(yōu)的投資消費(fèi)比例使得自己的資產(chǎn)效用與消費(fèi)效用的總和的期望值最大，其中，資產(chǎn)效用只與T時(shí)刻的資產(chǎn)相關(guān)，消費(fèi)效用在［0，T］時(shí)間段內(nèi)產(chǎn)生，即：對(duì)于全部控制α（π（t），c（t）），投資者希望找到最優(yōu)的控制，使得該控制滿足：

maxαEu1（X*（T））+∫T0u2（X*（t）c（t））dt

2 最優(yōu)投資消費(fèi)組合的表示

根據(jù)以上描述，本文定義值函數(shù)的表達(dá)式如下：

V（t，r，x*）=maxαEu1（X*（T））+∫Ttu2（X*（s）c（s））ds|r（t）=r，X*（t）=x*

顯然可以得到：V（T，r，x*）=u1（x*）。同時(shí)，本文假設(shè)值函數(shù)二階連續(xù)可微，下面推導(dǎo)HJB方程。

將控制記為：α（π（s），c（s））=α1（π（s），c（s））s∈［t，t+h］

α2（π（s），c（s））s∈（t+h，T］

于是有：V（t，r（t），X*（t））E∫t+htu2（X*（s）c（s））ds+V（t+h，r（t+h），X*（t+h））

根據(jù)伊藤公式，可以得到：V（t+h，r（t+h），X*（t+h））=V（t，r（t），X*（t））+∫t+htVs+Vrb［μ1-r（s）］+VX*X*（s）［（r（s）+π（s）μ2-c（s）-μ3+σ23-π（s）σ2σ3ρ23）］+122Vrrσ21+122VX*X*［X*（s）］2［π2（s）σ22+σ23-2π（s）σ2σ3ρ23］+2VrX*X*（s）［π（s）σ1σ2ρ12-σ1σ3ρ13］ds+∫t+htVrσ1dW1（s）+∫t+htVX*X*（s）π（s）σ2dW2（s）-∫t+htVX*X*（s）σ3dW3（s）

簡(jiǎn)記為：V（t+h，r（t+h），X*（t+h））=V（t，r（t），X*（t））+A。令B=∫t+htVrσ1dW1（s）+∫t+htVX*X*（s）π（s）σ2dW2（s）- ∫t+htVX*X*（s）σ3dW3（s）。于是有：E［V（t+h，r（t+h），X*（t+h））］=V（t，r（t），X*（t））+E［A-B］。

結(jié)合V（t，r（t），X*（t））E∫t+htu2（X*（s）c（s））ds+V（t+h，r（t+h），X*（t+h）），可得：E∫t+htu2（X*（s）c（s））ds+A-B

SymbolcB@0

令h→0，結(jié)合r（t）=r、X*（t）=x*，可推出HJB方程：maxα{Vt+b（μ1-r）Vr+12σ21Vrr+x*［r+π（t）μ2-c（t）-μ3+σ23-π（t）σ2σ3ρ23］Vx*+12（x*）2［π2（t）σ22+σ23-2π（t）σ2σ3ρ23］Vx*x*+x*［π（t）σ1σ2ρ12-σ1σ3ρ13］Vrx*+u2［x*c（t）］}=0

根據(jù)HJB方程，對(duì)π（t）與c（t）分別使用一階條件，得：

x*（μ2-σ2σ3ρ23）Vx*+（x*）2［π（t）σ22-σ2σ3ρ23］Vx*x*+x*σ1σ2ρ12Vrx*=0

du2［x*c（t）］dc（t）-x*Vx*=0

據(jù)此，本文得到最優(yōu)π（t）與c（t）的表達(dá)式：

π（t）=（σ2σ3ρ23-μ2）Vx*+x*σ2σ3ρ23Vx*x*-σ1σ2ρ12Vrx*x*σ22Vx*x*

c（t）=V1p-1x*x*

3 最優(yōu)投資消費(fèi)組合的求解

將最優(yōu)π（t）與c（t）的表達(dá)式代入HJB方程，可將HJB方程整理為：

Vt+b（μ1-r）Vr+12σ21Vrr+12（x*）2σ23（1-ρ223）Vx*x*+x*σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）Vrx*+x*r-V1p-1x*x*-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22Vx*-

［（σ2σ3ρ23-μ2）Vx*］22σ22Vx*x*+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12Vx*Vrx*σ22Vx*x*-（σ1σ2ρ12Vrx*）22σ22Vx*x*+Vpp-1x*p=0

考慮到V（T，r，x*）=u1（x*），故本文假設(shè)HJB方程的解滿足：V（t，r，x*）=（x*）ppf（t，r）。其中，f（T，r）=1。

在此假設(shè)下，本文對(duì)V（t，r，x*）求各階偏導(dǎo)，得：

Vt=（x*）ppft? Vr=（x*）ppfr? Vx*=（x*）p-1f? Vrr=（x*）ppfrr? Vrx*=（x*）p-1fr? Vx*x*=（p-1）（x*）p-2f

將各階偏導(dǎo)代入方程整理，得：

r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）pf+ft+［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］fr+12σ21frr-σ21ρ212pf2r2（p-1）f+（1-p）fpp-1=0

為進(jìn)一步化簡(jiǎn)方程，本文做如下假設(shè)：f（t，r）=g1-p（t，r）。其中，g（T，r）=1。

在此假設(shè)下，本文對(duì)f（t，r）求各階偏導(dǎo)，得：ft=（1-p）g-pgt? fr=（1-p）g-pgr? frr=-p（1-p）g-1-pg2r+（1-p）g-pgrr

將各階偏導(dǎo)代入方程整理，得：

［r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-pg+gt+［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］gr-σ21（1-ρ212）pg2r2g+12σ21grr+1=0

本文給出結(jié)論，方程的解滿足：g（t，r）=∫Tth（s，r）ds+h（t，r）

其中，h（t，r）滿足：

［r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-ph+ht+［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］hr-σ21（1-ρ212）ph2r2h+12σ21hrr=0

且h（T，r）=1。下面證明該結(jié)論：

定義算子τ，滿足：

τg=［b（μ1-r）+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］gr-σ21（1-ρ212）pg2r2g+［r-μ3+σ23-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-pg+12σ21grr

于是得到：gt（t，r）+τg（t，r）+1=0。將τ作用于g（t，r）=∫Tth（s，r）ds+h（t，r），可得：τg（t，r）=∫Ttτh（s，r）ds+τh（t，r）

同時(shí)，在g（t，r）=∫Tth（s，r）ds+h（t，r）兩側(cè)關(guān)于t求偏導(dǎo)，可得：

gt（t，r）=-h（t，r）+ht（t，r）=-h（T，r）+∫Ttht（s，r）ds+ht（t，r）

將以上三式結(jié)合，可以得到：

gt（t，r）+τg（t，r）+1=-h（T，r）+∫Ttht（s，r）ds+ht（t，r）+∫Ttτh（s，r）ds+τh（t，r）+1=0

記C（t，r）=τh（t，r）+ht（t，r），結(jié)合h（T，r）=1，可得：∫TtC（s，r）ds+C（t，r）=0

顯然可以得到：C（T，r）=0。將∫TtC（s，r）ds+C（t，r）=0兩側(cè)對(duì)t求偏導(dǎo)，可得：Ct（t，r）-C（t，r）=0。

解得：C（t，r）=D（r）et。結(jié)合C（T，r）=0，可得：D（r）=0，即：C（t，r）=0，故結(jié)論得證。

本文在此處對(duì)方程進(jìn)行最后一次化簡(jiǎn)，假設(shè)：h（t，r）=exp［P（t）+Q（t）r］，其中，P（T）=Q（T）=0。

在此假設(shè)下，本文對(duì)h（t，r）求各階偏導(dǎo)，得：

ht=［P′（t）+Q′（t）r］exp［P（t）+Q（t）r］

hr=Q（t）exp［P（t）+Q（t）r］

hrr=Q2（t）exp［P（t）+Q（t）r］

將各階偏導(dǎo)代入方程整理，得：

r［Q′（t）-bQ（t）+p1-p］+［bμ1+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］Q（t）+［σ23-μ3-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-p+σ21［1-（1-ρ212）p］2Q2（t）+P′（t）=0

由于方程對(duì)任意r成立，故方程的解滿足：Q′（t）-bQ（t）+p1-p=0

P′（t）+［bμ1+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］Q（t）+［σ23-μ3-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）-（σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-p+σ21［1-（1-ρ212）p］2Q2（t）=0

結(jié)合P（T）=Q（T）=0，分別求解以上兩個(gè)方程，可得：Q（t）=p［1-eb（t-T）］b（1-p）

P（t）=∫Tt{［bμ1+σ1σ3（ρ12ρ23-ρ13）p+（σ2σ3ρ23-μ2）σ1σ2ρ12pσ22（p-1）］Q（s）+［σ23-μ3-（σ2σ3ρ23-μ2）σ2σ3ρ23σ22+12σ23（1-ρ223）（p-1）- （σ2σ3ρ23-μ2）22σ22（p-1）］p1-p+σ21［1-（1-ρ212）p］2Q2（s）}ds

將求得的解依次代入π（t）與c（t）的表達(dá)式，即可得到最優(yōu)投資消費(fèi)組合的解析解。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：張洪天（1999— ），男，漢族，山東人，研究生，研究方向：金融數(shù)學(xué)。