基于JADE-斜投影的魯棒波束形成算法

程永杰, 李 純, 劉 帥, 金 銘

(哈爾濱工業大學(威海)信息科學與工程學院, 山東 威海 264209)

0 引 言

自適應波束形成技術作為陣列信號處理的重要分支,被廣泛應用于雷達[1]、聲吶[2]以及移動通信[3]等領域。隨著應用場景的復雜化,導向矢量失配問題使得波束形成算法性能大幅下降,不確定集算法圍繞導向矢量失配校正問題進行研究,主要包括基于協方差矩陣擬合思想提出的魯棒Capon波束形成[4]算法,該算法通過構建導向矢量失配集合,采用尋優方法修正導向矢量失配誤差,并始終保障期望信號無失真響應;最差情況最優化算法是不斷優化導向矢量失配誤差對應不確定集中的最差情況[5],即使得期望信號失配誤差在達到上界時,波束輸出也能保持較高水平。然而,這些算法忽視了期望信號成分的影響,即使在期望信號先驗信息已知時,算法性能也不能接近最優。矩陣重構類魯棒算法[6-12]因解決了高信噪比條件下的信號“自消”問題,魯棒性顯著提升,被眾多學者廣泛關注。雖然該算法在角度誤差、隨機誤差等非理想環境下具有較好的魯棒性,性能接近最優,但該類算法通常需要精確已知陣列結構的先驗信息。而在實際環境中,由于天線單元間增益及相位不一致,接收通道增益、相位延遲的影響不一致,陣列流形與真實值失配,易對波束形成算法性能帶來損失。針對陣列幅相誤差校正問題,學者們提出眾多算法,可大致分為有源校正和自校正方法兩類。有源校正算法[13-15]的思想是通過在微波暗室中放置輔助信源,通過對采集數據進行處理得到誤差參數,無需估計信號源方位,運算量小,但這類算法通常需要精確已知校正源信息。若校正源信息出現偏差,校正效果會受到影響,同時在實際應用中使用成本較高;自校正算法的思想是設計含空間信源方位與幅相誤差的優化函數,通過優化算法在線完成誤差參數的估計,算法校正精度高,研究價值較高。

自校正算法一般分為以下研究方向:一類是用子空間正交原理構建代價函數,實現誤差參數和信源方位的迭代估計,進而實現參數估計;另一類是利用最大似然原理構建含誤差參數和信源方位的代價函數,通過多維尋優實現誤差參數和信源方位的估計。Friedlander等[16]提出的自校正方法是第一類校正方法的代表,該方法基于特征結構和幅相誤差完成信源方位估計,需要求解高維非線性優化問題,收斂速度慢且無法保證收斂性,并且該方法在均勻線陣條件下存在誤差校正的模糊性[17]。Wylie等[18]提出利用信號協方差矩陣的Toeplitz特性估計幅度誤差,結合最小均方差(least mean square, LMS)-Newton法迭代估計相位誤差,但該方法只適用于校正小誤差,需要設置初值,且計算復雜度較高。為了降低相位誤差估計的計算復雜度,文獻[19]利用協方差矩陣的Toeplitz特性,結合相鄰對角線元素的分布特點,同時約束誤差參數范數,來實現誤差的估計,但估計精度有待提升。文獻[20]通過修復具有Toeplitz特性的信號協方差矩陣,簡單快速地估計幅度和相位誤差,其相位誤差估計精度有限。文獻[21]提出了一種幅度相位誤差的非迭代盲標定算法,所提算法利用混合矩陣構建空間譜,首先估計出信源方位,其次利用混合矩陣的組成特點得出幅度、相位誤差的估計結果,計算效率有待提升。第二類算法一般基于最大似然準則,利用信號與噪聲空間的正交性,構造幅相誤差與信源方位結合的優化函數[22],同時完成估計誤差和信源方位。文獻[23]利用陣列協方差矩陣的特征分解與最大似然思想,實現信源方位與相位誤差參數集的解耦,但該算法在均勻線陣下會出現相位誤差估計模糊問題,此外對信號的相關性敏感,計算復雜度較高。文獻[24-27]利用最大似然與子空間擬合原理構造多維非線性代價函數實現對誤差的精確估計,這些算法不受誤差類型的影響,但計算復雜度較高。

綜上可知,已有研究成果在幅相誤差校正方面取得了較大進展,但在精度和多維優化函數收斂方面還有改進的空間。本文針對幅相誤差條件下的魯棒波束形成算法開展研究,提出了基于盲源分離-斜投影聯合的矩陣重構魯棒波束形成算法,實現了對陣列幅相誤差參數的精確估計。該算法利用盲源分離[28-29]得到的信號和混合矩陣,構建新的信號協方差矩陣,并結合其分布特點完成對幅相誤差的估計;其次,利用混合矩陣與期望信號入射角度得到精確的期望信號導向矢量;然后利用斜投影思想,構建各干擾的斜投影算子,將陣列數據投影到各干擾的斜投影空間,剔除期望信號和其他的干擾信號,通過陣列信號對多個干擾斜投影空間的依次投影,實現各干擾信號的重建,進而完成干擾加噪聲協方差矩陣的重構。仿真結果表明,所提算法可精確估計陣列幅相誤差,改善了矩陣重構類波束形成算法對陣列幅相誤差的魯棒性,具有較高的工程應用價值。

1 幅相誤差數學模型

假設有Q個遠場窄帶信號入射到間距為d/2的由M個陣元構成的均勻線陣上,t時刻陣列接收到的快拍數為

(1)

Γ=diag[r1,r2,…,rM],ri=ρiejφi

(2)

式中:ρi、φi分別為第i個通道的幅度、相位誤差。設置第1個陣元為參考陣元,有ρ1=1,φ1=0。

2 算法原理

2.1 混合矩陣估計

特征矩陣聯合近似對角化[29](joint approximate diagonalization of eigen-matrices, JADE)算法是獨立成分分析(independent component analysis, ICA)技術中的一個重要方法,該算法運算簡單、收斂快且分離效果好?？紤]干擾加噪聲協方差矩陣算法對陣列結構的先驗信息的敏感性,本節采用上述算法對存在陣列校正誤差條件下的接收信號進行處理,旨在實現波束形成算法魯棒性的提升。

定義混合矩陣B為幅相誤差條件下的陣列流形矩陣:

B=ΓA=[b(θ0),b(θ1),…,b(θQ)]=

Γ[a(θ0),a(θ1),…,a(θQ)]

(3)

利用JADE算法將接收信號和混合矩陣分離為

(4)

2.2 幅相誤差估計

(5)

(6)

得到期望信號的序號后,剩余序號即對應干擾。

此處以第i個干擾信號為例,給出幅度誤差和相位誤差的求解過程,第i個干擾協方差矩陣可以構建為

(7)

(8)

(9)

φj-2φj+1+φj+2,j=1,2,…,M-2

(10)

那么有:

CΨ=V

(11)

其中,

(12)

式(11)中含有M-2個方程和M-1個未知數,為欠定方程,添加最小二范數約束條件,利用最小二乘法進行求解可得相位誤差估計為

Ψ=CH(CCH)-1V

(13)

2.3 基于JADE-斜投影的協方差矩陣重構魯棒波束形成算法

陣重構類波束形成算法通常對陣列結構的先驗信息要求較高,在幅相誤差未知的情況下,波束形成算法的性能急劇下降。針對該問題,本文在利用JADE完成陣列幅相誤差估計的基礎上,結合斜投影方法完成對期望信號的濾除,構建精確的干擾加噪聲協方差矩陣。

斜投影算子與正交投影算子同樣具有抑制“干擾”的特點,但對投影對象和被投影對象無要求,可在小陣元條件下實現信號正交性的加強,即擺脫信號導向矢量之間“近似正交性”受陣元數的影響?？衫闷錁嫿ㄍ队熬仃囈种频羲胁幌胍男盘柗至砍煞?從而構建只包含某個信號協方差的矩陣。因此,本文引入斜投影算子實現對干擾加噪聲協方差矩陣的重構,利用斜投影直接對數據進行處理,構建精確的干擾加噪聲協方差矩陣。

由第2.2節可得校正后的陣列流形矩陣為

(14)

結合式(6),可得到期望信號導向矢量,記為

(15)

在得到各個信號的導向矢量后,可利用斜投影思想構建斜投影算子。以第q個干擾信號為例,其斜投影算子構建的過程如下。

構造不含第q個干擾信號導向矢量a(θq)的陣列流形矩陣Aq-:

(16)

2.1.1 創建漁網 創建漁網工具(Create Fishnet)又名創建規則網格要素類工具，用來創建指定格子大小、行數、列數的要素類[5]。

(17)

(18)

從式(18)可以看出,可以通過斜投影得到干擾信號協方差矩陣,有:

(19)

此時,數據經過斜投影處理后,只包含第q個干擾信號的信息,重復上述步驟,依次構建每個干擾的斜投影算子,即可完成干擾加噪聲協方差矩陣的重構:

(20)

(21)

(22)

綜上,本文所提算法的實現步驟如算法1所示。

算法 1 算法實現步驟步驟 1 利用JADE算法對混合矩陣進行估計;步驟 2 利用新構建的協方差矩陣F^i,結合式(9)和式(13)對幅相誤差進行估計;步驟 3 利用斜投影算子Δa^q|Aq-構建干擾協方差矩陣R^i,如式(19)所示;步驟 4 利用式(15)和式(20),由式(22)計算得到權矢量wIPNCM-obprojection。

3 仿真實驗

仿真選取均勻線陣自校正(self-calibration of linear equi-spaced array, SCLES)方法[18]、改進的均勻線陣快速自校正(improved fast self-calibration of linear equi-spaced array, IMFASTLES)方法[19]以及盲信號分離校正(calibration blind signal separation, CBSS)[21],與所提方法進行對比,考察分析算法誤差精度的性能。

選取基于二次約束二次規劃的干擾加噪聲協方差矩陣重構(interference-plus-noise to covariance matrix-quadratically constrained quadratic program, IPNCM-qcqp)[6]、基于相關的IPNCM(IPNCM-correlation, IPNCM-cor)[31]、基于子空間的IPNCM(IPNCM-subspace)[32]、基于正交性的IPNCM(IPNCM-ortho)[33]以及最優性能,進行對比分析,考察算法魯棒性等方面的性能。其中,IPNCM-qcqp、IPNCM-ortho的扇區采樣間隔為0.1°,IPNCM-subspace的扇區采樣間隔為0.5°,IPNCM-cor的扇區采樣間隔為1°。

3.1 幅相誤差估計精度對比

本節采用均方根誤差(root mean square error, RMSE)對精度進行定量分析,表達式為

(23)

式中:N=500為蒙特卡羅實驗次數。

本次實驗中,每個陣元的幅度誤差服從N(1,(0.1)2),相位誤差服從N(0,(0.025π)2)。

幅相誤差估計精度:本實驗主要考察SNR對幅相誤差估計精度的影響,算法性能對比如圖1所示。

圖1 幅相誤差估計性能對比Fig.1 Performance comparison of ampltitude and phase error estimation

分析圖1(a)可知,在SNR<0 dB時,所提算法相比對比方法,幅度誤差估計精度較低,因為盲源分離技術受SNR影響較大,在SNR較低時,分離效果較差,而在SNR較高時,本文算法估計性能良好。分析圖1(b)可知,所提算法在SNR>-5 dB時估計精度良好,相比已有算法,具有更優的性能。

3.2 魯棒性驗證

(1) 幅相誤差條件同第3.1節實驗,改變SNR,取-10～30 dB,觀察陣列幅相誤差時算法輸出信干噪比(signal-to interference plus noise ratio, SINR) 與輸入SNR的關系,仿真結果如圖2所示。

圖2 幅相誤差下性能對比Fig.2 Performance comparison at amplitude and phase error

分析圖2可知,算法IPNCM-cor在一定SNR范圍內對幅相誤差不敏感,但隨著SNR的提升,在接近最優時,受到信號的“色散效應”的影響,輸出SINR急劇下降;所提算法通過盲源分離技術分離混合矩陣與信號,通過信號協方差矩陣的分布特點,精確估計了幅度誤差與相位誤差,分離了混合矩陣中誤差項與導向矢量項,相比已有矩陣重構算法提升了算法的魯棒性。

(2) 位置誤差:位置誤差矩陣一般表示為Γ=diag(e-j2πΔd1sin θ/λ,…,e-j2πΔdMsin θ/λ),其中Δdm(m=1,2,…,M)之間相互獨立且服從[-0.1,0.1]的均勻分布。誤差在單次實驗內保持不變,在每次實驗中重新生成。改變SNR,取-10～30 dB,觀察陣列位置誤差時算法輸出SINR與輸入SNR的關系,仿真結果如圖3所示。

圖3 位置誤差下性能對比Fig.3 Performance comparison at location error

分析圖3可知,由于矩陣重構類算法對陣列結構先驗信息要求較高,因此在陣列誤差條件下矩陣重構類算法魯棒性有待提高,本文所提算法在此誤差條件下相比其他重構類算法,與理想性能相近但仍存在一定差距,輸出SINR始終與最優值相差約15 dB,魯棒性仍有提升的空間。

4 結束語

本文提出了幅相誤差校正-矩陣重構的魯棒波束形成算法。算法首先利用JADE算法實現了對陣列信號中混合矩陣和信號包絡的分離;然后基于盲源分離結果構造信號協方差矩陣,并在此基礎上實現了對陣列幅相誤差的精確估計;最后,構建各干擾的斜投影算法,并將陣列數據分別投影到各干擾斜投影算子上,完成了干擾加噪聲協方差矩陣重構。仿真結果表明,本文算法相比已有幅相誤差校正類算法具有較高的估計精度;所提基于斜投影的矩陣重構方法與已有算法相比,在幅相誤差條件下,均具有良好的性能及較強的魯棒性;在陣元位置誤差條件下,本文方法的魯棒性不強。此外,當存在陣列導向矢量隨機誤差、相干誤差、耦合誤差時,所提算法的性能存在一定不足,性能仍有較大的提升空間,這也是后續的研究工作之一。