低快拍下混合信號DOA快速估計算法

姚 震, 楊 闖, 紀曉東

(北京郵電大學網絡與交換技術國家重點實驗室, 北京 100876)

0 引 言

信號波達角(direction of arrival, DOA)的精準估計是陣列信號處理的核心關鍵技術之一[1],在雷達、探測、移動定位等領域不可或缺[2-5]。快速的信號DOA估計有助于在電子戰中對對方目標進行定位及追蹤,同時在民用領域中的無線電監測、移動通信等分支領域中有著重要應用價值。

在實際環境中,信號通常以非相干信號和相干信號混合形式存在。信號的相干性致使傳統空間譜估計算法產生秩虧損[6],使得相干信號DOA難以估計[7]。在近代空間譜估計研究中,針對相干信號DOA估計的主要方法是恢復協方差矩陣的秩損失,其中較為經典的方式是結合空間平滑算法補償損失的秩[8],將陣列分為多個互相重疊的子陣列,然后對這些子陣列輸出的協方差矩陣進行均值計算預處理,以形成恢復滿秩的協方差矩陣。在此方法基礎上,很多改進算法面向具體陣列及場景條件演變而來[9]。

文獻[10]針對時-空欠采樣下入射信號的頻率和DOA估計問題,提出基于譜校正和中國余數定理的聯合估計算法,無需對源信號進行多次欠采樣,耗時更短,更適用于快速時變目標的估計,且該算法在低信噪比(signal to noise ratio, SNR)情況下亦可實現很高的成功檢測率。文獻[11]基于最大似然估計,設計了一種新型檢測架構,基于似然比的決策規則對空間相干信號進行估計,在相同條件下具有更好的估計精度。文獻[12]將時間反轉(time reversal, TR)技術和信號子空間方法結合,采用TR算法分析多徑效應,提高SNR,使用信號子空間算法將信號壓縮到預定義的子空間中,實現了對空間相干信號的估計,相比于傳統算法具有更高的精度及更好的魯棒性。文獻[13]針對多媒體應用中的寬帶信號,提出了一種基于最大似然估計的多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)子空間估計方法,針對高SNR情況,與傳統估計算法相比具有更好的性能。文獻[14]基于前向部分和后向部分托普利茲矩陣重構,改進了旋轉不變子空間算法,利用樣本協方差矩陣的半行重構數據矩陣來克服相干信號間的相位差。與類旋轉不變子空間方法相比,在估計精度和估計分辨率方面具有更好的性能。然而,上述算法均基于空間譜理論對信號DOA進行估計,需要大量快拍支持,時間復雜度要求較高,在移動目標定位等實際場景中并不適用[15-18]。

21世紀提出的壓縮感知理論可以解決低快拍下的DOA估計難題。基于壓縮感知理論,結合稀疏重構算法,可以實現在低快拍條件下信號DOA的有效估計[19]。稀疏重構算法利用信號在空域的稀疏特性,對其信號進行重構,適用于低SNR、低快拍條件下的信號DOA估計。近年來,許多學者基于此類算法進行了進一步的研究。文獻[20]使用兩個陣元間距不同的均勻線陣,提出一種基于正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)算法的DOA估計方案,與傳統OMP估計算法相比,針對相鄰信號源具有更高的識別度并解決了相位模糊問題。文獻[21]提出了一種基于聚焦的寬帶離網源DOA估計方法。該方法的計算復雜度顯著降低,接近于求解單個基于頻率的測向問題。文獻[22]提出了一種新的確定性和貝葉斯方法來識別相干多徑信號的到達方向,利用相干信號傳播的稀疏性和底層結構將相干多徑信號的DOA估計問題表述為一個雙凸優化問題,然后用交替凸搜索方法求解,提高了算法的魯棒性。文獻[23]假定目標源相對于接收機陣列位于離網位置。利用OMP算法[24]對稀疏樣本重建,可以準確地估計信源的離網DOA。然而,傳統稀疏重構算法對信號DOA估計的精度受限于初始觀測矩陣誤差,當初始觀測矩陣誤差較大時,對信號DOA估計的效果較差[25]。同時,傳統的基于時域信號稀疏重構的算法受限于接收信號維度,需要多次迭代重構,耗費大量時間[26]。

為了解決以上問題,本文提出一種新型估計算法,耦合空間差分矩陣技術[27]與稀疏重構算法,利用空間差分矩陣將接收混合信號中的非相干信號和部分噪聲信息濾除,得到僅含有效相干信號信息的空間差分矩陣,之后對空間差分矩陣特征分解,將特征值與特征向量加權獲得新的觀測矩陣。再對完備字典進行前后空間平滑處理,使其適應重構觀測矩陣的維度,利用OMP算法對所得結果重構,得到相干信號的估計角度。而對于非相干信號,則直接利用空間譜估計算法對其DOA并行估計,結合最終得到整體信號DOA的估計結果。通過仿真驗證,該算法在估計精度上高于基于空間差分矩陣的空間譜估計和傳統稀疏重構算法,并在算法計算復雜度上低于基于空間差分矩陣的空間譜估計和傳統稀疏重構算法。

1 陣列與信號模型

參考文獻[28],本文以線性均勻陣列為例進行分析,假設接收陣列為M個陣元構成的一維直線陣列,第一個陣元的位置為0,陣列中每兩個相鄰陣元的間距為d,則陣列陣元位置信息可表示為

[0,d,2d,…,(M-1)d]

若空間有方向為θ的信號被該陣列接收,則該信號在陣列的方向矢量可表示為

(1)

式中:λ表示信號的載波波長。

(2)

而每個信號的單獨導向矢量a(θ)可由式(1)得到。則此時,可得接收信號的協方差矩陣為

(3)

2 混合信號DOA估計

本節將對所提混合信號DOA估計算法的具體實施過程進行分析。

2.1 非相干信號DOA估計

首先對相干信號進行估計。式(2)表明,一組相干信號可以等效為一個非相干信號,整體信號的特征分解可表示為

(4)

由空間譜估計理論可知,信號的張成子空間可由導向矢量表示,且信號的張成子空間與噪聲張成子空間正交。即信號的導向矢量與噪聲子空間正交,所以可得

f(θ)=|aH(θ)Un|2=0,θ=θi,i=1,2,…,Q

(5)

每組相干信號的影響不能等同于一個等效虛擬信號,所以相干信號不能與非相干信號混淆。由此,對空間所有角度進行峰值搜索,符合式(5)的角度即為非相干信號的入射角度。

2.2 相干信號DOA估計

對于相干信號的估計,本文首先采用空間差分矩陣對接收信號預處理,處理過程借用前后空間平滑思想。因為信號協方差矩陣和噪聲協方差矩陣都是Toepliz矩陣,則可利用反對稱矩陣將其信息消除,得到僅含相干信號信息的協方差矩陣,濾除了非相干信號和噪聲信息的干擾[29]。具體處理過程如下:選擇子陣列數量為q,第m個子陣列的協方差矩陣為

(6)

式中:Km∈L(M-q+1)×M為選擇矩陣,具體定義為

Km=[0(M-q+1)×(m-1)I(M-q+1)0(M-q+1)×(q-m)]

(7)

此時,可以定義該接收矩陣的q階差分矩陣為

(8)

傳統的稀疏重構算法利用信號在空域的稀疏性對信號DOA進行估計,以陣元接收向量Xθ作為觀測矩陣,將空間以相同間隔劃分為Nθ個網格,則過完備字典可表示為Aθ=[a(θ1),a(θ2),…,a(θNθ)],其中a(θ)由式(1)可得。此時,可以通過完備字典對觀測矩陣進行迭代重構處理,恢復出所需的信號。但此種算法僅適用于時域信號,為了能夠從協方差矩陣中重構所需信號信息,還需對接收協方差矩陣預處理以獲得新的觀測矩陣。由文獻[30]可知,子空間張成向量對應的觀測向量可由協方差矩陣通過特征分解得到的特征值與其對應特征向量組合獲得,對式(8)中的空間差分矩陣Dq進行特征分解,可得

(9)

(10)

式中:λi和ei即為空間差分矩陣特征分解所得信號向量對應的特征值與對應的特征向量。

此時,已獲得稀疏重構估計所需的觀測矩陣,但因之前的空間差分矩陣預處理導致矩陣維度由M降低至M-q+1,因此原始的完備字典Aθ已不再適用于當前的觀測矩陣。針對此問題,引入空間平滑思想,對完備字典同樣進行空間平滑處理。與空間差分預處理時對子陣的劃分保持一致,同樣將其劃分為q個子陣列,則第m個子陣列的完備字典可表示為

(11)

式中:Km可由式(7)計算所得。則前向空間平滑后所得完備字典可由各子陣的完備字典取平均求得

(12)

同時,后向空間平滑子陣的完備字典可由前向子陣完備字典與反單位陣計算求得

(13)

式中:J為維度(M-q+1)×(M-q+1)的反單位陣。則可得整體的完備字典為

(14)

此時,初始條件都已具備,即可選用稀疏重構算法對信號進行估計。本文采用傳統貪婪算法中的OMP算法進行估計。整體思想為對每次迭代中選出的最佳原子重新組合成一個新的矩陣Ω,再由此矩陣生成重構信號s,從觀測信號中減去其在矩陣Ω上的正交投的獲得殘差項,此時殘差與已選擇的原子總是正交的,從而可通過多次迭代獲得重構信號。相干信號整體估計流程如算法1所示。此時,已獲得相干信號的DOA估計值。該算法首先通過空間差分矩陣預處理,降低初始觀測矩陣誤差,又將其轉為協方差矩陣下的估計,降低了計算復雜度。

算法 1 空間差分矩陣結合OMP估計相干信號輸入 陣列接收信號向量X,子陣列數為q,相干信號個數L,觀測完備字典Aθ輸出 重構信號s步驟 1 對接收信號時域向量做空間差分處理,代入式(8),得到預處理后的空間差分矩陣Dq,濾除無關信息,此時獲得僅包含相干信號信息的空間差分矩陣。步驟 2 對獲得的空間差分矩陣特征值分解,得到對應的特征值與特征向量,代入式(10),并對其加權獲得新觀測矩陣e。步驟 3 對已有觀測完備字典Aθ做前后空間平滑處理,代入式(14),獲得預處理后的完備字典Ar。步驟 4 初始化殘差項r0=e,所需原子支撐集Ω0=?,索引集Λ0=?,迭代次數i=1,對字典原子歸一化。步驟 5 計算當前殘差項ri-1與觀測矩陣Ar中所有原子的內積,并找到對應內積最大值時原子的索引λi=argmax。步驟 6 擴展索引集Λi=Λi-1∪{λi},同時擴展支撐集Ωi=Ωi-1∪{a(θλi)}。步驟 7 通過最小二乘法重構當前信號并更新重構信號s=(ΩTiΩi)-1ΩTie。

步驟 8 計算新的殘差值并記錄ri=e-Ωis。步驟 9 將迭代次數加1,即i=i+1,同時判斷迭代次數是否達到信號數量L,如果達到則算法結束,否則跳轉至步驟5。步驟 10 輸出重構信號s。

3 仿真結果及分析

為了驗證所提算法的估計能力,本節將對其進行仿真驗證,并與文獻[29]中結合差分(spatial difference, SD)思想的SD-MUSIC算法、OMP算法[21]進行比較。首先對不同快拍數條件下的均方根誤差(root mean square error, RMSE)和運行時間進行對比,證明所提算法在保持高精度的同時能夠滿足低運算復雜度。其次,分析不同SNR及不同陣元數情況下算法是否滿足預期。最后,以表格數據直觀分析驗證所提算法的精確性。

3.1 所提算法可行性驗證

本節采用均勻陣列進行仿真,假設陣元間距為信號波長的50%,在空間譜峰值搜索估計時將角度空間劃分為等長的361個角度,使測向精度為0.5°。同時,將稀疏重構算法中網格劃分角度精度設置為0.1°,即將空間網格劃分為1 800個網格。此時,設置初始陣元數為30,并將此30個子陣元劃分為3個子陣列,環境SNR為10 dB,快拍數為500。為了不失一般性,對空間信號入射初始角度進行隨機設置。現假設空間中存在4個非相干信號,入射角度分別為-52°、-25°、4°、36°,同時還存在3組相干信源,每組相干信源的入射角度分別為[-40°、28°]、[-11°、48°]、[12°、56°],同時設置每組相干信號的相干系數分別為[0.500+0.866i、0.223+0.975i]、[0.707+0.707i、0.309+0.951i]、[0.809+0.587i、0.766+0.643i]。此時對這些信號分別通過SD-MUSIC算法、OMP算法及本文所提算法進行仿真,均可得到準確估計值。

3.2 不同算法性能分析對比

為了驗證所提算法在低快拍條件下的性能優勢,設置入射角度隨機的4個非相干信號和3組相干信號組,其中每組相干信號組中含有2個相干信號,且設置其相干系數隨機。將初始陣元數降低至24以更適用于工程實踐,計算不同算法在低快拍條件下的RMSE,定義如下:

(15)

本次實驗以4個快拍為一個間隔,從4快拍增加至32快拍,針對相同初始條件下的接收信號進行估計并記錄不同快拍條件下不同算法執行時間的平均值。蒙特卡羅實驗次數設置為10 000,所得RMSE對比及運行時間對比如圖1和圖2所示。從圖2所示結果可以看出,對于SD-MUSIC,難以滿足在低快拍下的準確估計。而傳統OMP算法精度略低于所提算法。為滿足實際場景需要,在16快拍以下時,誤差較大,所測結果不穩定,因此對16快拍以上的情況進行分析對比,此時OMP算法估計時間遠大于所提算法,因此所提算法相比于空間差分矩陣直接估計和傳統OMP算法估計具有更好的估計性能。

圖1 24陣元、SNR為10 dB、不同快拍條件下不同算法的 DOA估計RMSE對比結果Fig.1 Comparison results of RMSE of DOA estimation of different algorithms under different snapshot conditions of 24 array elements and SNR of 10 dB

圖2 24陣元、SNR為10 dB、不同快拍條件下不同算法的 DOA估計平均運行時間對比結果Fig.2 Comparison results of the average running time of DOA estimation of different algorithms under different snapshot conditions of 24 array elements and SNR of 10 dB

為了說明本文所提算法的魯棒性,本文在不同SNR情況下同樣對不同算法的RMSE進行分析對比。仿真條件同樣選用在24陣元情況下以4個快拍為一個間隔,快拍數從4增加至32,設置4個非相干信號及3組相干信號,每組相干信號中有2個接收信號,設置非相干信號和相干信號的入射角度隨機且每組相干信號中不同信號間的相關系數隨機,并設置所有信號平均功率相同。考慮適配實際工程場景,針對SD-MUSIC與OMP算法及本文所提算法,在SNR為20 dB和0 dB時分別進行10 000次蒙特卡羅仿真實驗,所得RMSE對比結果如圖3和圖4所示。通過圖3和圖4的RMSE直觀對比可以看出,所提算法在信號估計穩定性上優于傳統OMP估計算法,更適用于實際環境(如電子戰場景下的)移動目標定位。

圖3 24陣元、SNR為20 dB、不同快拍條件下不同算法的 DOA估計RMSE對比結果Fig.3 Comparison results of the RMSE of DOA estimation of different algorithms under different snapshot conditions of 24 array elements and SNR of 20 dB

圖4 24陣元、SNR為0 dB、不同快拍條件下不同算法的 DOA估計RMSE對比結果Fig.4 Comparison results of the RMSE of DOA estimation of different algorithms under different snapshot conditions of 24 elements and SNR of 0 dB

此外,本文在24陣元、16快拍的初始條件下進行仿真實驗分析。同樣設置4個非相干信號及3組相干信號,每組相干信號中有兩個接收信號,同樣設置非相干信號和相干信號的入射角度隨機及每組相干信號中不同信號間的相關系數隨機,并設置所有信號平均功率相同。考慮實際場景的接收環境,將SNR由-5 dB開始設置,每5 dB為一間隔,增加至30 dB,仿真實驗計算不同算法的RMSE如圖5所示。通過仿真實驗結果可知,所提算法的估計性能在不同SNR下都優于SD-MUSIC算法和OMP算法。此外,為了驗證陣元數變化對算法性能的影響,本文在16快拍、SNR為10 dB的條件下對相同初始信號進行10 000次蒙特卡羅實驗。待估計信號總數量為10,為了保證不同算法能夠準確估計所有信號,將陣元數從12開始,每4個陣元數為一間隔,增加至32陣元,并記錄RMSE結果如圖6所示。如圖6所示,在24陣元后,陣元數對估計結果影響收效甚微。

圖5 24陣元、快拍數16、在不同SNR條件下不同算法的 DOA估計RMSE對比結果Fig.5 Comparison results of RMSE of DOA estimation with different algorithms under different SNR conditions with 24 array elements and 16 snapshots

圖6 SNR為10 dB、快拍數16、不同陣元條件下不同算法的 DOA估計RMSE對比結果Fig.6 RMSE comparison results of DOA estimation of different algorithms under different array element conditions with the SNR of 10 dB and 16 snapshots

最后,為了直觀地表達本文所提算法在運行耗時上的優勢,對不同算法在快拍數為10、SNR為10 dB、陣元數為24的情況下的RMSE和運行時間精準記錄在表中,如表1所示。從數據直觀對比可以看出,本文所提算法在相同初始條件下具有更優的性能。

表1 陣元數為24、快拍數為10、SNR為10 dB時不同算法性能對比

4 結 論

本文提出了一種新型復合算法對混合信號進行快速DOA估計。所提算法耦合空間差分矩陣和稀疏重構對非相干和相干信號分別進行估計,通過更新稀疏重構的完備字典集,引入空間平滑預處理以降低DOA估計時間。仿真驗證結果表明,所提算法在低快拍條件下仍可保持高精度估計性能,且時間復雜度遠小于傳統稀疏重構算法和空間差分估計算法,可以有效提升DOA估計的速度,增強目標追蹤性能。