卡爾曼濾波器異常自檢及其在SINS初始對準中的應用

郭士犖, 王春雨, 李 洋, 田 鵬

(1. 國防科技大學信息通信學院, 湖北 武漢 430019; 2. 空軍航空大學航空作戰勤務學院,吉林 長春 130022; 3. 中國人民解放軍93152部隊, 吉林 通化 135300)

0 引 言

捷聯式慣性導航系統(strapdown inertial navigation system, SINS)自主性強、隱蔽性高,是非常重要的自主式導航設備,尤其在軍用領域發揮著無可替代的作用,其導航過程就是要對慣性測量單元(inertial measurement units, IMU)的輸出進行積分推算[1-3],因此在進入正常導航狀態之前需要給定初始值,即對其進行初始對準[4-7]。初始對準是保證SINS正常工作的關鍵環節,任何初始對準誤差都會進入積分推算而造成系統誤差。此外,IMU器件的測量誤差也會在積分過程中產生累積,影響SINS的長航時導航定位精度。因此,高精度初始對準和組合導航技術成為了慣性導航技術領域的兩個重要研究方向[8-11],其共性問題是對SINS誤差的實時估計,而卡爾曼濾波(Kalman filter, KF)是解決該問題最常用的工具之一[12-15]。

KF通過外部觀測量估計出所需信號,具有實時性好、速度快、精度高等優點,其使用的前提條件是系統的狀態方程與觀測方程已知,其中前者描述的是系統的激勵與響應之間的函數關系;后者描述的是觀測量與待估計狀態量之間的函數關系。在基于KF的SINS初始對準或誤差校正問題中,基本思想都是進行姿態、速度、位置等參數的誤差估計,并利用估計結果對SINS的輸出值進行補償,在這一過程中通常需要根據SINS誤差方程建立濾波模型。針對大失準角條件下SINS誤差方程的非線性特征,學者研究了擴展KF(extended KF, EKF)[16]、無跡KF(unscented KF, UKF)[17-18]及容積KF(cubature KF, CKF)[19]等非線性濾波方法在該問題上的應用。文獻[20]利用改進的EKF和UKF方法進行初始對準,證明二者精度基本相當。文獻[21]基于SINS大失準角對準問題對UKF與CKF方法進行了對比分析,闡述了其各自的應用特點。

只有在準確建模且系統噪聲和觀測噪聲滿足高斯分布時,KF結果才是一致無偏估計。然而實際的一次濾波過程只會是隨機過程總體中的一個樣本,預設的噪聲參數會不可避免地存在偏差,而這種偏差會導致濾波精度下降甚至出現發散,針對該問題的濾波優化方法也成為了學者們的研究熱點。目前主要的優化策略有兩種,一是基于一定準則建立的自適應濾波算法,在濾波過程中實時地對系統噪聲方差陣或觀測噪聲方差陣進行修正[22-24];另一種是在濾波異常時,通過“膨脹”一步預測均方差陣,增加當前觀測信息的作用權重,實現所謂強跟蹤濾波或漸消濾波[25-28]。文獻[29]指出,在濾波進程中同時對系統噪聲和觀測噪聲參數進行自適應估計的難度很大,且引入優化策略可能對濾波穩定性和可觀性存在不利影響。因此,需要采用一定的判斷方法決定優化策略的引入時機,主要思想是利用濾波新息序列的理論統計特性判斷實際狀態的偏差情況,具體可分為協方差匹配法和卡方檢驗法。本文對上述兩種濾波異常檢驗方法進行了理論分析,結合SINS初始對準實驗,分別利用傳統KF、UKF以及CKF對兩種判據進行了對比測試,探討了檢驗判據的實際效果,并給出了應用建議。

1 KF基本方程

1.1 線性KF

KF在實現形式上是一套由數字計算機執行的快速遞推算法,在每一個周期內都包含狀態預測和量測更新兩個步驟,前者代表了歷史經驗信息,后者代表了即時的參考信息。這兩個步驟在狀態估計中的權重由濾波增益來調節。

假設一個線性離散系統,其狀態方程及觀測方程如下:

(1)

式中:xk∈Rn為狀態向量;zk∈Rn為觀測向量;Φk/k-1∈Rn×n為狀態轉移矩陣;Γk-1為系統噪聲陣;Hk∈Rm×n為觀測陣;wk與vk分別代表系統噪聲序列與觀測噪聲序列,且滿足

(2)

式中:Qk與Rk分別為系統噪聲方差陣和觀測噪聲方差陣;δkj為Kronecker-δ函數。KF遞推方程如下:

(3)

(4)

(5)

(6)

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1

(7)

1.2 UKF

UKF對非線性函數進行概率擬合,其基本工具是無跡變換(unscented transform, UT)變換。假設一個非線性系統,其狀態方程與觀測方程為

(8)

式中:f(·)為狀態函數;h(·)為觀測函數。UKF遞推過程如下。

(1) 初始化

(9)

(2) 狀態預測

(10)

(3) 量測更新

(11)

1.3 CKF

假設如式(8)的非線性系統,CKF基本方程如下。

(1) 狀態預測

(12)

第三步通過狀態方程傳遞容積點,第四步對k時刻的狀態進行預測,最后得到預測均方差陣。

(2) 量測更新

(13)

2 濾波檢驗判據

定義KF的新息序列為

εk=zk-Hkxk/k-1

(14)

理論情況下濾波器滿足正交性原理[19]:

(15)

其物理意義為,濾波誤差的方差達到最小,由于觀測量中的有效信息已經被完全提取,不同時刻的新息矢量相互正交,此時新息序列協方差的理論值為

(16)

由于噪聲參數建模不準或異常噪聲干擾等情況導致KF過程出現異常甚至發散,此時濾波器失去最優估計性能,無法完全提取觀測量中的有效信息,進而新息序列協方差會偏離其理論值,基于此可以構建第一種基于協方差匹配的異常判據(簡稱為判據1):

(17)

式中:λ為調節系數,用來決定異常判據的嚴格程度,表示實際濾波誤差已經超出理論值的λ倍。當λ=1時,為最嚴格判斷條件;tr(·)表示求跡運算。此外,還有一種基于卡方檢驗的異常判據(簡稱判據2):已知在理論情況下新息序列的統計特性符合均值為0的高斯分布,即

(18)

由此可以構造異常檢測函數γk:

(19)

則γk滿足χ2(卡方)分布[30-31],其自由度為量測的維度。可以利用χ2分布上分位點的性質來設計假設檢驗判據,例如當量測維度為3時,通過查表選取上分位點ζ=11.345,則有

P{χ2(3)>ζ}=1%

(20)

也就是說在理論情況下,γk大于ζ的概率只有1%。根據假設檢驗原理,在一個濾波周期中如果出現了γk>ζ,則在99%的置信度下可以認為該次濾波異常。下面通過一個簡單系統的KF仿真試驗說明兩種判據的有效性。假設一個四維線性系統,其狀態及觀測方程為

(21)

圖與的對比Fig.1 Comparison between and

圖2 γk概率分布與χ2(4)的對比Fig.2 Comparison between probability distribution of γkand χ2(4)

3 SINS誤差模型

相關推導可見文獻[4],此處直接給出SINS的速度與姿態誤差方程:

(22)

(23)

(24)

式中:

矩陣A的計算方法為

(25)

(26)

4 試驗驗證

基于SINS的初始對準問題,分別利用常規KF、UKF和CKF驗證兩種判據。

靜態條件下以SINS的速度輸出作為速度誤差觀測量,觀測矩陣為Hk=[I3×303×9],其他初始條件設置為

以姿態對準誤差為例,在正常濾波條件下3種濾波器均可快速收斂,得到角分級的對準精度。為了模擬異常噪聲干擾情況,針對系統噪聲和觀測噪聲的連續異常和突變異常兩種狀態,共設計以下3組試驗。

試驗 1系統噪聲連續異常,400～550 s時慣性測量元件白噪聲方差擴大100倍;

試驗 2觀測噪聲連續異常,400～550 s在速度觀測值中加入1 m/s的常值偏差及標準差為1 m/s的白噪聲;

試驗 3觀測噪聲突發異常,每隔200 s在速度觀測值中加入5 m/s的常值偏差。

為了驗證直觀展現判據的檢測能力,設計兩個判斷因子θ1和θ2,滿足

即檢測濾波正常時判斷因子為0,反之為1。設定調節因子λ=1,同時考慮三維觀測,設定ζ=11.345,即正常情況下大于ζ的概率只有1%。試驗1中,航向對準誤差以δφz表示,其與判斷因子的取值情況如圖3～圖5所示。

圖3 試驗1(KF)Fig.3 Test 1 of KF

圖4 試驗1(UKF)Fig.4 Test 1 of UKF

圖5 試驗1(CKF)Fig.5 Test 1 of CKF

圖3～圖5為第一組試驗中兩種判據的檢驗效果。在400～550 s內,判據1和判據2的異常檢出率如表1所示。

表1 試驗1的異常檢出率

顯然兩種判據對本文設置的連續系統噪聲異常均具有一定檢出能力,但判據1的檢驗嚴格程度明顯高于判據2。試驗2中3種濾波器對航向通道的估計誤差δφz與判斷因子的取值情況如圖6～圖8所示。

圖6 試驗2(KF)Fig.6 Test 2 of KF

圖7 試驗2(UKF)Fig.7 Test 2 of UKF

圖8 試驗2(CKF)Fig.8 Test 2 of CKF

圖6～圖8為第二組試驗中兩種判據的檢驗效果。在400～550 s內,兩種判據對本文設置的連續觀測噪聲異常的檢出率均為100%。試驗3中3種濾波器對航向通道的估計誤差δφz與判斷因子的取值情況如圖9～圖11所示。

圖9 試驗3(KF)Fig.9 Test 3 of KF

圖10 試驗3(UKF)Fig.10 Test 3 of UKF

圖11 試驗3(CKF)Fig.11 Test 3 of CKF

圖9～圖11為第三組試驗中兩種判據的檢驗效果。在200 s、400 s和600 s 3個時間點上,兩種判據均能檢出突發的觀測噪聲異常,并且由檢出異常的時間寬度可以看出,在嚴格程度上同樣是判據1大于判據2。綜合對比3組試驗結果可以發現,在系統噪聲異常情況下兩種判據都存在一定的漏判,這是因為觀測噪聲對新息序列的影響更加直接,因此相比系統噪聲而言,兩種判據對觀測噪聲異常的檢驗更加準確。此外,由于異常噪聲對濾波歷史狀態信息存在滯后影響,導致檢測到異常的時間寬度大于實際異常的時間寬度,因此3組試驗中都產生了一定的“拖尾”現象。

5 結 論

本文針對KF的異常檢驗問題,結合SINS初始對準的應用實例開展研究,從理論上分析了基于新息協方差匹配和基于卡方檢驗的濾波器異常檢驗判據,分別基于傳統KF、UKF和CKF設計了濾波異常判據的驗證試驗,試驗結果表明兩種判據對濾波器系統和觀測噪聲異常情況都有一定的檢驗能力,且基于新息協方差匹配的異常判據的嚴格程度比基于卡方檢驗的異常判據的嚴格程度更高,但前者的拖尾效應因此更加明顯。此外兩種判據對系統噪聲異常都存在一定漏檢情況,而對觀測噪聲異常的檢出效果更好。

通常在KF的自適應或強跟蹤等優化研究中需要引入濾波器噪聲參數的調諧操作,一方面增加了濾波算法的計算量,另一方面對最優遞推過程的漸近穩定性產生干擾。因此,基于一定判斷原則(而非無限制引入)的濾波器優化具有相當的必要性,在基于本文所述兩種判據進行的濾波優化研究中,應結合優化方法的計算量負擔并考慮其對正常濾波穩定性的干擾情況選擇適合的異常檢驗判據,使優化方法的引入時機更加合理。對比來看,基于新息馬氏距離的卡方檢驗判據存在概率約束,因此其對濾波異常的檢驗條件更加寬松。目前兩種判據都無法區分系統噪聲異常或觀測噪聲異常,即無法辨識噪聲點的異常性質,而兩種異常的優化策略通常不同,因此在下一步的研究工作中有必要研究更加靈活且具有針對性的異常定位方法。