基于動力學守恒定律的彈道目標關聯方法

曾舒雅, 饒 彬

(中山大學電子與通信工程學院, 廣東 深圳 518107)

0 引 言

彈道導彈是現代戰爭中威力極大的武器,具備射程遠、速度快、精度高、突防能力強、效費比高等優點[1]。彈道導彈的飛行包括3個階段,即助推段、中段和再入段。其中,中段是識別和攔截彈道導彈的重要階段。為了提高彈道導彈的突防能力,通常會采取多種突防措施,主要有釋放誘餌或箔條、末修艙爆炸產生碎片、有源干擾等[2]。由于彈道導彈在中段飛行期間處于距離地面幾十至上千千米的高空,大氣稀薄,空氣阻力可以被忽略,可看作只受地球引力影響,誘餌、箔條、碎片等會伴隨彈道導彈高速飛行,且數量巨大。各目標的空間分布密集,運動狀態相似,從而形成突防云團[3]。對雷達系統而言,這是典型的密集多目標環境,雷達對目標的識別和跟蹤都會因此而受到極大影響。

為了有效實現對彈道目標的防御,地面跟蹤雷達須具備較高的跟蹤精度。針對空間密集群目標的數據關聯問題,國內外有諸多研究。文獻[4]提出基于雙向互選的群目標關聯方法,改善了密集目標環境下關聯可能存在的“先占先得”的問題,防止航跡混批。文獻[5]提出基于貝葉斯框架的空間群目標關聯方法,構造群中心跟蹤的貝葉斯過程,在以群目標整體為跟蹤對象的同時兼顧個體目標的跟蹤,提高跟蹤精度。文獻[6]將彈道群目標關聯問題看作一個最優分配問題,根據目標的距離、速度、航向等特征參數建立分配矩陣并進行求解。現有方法多立足于關聯算法的改進或彈道群目標的空間特性,而未考慮彈道目標的運動學特性。

常用于目標跟蹤關聯的算法有最近鄰數據關聯(nearest neighbor data association, NNDA)算法[7]、概率數據關聯(probability data association, PDA)算法[8]、聯合PDA(joint PDA, JPDA)算法[9]、多假設跟蹤(multiple hypothesis tracking, MHT)法[10]。其中,JPDA和MHT復雜度高、計算量大,不適合實際應用。NNDA雖然計算量小,但極易產生關聯錯誤。PDA計算量較小,便于工程應用,但在目標密集的環境下,大量干擾落入關聯波門,仍然容易發生關聯錯誤的情況,從而導致航跡斷裂或混批。

針對上述情況,本文將彈道目標的運動學特性與PDA方法相結合,提出一種適用于中段彈道目標跟蹤的基于動力學守恒定律的關聯方法。中段彈道目標的動力學守恒特性包括動量矩守恒特性和機械能守恒特性。本文提出的關聯算法在使用傳統關聯門得到有效量測的基礎上,對動量矩和機械能做聯合統計檢驗以進行進一步篩選,并用動量矩和機械能對用于加權的關聯概率進行修正。通過蒙特卡羅仿真,驗證了與傳統PDA方法相比,本文提出的方法能夠取得更強的抑制干擾和雜波影響的能力,從而獲得更高的跟蹤精度。

1 中段彈道目標的動力學守恒問題

1.1 運動模型

1.1.1 實體目標

目標單位質量動量矩的計算公式為

(1)

動量矩的值為

(2)

目標單位質量機械能的計算公式為

(3)

1.1.2 有源假目標和雜波

在有源干擾中,應用最多的是有源距離欺騙干擾。有源距離欺騙干擾是指有源干擾機接收到真目標點跡后將其轉發生成假目標點跡,從而干擾探測雷達[14]。一個延時Δt后轉發的有源距離欺騙假目標的延遲距離Δr=cΔt/2,其中c為光速[15]。若真目標在以雷達站為中心的球坐標系下的位置矢量為(r,θ,φ)T,則假目標在此坐標系下的位置矢量為(r+Δr,θ,φ)T。

除實體目標和有源假目標外的其他量測被視為雜波。雜波相互獨立并服從空間均勻分布,且雜波數量服從泊松分布[16]。

文獻[17]證明,實體彈道目標滿足動力學守恒定律,而雜波和有源假目標則不滿足。因此,可以在跟蹤中利用這一特性,避免雜波和有源假目標的干擾。

1.2 坐標系轉換

1.2.1 球坐標系到ENU坐標系的轉換

球坐標系到ENU坐標系的轉換公式為

(4)

(5)

式中:

其協方差矩陣為

(6)

式中:

式中:

1.2.2 ENU坐標系到ECI坐標系的轉換

ENU坐標系到ECI坐標系的位置轉換公式[12]為

re=T[r+(0,0,ro)T]

(7)

速度轉換公式為

(8)

式中:ro為地球平均半徑;T為變換矩陣,其表達式為

其中,L和B為雷達站位置的經度和緯度。

2 基于動力學守恒定律的改進PDA方法

假設航跡起始已經完成。基于動力學守恒定律的改進PDA方法的算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Algorithm flowchart

文獻[22]指出,對弱非線性的彈道目標,擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)有較好的性能和較小的計算量。因此,以EKF為例,算法具體步驟如下:

步驟 1f為狀態方程,h為量測方程,F和H分別為f和h的雅可比矩陣。Δt為時間間隔。Q和R分別為過程噪聲協方差矩陣和量測噪聲協方差矩陣。

在k時刻,使用EKF算法得到目標的預測狀態:

(9)

預測位置為

(10)

預測協方差為

(11)

式中:

濾波增益為

(12)

式中:

步驟 2用傳統關聯門篩選出有效量測:

(13)

式中:m(k)為k時刻有效量測的個數;γ為關聯門門限。

步驟 3對每個有效量測進行無偏轉換,并求動量矩和機械能及其方差。

(1) 無偏量測轉換

則Zce的協方差矩陣Rce由下式求得:

(14)

(2) 預測速度轉換

(15)

(3) 求動量矩和機械能及其方差

使用雷達獲取的量測位置和濾波得到的預測速度計算動量矩和機械能及其方差。則由式(1),對第i個有效量測,動量矩分量可表示為

(16)

對h進行全微分,得到其3個分量的方差:

(17)

與位置之間和速度之間的協方差相比,位置與速度之間的協方差非常小,因此可近似為0。于是,式(17)可簡化為

(18)

動量矩的方差值為

(19)

由式(3),機械能由下式計算:

(20)

對E進行全微分,得到其方差:

(21)

與上述動量矩方差的計算同理,位置與速度之間的協方差可近似為0,故簡化后為

(22)

機械能的方差值為

(23)

步驟 4對所有有效量測進行動量矩和機械能的聯合統計檢驗。

(1) 估計動量矩和機械能守恒值

因為實體目標的動量矩和機械能在整個跟蹤過程中守恒,故有

(24)

(25)

(2) 建立動量矩和機械能的聯合統計檢驗模型

對動量矩建立統計檢驗量為

(26)

定義假設:

判決方法:

對機械能建立統計檢驗量為

(27)

檢驗方法與動量矩同理。

設Dh為動量矩的檢驗結果,Dh=1表示真目標點跡,Dh=0表示干擾點跡。DE為機械能的檢驗結果。綜合檢驗結果D=Dh∩DE。當且僅當D=1,即動量矩和機械能都守恒時,才認為第i個有效量測是真目標點跡并保留,否則認為其為干擾點跡并剔除。本文取α=0.001。

步驟 5計算余下量測來自被跟蹤目標的關聯概率,加權形成等效量測并更新目標狀態。

(1) 計算關聯概率

記k時刻經步驟4后余下量測的個數為n(k)。量測j為真目標點跡的概率[16]為

(28)

式中:

(29)

b=λ(1-PDPG)

(30)

j=0表示沒有正確量測;PG為正確量測落入關聯門的概率;PD為目標被檢測到的概率;λ為雜波密度。相比傳統的PDA方法,本文提出的方法利用動量矩和機械能對關聯概率作了如式(29)所示的修正。

(2) 更新目標狀態

k時刻有效量測j的新息為

(31)

則形成的等效量測的新息為

(32)

用等效量測更新目標狀態:

(33)

更新協方差:

(34)

式中:

Pc(k)=P(k|k-1)-W(k)S(k)W′(k)

k時刻目標的瞬時動量矩h(k)和機械能E(k)由更新后的狀態X(k)計算得到。

算法流程用偽代碼表示,如算法1所示。

算法 1 基于動力學守恒定律的改進PDA方法輸入 初始狀態、量測值、量測噪聲方差、過程噪聲方差1: for k=1:觀測持續時間 2: 計算預測位置3: for j=1:量測數4: if 量測j落入關聯門5: 量測j為有效量測6: else7: 剔除量測j8: end if9: end for10: 估計動量矩和機械能守恒值11: for i=1:有效量測數12: 對有效量測i進行無偏轉換13: 計算有效量測i的動量矩和機械能及方差14: 做動量矩和機械能聯合統計檢驗15: if 通過統計檢驗16: 保留有效量測i17: else18: 剔除有效量測i19: end if20: end for21: 計算余下量測的關聯概率22: 加權形成等效量測并更新目標狀態23: end for

3 仿真驗證

仿真跟蹤場景如下:假設已經完成航跡起始。真目標關機點高度為80 km,關機點速度為2 500 m/s,中段總飛行時間為370 s。雷達布站的位置為北緯1°,東經1.5°,跟蹤數據頻率為1 Hz。雷達距離量測噪聲標準差為20 m,角度量測噪聲標準差為10-4rad,過程噪聲方差取0.02 m2·s-4。每幀數據中含有一個帶噪聲的真目標量測和10個電假目標量測,延遲距離為50 m到500 m,相鄰電假目標的延遲距離均相差50 m。同時,跟蹤過程中伴有雜波,密度為10-8m-3。PDA算法中的關聯門門限為128。目標檢測概率為1,正確量測落入關聯門的概率為0.999。

圖2展示了仿真跟蹤場景。

圖2 仿真跟蹤場景Fig.2 Simulation tracking scenario

圖3為傳統PDA方法和本文方法的關聯結果對比。圖4為圖3中兩個虛線矩形框處航跡的局部放大。圖4(a)為虛線矩形框1,即航跡末尾處的局部放大。由圖4(a)可知,在既有雜波又有假目標的情況下,傳統PDA方法會受到較明顯的干擾,導致真目標航跡逐漸被假目標點跡帶偏,出現了關聯錯誤,而本文方法則避免了這種情況。圖4(b)為圖3虛線矩形框2處航跡的局部放大,目的是示例兩級關聯門對量測的篩選過程。動力學守恒檢驗相當于在傳統關聯門的基礎上建立了第二級關聯門,可以看到依據動力學守恒量建立的第二級關聯門進一步剔除了遠離真目標航跡的干擾量測,起到了抑制航跡被一系列假目標點跡“拉偏”的作用,從而將航跡向正確方向“拉回”。圖3從左到右為時間t從0到400 s的目標軌跡。

圖3 關聯結果Fig.3 Association result

圖4 關聯過程Fig.4 Association process

進行1 000次蒙特卡羅仿真,對未失跟的情況做平均跟蹤誤差對比,如圖5所示。可見相較于傳統PDA方法,本文方法有效降低了跟蹤誤差,提升了跟蹤精度。

圖5 關聯誤差Fig.5 Association error

圖6展示了動量矩和機械能的理論值和由1 000次蒙特卡羅仿真的關聯結果計算得到的平均實際值。可以看到,傳統PDA方法的動量矩和機械能偏離真目標理論值較遠,且接近3σ限邊緣或超過3σ限,而本文方法的動量矩和機械能雖然初始時有一定起伏,但遠未超過3σ限,且隨著時間增加逐漸穩定在真目標理論值附近。

圖6 動量矩和機械能Fig.6 Momentum moment and mechanical energy

為了對算法性能做進一步的分析,本文對比了僅利用動量矩和僅利用機械能的關聯誤差。圖7給出了1 000次蒙特卡羅仿真誤差對比圖。

圖7 不同方法的關聯誤差對比Fig.7 Association error comparison of different methods

由仿真結果可知,僅利用動量矩或機械能都能夠有效減小跟蹤誤差,且其誤差小于傳統PDA方法,但大于本文方法,即同時使用動量矩和機械能。該結果說明了本文方法的有效性。

4 結 論

本文針對中段彈道目標在有源距離欺騙干擾和雜波存在情況下的跟蹤關聯問題,利用中段彈道目標飛行期間滿足動力學守恒定律的特性,提出一種用于中段彈道目標關聯的改進的PDA方法。該方法能夠有效減小有源距離欺騙干擾和雜波對目標跟蹤關聯的影響。仿真結果表明,該方法的性能優于傳統PDA方法,能夠減小跟蹤誤差,提升跟蹤精度,具有工程應用價值。