隨機參數攝動下的高超聲速飛行器姿態控制

劉正洋, 周 麗,2,*, 張 瑞

(1. 南京信息工程大學自動化學院, 江蘇 南京 210044;2. 江蘇省大氣環境與裝備技術協同創新中心, 江蘇 南京 210044)

0 引 言

高超聲速飛行器(hypersonic vehicle,HSV)極高的飛行速度、大的飛行包絡以及機體結構的強非線性、強耦合等特點使得飛行器控制系統的設計面臨著許多挑戰。復雜的飛行環境使得飛行器在飛行的過程中,不僅要面臨著一系列非線性干擾,模型參數受氣動力特性的影響也是隨機、快速變化的[1],這給飛行器控制系統的設計帶來了很不利的影響。因此,研究和解決外部非線性干擾和模型參數隨機攝動下的高超聲速飛行器控制問題具有非常重要的意義[2-4]。

針對上述問題,國內外學者對高超聲速飛行器控制進行了大量的研究,其中包括基于小擾動線性化模型的控制方法[5]。小擾動線性化主要是在平衡點附近設計控制器,對于存在參數攝動和強干擾的HSV控制系統來說控制效果不佳[6]。軌跡線性化(trajectory linearization control, TLC)方法是20世紀90年代中后期建立并發展起來的一種非線性跟蹤和解耦控制方法。與小擾動線性化不同,TLC相當于在標稱軌跡上的每一點都進行線性化,在魯棒性方面具有明顯的優勢,并被成功運用于無人艇路徑跟蹤[7]以及飛行器制導與姿態控制系統中[8-9]。然而,非線性時變反饋調節律難以設計,因此傳統TLC方法中的閉環系統誤差調節器采用線性時變狀態反饋控制律實現,雖然可以獲得沿著標稱狀態的指數穩定,但卻是局部的,當系統中不確定因素足夠多時魯棒性將難以保證[6]。文獻[10-12]針對系統參數線性和非線性攝動以及外部干擾導致的不確定性問題,分別提出了基于增強型復合非線性擴張狀態觀測器的軌跡線性化方法[10]、基于模型參考自適應的軌跡線性化方法[11]和基于高階滑模狀態觀測器的軌跡線性化方法[12]。由此可見,將傳統TLC方法與其他控制方法結合,利用其他控制方法的優點設計狀態反饋控制器,是提升TLC控制性能的關鍵所在。近些年,提出了一種綜合模型預測和滑模控制優點的預測滑模控制(model predictive based sliding mode control, MPSMC)方法[13-16],該方法通過利用模型預測中的滾動優化和反饋矯正來優化滑模軌跡的到達過程,達到削弱滑模控制中抖振的目的[17],并成功被應用到了汽車線控轉向系統[18]和飛行器姿態控制系統中[19],取得了良好的控制效果。該方法對非線性參數攝動和干擾導致的系統不確定性具有強魯棒性,同時由于滑模控制的引入使得控制系統能夠在初始時刻快速跟蹤指令信號,趨近于穩定。本文將預測滑模控制方法運用到TLC的誤差調節控制器的設計中,提高TLC控制器對非線性參數攝動和干擾的魯棒性。

上述文獻僅對一些線性和非線性的不確定性問題進行了研究。而在實際情況中,高超聲速飛行器還面臨著一系列隨機不確定性問題。一方面,環境干擾,尤其是風干擾,對高超聲速飛行器姿態穩定的影響十分明顯,而風干擾往往也是隨機的[20-21];另一方面,由于HSV的飛行環境十分復雜,不能完全通過風洞實驗獲取精確的氣動參數。在這種情況下,為提高控制系統精度,充分考慮氣動參數隨機攝動對控制系統的影響是十分必要的[22-23]。蒙特卡羅(Monte Carlo, MC)是較為常用的隨機問題數值處理方法,文獻[24-26]利用MC方法對飛行器制導和控制律進行了仿真,驗證了飛行系統的魯棒性。但是MC方法的收斂速度緩慢,特別是當具有多個隨機變量時,計算負擔較大。為此,文獻[27]提出一種基于數據退火的馬爾可夫鏈MC方法,實現了隨機參數攝動下高超聲速飛行器系統參數的辨識,并成功運用于動態逆控制器設計中。文獻[28]提出一種MC模型預測控制方法,針對目標函數的多模態問題,設計了一種聚類方法,并成功應用于移動機器人導航中。文獻[29]提出一種隨機模型預測控制方法,通過利用Gramian和Riccati不等式,確定了一個包含一定概率的隨機擾動的集合,保證了被控系統的漸近穩定。

本文為了實現參數隨機攝動和非線性干擾同時作用下的高超聲速飛行器姿態的快速跟蹤控制,提出了一種基于TLC和擴展卡爾曼濾波的MPSMC(MPSMC based extended Kalman filter and TLC, MPSMC-EKTLC)方法,該方法在傳統TLC方法的基礎之上進行了改善:針對模型參數隨機攝動的問題,通過設計擴展卡爾曼濾波器對受擾狀態進行濾波,得到期望的狀態響應;采用預測滑模控制方法代替傳統TLC控制中的線性時變狀態反饋控制方法設計誤差穩定調節器。仿真結果表明設計的控制系統在快速趨于穩定的同時,對隨機參數攝動和非線性干擾都具有強魯棒性。

1 飛行器模型和問題描述

1.1 飛行器模型

參考文獻[22],得到如下6自由度高超聲速飛行器非線性剛體動力學方程:

(1)

(2)

同時有:

(3)

式中:M,V,γ分別為HSV的質量、飛行速度和傾斜角;α,β,μ分別為迎角、側滑角和滾轉角;p,q,r分別為滾轉角速率、俯仰角速率和偏航角速率;Tx,Ty,Tz分別為推力在地面坐標系x,y,z軸上的分力;Ixx,Iyy,Izz為轉動慣量,均為關于質量的函數,具有快時變性;g為重力加速度。同時給出如下空氣動力模型:

(4)

根據時標分離和奇異攝動原理,將式(4)代入式(1)和式(2)中可得如下關于HSV姿態控制的快慢回路模型。

慢回路模型:

(5)

快回路模型:

(6)

式中:Ω=[α,β,μ]T;ω=[p,q,r]T;fs=[fα,fβ,fμ]T;ff=[fp,fq,fr]T:

(7)

(8)

(10)

式中:b為翼展長度;c為平均氣動弦長;Xcg為質心和參考力矩中心之間的長度,氣動參數均為迎角α和馬赫數Ma的函數,可表示為Ci,j=Ci,j(α,Ma)。

1.2 問題描述

高超聲速飛行器極高的飛行速度、復雜的飛行環境以及特殊的機體結構,使得其對氣動特性的變化十分敏感,氣動參數的攝動將嚴重影響飛行器的控制性能。現有文獻對氣動參數線性攝動和非線性攝動的情況進行了充分的研究,而針對隨機攝動的相關文獻還較少[22]。因此,本文設計的控制方法旨在實現當存在隨機參數攝動和非線性干擾情況時,高超聲速飛行器姿態能夠穩定快速地跟蹤控制指令,主要通過采用TLC方法獲得高超聲速飛行器線性不確定性誤差調節模型,同時設計擴展卡爾曼濾波器對受擾狀態進行濾波,并利用預測滑模控制方法設計誤差穩定調節器。

圖1分別展示了升力系數CL、阻力系數CD以及側力系數CY不同攝動情況的對比。

圖1 氣動參數攝動對比Fig.1 Comparison of aerodynamic parameters

(11)

2 控制器設計

2.1 軌跡線性化

軌跡線性化控制方法是一種基于微分代數譜理論的非線性控制方法,其主要思想是利用非線性動態逆將軌跡跟蹤控制問題轉化為一個跟蹤誤差調節問題,然后利用線性時變系統的并聯微分(parallel differential, PD)譜理論設計狀態反饋控制律,使得該誤差跟蹤系統一致漸近穩定。

以慢回路為例,式(3)可以寫成如下形式:

(12)

(13)

定義狀態誤差、輸出跟蹤誤差以及誤差跟蹤控制的輸入分別為

(14)

則有:

(15)

(16)

式中:

(17)

2.2 設計擴展卡爾曼濾波器

在式(14)中,令ws(t)=Φs(t)pe,則ws(t)為經過軌跡線性化分離出的因參數隨機攝動導致的隨機干擾。結合式(9)能夠得到ws(t)的統計信息,因此通過設計擴展卡爾曼濾波器濾除隨機干擾,得到期望的輸出狀態并將其運用到控制器設計,增強控制器在模型參數隨機攝動下的魯棒性。

以慢回路為例,系統式(16)離散化后為

(18)

則根據式(11)可知ws(k)的均值為

E(ws(k))=E(Φs(k)pe(k))=

Φs(k)E(pe(k))=0

(19)

方差為

σws=E[(ws(k)-E[ws(k)])(ws(k)-E[ws(k)])T]=

E[ws(k)ws(k)T]=

E[Φs(k)pe(k)pe(k)TΦs(k)T]=

Φs(k)E[pe(k)pe(k)T]Φs(k)T=

Φs(k)σpeΦs(k)T

(20)

(21)

2.3 設計偽動態逆控制器

(22)

(23)

式中:ωdiff為低通濾波器帶寬,其選取既要保證標稱指令可以通過,同時又可以抑制高頻噪聲。

2.4 設計誤差穩定調節器

一般TLC的閉環誤差穩定調節器采用線性時變狀態反饋控制律實現,雖然能夠獲得沿標稱狀態的指數穩定,但卻是局部的,對具有強不確定性的高超聲速飛行器姿態控制系統來說魯棒性不佳。近年來提出的預測滑模控制方法對非線性干擾具有強魯棒性,同時能夠快速跟蹤參考軌跡,本文采用該方法設計誤差穩定調節器,同時結合偽動態逆控制器設計了MPSMC-TLC方法,以提高TLC的魯棒性,調節器設計具體如下。

由式(18)、式(21)可得濾波后慢回路誤差調節模型如下:

(24)

根據式(24)采用預測滑模控制方法設計慢回路的誤差穩定調節器ωe(k)[17],具體如下:

(25)

ss(k)為慢回路滑模面,具體為

(26)

(27)

式中:λpm=diag(λ1pm,λ2pm,λ3pm),λ1=λ2=λ3=e-(Ts/Tr);Ωc(k)=[αc,βc,μc]T為姿態角指令信號;Ts為期望響應時間。

同理,根據式(6)、式(8)和式(10)可得快回路標稱非線性系統及線性誤差調節系統如下所示:

(28)

(29)

令wf(t)=Φf(t)pe,將式(29)離散化后為

(30)

與慢回路設計方法相同,根據式(28)可得快回路偽動態逆控制器為

(31)

根據式(30)可得快回路誤差穩定調節器為

Mce(k)=(CefGdf)-1((1-qmfpmTssf(k))-

(32)

圖2 控制系統結構Fig.2 Structure of the control system

3 穩定性分析

采用Lyapunov第二法分析系統穩定性。將慢回路控制律式(25)代入式(18)可得

(33)

式中:

(34)

定理 1對于慢回路誤差調節系統式(18),若:

(35)

則控制器式(25)能保證系統式(18)漸近穩定。其中,

(36)

(37)

整理可得

(38)

取慢回路誤差調節系統式(18)的Lyapunov函數的正定二次型為V[eΩ(k)]=eΩ(k)TPseΩ(k),則

ΔV[eΩ(k)]=V[eΩ(k+1)]-V[eΩ(k)]=

eΩ(k+1)TPseΩ(k+1)-eΩ(k)TPseΩ(k)<

(39)

即當滿足定理1時,慢回路誤差調節系統式(18)漸近穩定。

證畢

同理,將快回路控制律式(32)代入到式(30)中得

(40)

定理 2對于快回路誤差調節系統式(30),若:

(41)

則控制器式(32)能保證系統式(30)漸近穩定。其中,

(42)

(43)

整理可得

(44)

取慢回路誤差調節系統式(37)的Lyapunov函數的正定二次型為V[eω(k)]=eω(k)TPfeω(k),則

ΔV[eω(k)]=V[eω(k+1)]-V[eω(k)]=

eω(k+1)TPfeω(k+1)-eω(k)TPfeω(k)<

(45)

即當滿足定理2時,快回路誤差調節系統式(30)漸近穩定。

證畢

4 仿真分析

將文獻[10]中TLC方法以及文獻[16]中的MPSMC方法與本文的MPSMC-TLC方法進行比較,設置初始姿態角Ω0=[1°,0°,3°]T,指令信號ΩC=[5°,0°,9°]T。舵面偏轉角δe,δa,δr,δx,δy,δz限幅±30°。為進一步驗證控制系統的魯棒性,設置氣動參數p的攝動范圍為150%,同時在快回路輸入端加上非線性干擾df=[0.5sint,0.5sint,0.5sint]T,在慢回路輸入端加上非線性干擾ds=[0.01sint,0.01sint,0.01sint]T,飛行器及控制器參數分別如表1和表2所示。

表1 飛行器模型參數

續表1

表2 控制器參數Table 2 Controller parameters

仿真結果如圖3～圖5所示,圖3～圖5分別為傳統TLC方法、MPSMC方法和MPSMC-TLC方法控制下的姿態角、姿態角速率以及舵面偏轉角之間的仿真曲線對比圖,表3和表4分別展示了3種方法控制下,姿態角和姿態角速率的最大跟蹤誤差,以及舵面偏轉范圍。

圖3 姿態角響應曲線Fig.3 Attitude angle response curve

圖4 姿態角速率響應曲線Fig.4 Attitude angle rate response curve

圖5 舵面偏轉角響應曲線Fig.5 Rudder deflection angle response curve

表3 姿態角、姿態角速率最大跟蹤誤差Table 3 Maximum tracking error of attitude angle and

表4 舵面偏轉范圍Table 4 Rudder surface deflection range

由圖3、圖4以及表3可以看出,受非線性干擾和隨機參數攝動的影響,傳統TLC方法在姿態角和姿態角速率響應上存在較大的跟蹤誤差。而MPSMC方法雖然在跟蹤誤差上較MPSMC-TLC方法相差不大,但由圖5和表4不難看出,MPSMC需要更大的舵面偏轉來實現姿態指令的跟蹤。因此,MPSMC-TLC方法在實現跟蹤誤差較小的同時,對舵面的需求也較小。同時也可看出,上述方法并未解決隨機參數攝動導致的信號頻繁震蕩的問題,尤其在姿態角速率和舵面偏轉角響應上表現得比較明顯。因此,本文進一步利用擴展卡爾曼濾波器對受隨機參數攝動影響的狀態進行濾波。圖6～圖8分別展示了MPSMC-TLC方法與MPSMC-EKTLC方法控制下姿態角、角速率以及舵面偏轉角的響應曲線。表5和表6分別展示了兩種方法控制下,姿態角和姿態角速率的最大跟蹤誤差,以及舵面偏轉范圍。

圖6 姿態角響應曲線Fig.6 Attitude angle response curve

圖7 姿態角速率響應曲線Fig.7 Attitude angle rate response curve

圖8 舵面偏轉角響應曲線Fig.8 Rudder deflection angle response curve

表5 姿態角、姿態角速率最大跟蹤誤差Table 5 Maximum tracking error of attitude angle and attitude angle rate

表6 舵面偏轉范圍Table 6 Rudder surface deflection range

從圖6～圖8以及表5、表6可以看出,MPSMC-EKTLC方法的響應曲線更為光滑,有效減弱了參數隨機攝動引起的頻繁振蕩現象,且姿態角和姿態角速率的跟蹤誤差更小,對舵面偏轉的需求也進一步減弱。仿真對比結果表明,本文所提方法能夠使響應快速趨于穩定,且對非線性干擾和隨機參數攝動都具有較強的魯棒性。

5 結束語

本文針對高超聲速飛行器存在模型參數隨機攝動和非線性干擾情況下的姿態控制問題,提出了一種MPSMC-EKTLC方法。該方法利用軌跡線性化的方式建立高超聲速飛行器快慢回路線性不確定性誤差調節模型,利用擴展卡爾曼濾波器估計出期望的誤差狀態,最后采用預測滑模控制方法設計誤差穩定調節器,同時結合偽動態逆控制器實現對高超聲速飛行器良好的跟蹤控制。研究結果表明,所提方法在氣動參數發生隨機攝動的情況下,仍能夠使高超聲速飛行器姿態穩定、快速地跟蹤控制指令,對隨機參數攝動和非線性干擾都具有強魯棒性。同時,本文所提方法僅適用于參數攝動對控制系統影響是線性的情況,通過泰勒展開就能夠獲得近似的誤差協方差矩陣,并且可以很容易在線執行。但針對于一些強非線性的情況,本文所提方法還需要進一步的改善,這也是本文下一步的研究方向。