巧用一題多解提升高中生數學核心素養

鄭米海

【摘要】在新課改推動下，高中數學教學越來越重視對學生數學核心素養的培養.在實際教學中，教師要立足課堂，聚焦素養，引導和鼓勵學生多角度探究解決問題的方法，以此將培養學生數學核心素養落到實處.文章以一道典型的二元變量最值問題為例，從引導學生多角度、深層次挖掘題設信息，鼓勵學生多視角思考問題，探尋多種解題方法等方面通過“一題多解”引導學生理解基礎知識，掌握基本技能，積累基本活動經驗、提煉基本思想方法，發展學生發現、提出、分析和解決問題的能力，促進學生數學核心素養的發展與提升.

【關鍵詞】一題多解；數學核心素養；解題技巧

高中數學學習不僅要讓學生掌握數學知識，而且要讓學生獲得進一步學習及未來發展所需的關鍵能力和必要品格.在新課改背景下，數學教育從關注“雙基”走向“四基”，從關注提升“兩能”走向“四能”，將培養學生關鍵能力和必要品格作為數學教學的重要課題.在實際教學中，教師應結合相應的教學內容設計有效的教學活動，引導學生多角度、多方位地探索知識，促進學生數學核心素養的形成和發展，促進“四基”與“四能”的培養與落實.

“一題多解”不僅可以鍛煉學生的數學思維能力，而且可以拓寬學生的視野，優化學生的解題策略，其有利于發展學生數學核心素養，充分發揮數學教學的育人功能.因此在高中數學教學中，教師要充分發揮“一題多解”的作用，切實提升學生學習品質，確保課堂教學目標的達成.在高三復習教學中，教師應認真研讀課程標準、全面了解學生學情，立足核心素養，結合教學實際精心挑選一些典型例題，引導學生從不同角度分析和解決問題，通過“一題多解”優化學生的認知結構，促進其數學核心素養的形成和發展，提高學生解題能力.以下筆者以一道二元變量最值問題為例，引導學生從不同視角去審視和探究問題，以此強化學生問題意識，凸顯數學本質，讓學生的數學核心素養得到提升.

一、分析問題

例題 如圖1所示，在△ABC中，∠A，∠B，∠C對應的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，求4a+c的最小值.

該題是一道二元變量最值問題，看似簡單，但是內涵豐富，解法多樣，可以很好地考查學生的知識掌握情況，對備考有很好的導向作用.解題中，教師要引導學生多角度挖掘二元關系“ac=a+c”，通過方法聯想，實現知識串聯，促進“四基”的落實和“四能”的培養.解三角形問題是高考的重要考點，也是高中數學教學的重點內容之一.在研究解三角形的問題時，教師要打破就題論題的教學模式，關注數學知識間的內在聯系，引導學生“會一題通一類”，有效提高學生數學知識應用能力.

設計意圖 在本課教學中，教師引導學生從不同角度分析和解決問題，從而將對解三角形問題的研究拓展至對整個平面幾何圖形的研究，通過多視角探究將多個知識點、不同的數學思想方法有效地串聯起來，逐步完善學生的認知結構，培養學生觀察分析、數學抽象、邏輯推理、數學運算等綜合能力和核心素養.同時，這一二元變量最值問題的解決，可以幫助學生鞏固和強化解三角形和基本不等式的基本知識、基本方法，幫助學生積累基本活動經驗，感悟轉化與化歸這一重要數學思想方法在解題中的重要作用.

二、解決問題

給出例題后，教師讓學生以小組為單位共同探究.活動中，教師鼓勵學生嘗試從不同角度分析和解決問題，幾分鐘后，有的小組已經找到了思路，教師讓學生呈現自己的解題思路，并以學生為主體展開討論.

師：誰來說一說，你想如何求解呢？

師：很好，根據角平分線性質和向量相關知識，應用轉化與化歸思想成功地解決了問題.

教學思考 學習過程是一個發現和感悟的過程，教學中切勿急于將解題過程呈現給學生，應該提供機會讓學生獨立思考或合作探究，讓學生的思維參與其中，以此確保問題的解決和能力的提升.教學中，教師要結合學生的知識儲備和基本學情引入一些具有代表性的問題，并提供機會讓學生研學討論，讓學生在互動交流中找到解決問題的突破口，積累基本活動經驗，提升學生解題技能，有效培養學生的“四能”.

師：在解三角形邊角有關的問題時，很容易聯想到正弦定理、余弦定理，在解本題時，若從這個角度思考，你能想到什么呢？（學生積極思考）

教學思考 教師作為課堂教學的組織者和引導者，要充分發揮自身的引導作用，在學生迷茫的時候進行有效的啟發和引導，以此拓寬學生的視野，幫助學生領悟問題的本質，提高學生解題技能.當然，若想發揮自身的引導作用，教師要充分地理解知識、理解學生，知曉解決問題的關鍵和核心，這樣才能通過有效的引導幫助學生找到解決問題的突破口，發散學生的數學思維.在本課教學中，學生給出第一種解題方法后，教師沒有急于結束本題的探究，而是引導學生結合解決三角形邊角問題的經驗進一步探索.這樣在教師的指導下，學生借助余弦定理和正弦定理找準邊與角之間的等量關系，順利解決問題，有效地提升了學生發現、提出、分析和解決問題的能力.

師：以上主要是從“數”的角度分析，若從“形”的角度出發，你又能想到什么呢？（學生積極畫圖，結合圖形尋找對應的等量關系）

生4的方案給出后，其他學生都自發地鼓掌.

師：非常好，利用面積法方便快捷地解決了問題.

教學思考 觀察可能導致發現，因此教學中教師要有意識地引導學生從“形”的角度出發，借助“形”引導觀察，揭示某種規律、模式、定理.在以上教學活動中，學生運用代數方法解決問題后，教師又啟發學生從“形”的角度出發，通過幾何圖形充分挖掘已知條件，探尋其中蘊含的隱性聯系，從而運用幾何知識解決問題.學生通過觀察發現三角形中的邊角關系，運用熟練的面積法解決了問題.在此過程中，學生充分利用面積的可分性，將一個圖形分解成兩個三角形，借助等面積建立相應的關系式，形成清晰的解題思路，高效地解決了問題.其實正弦公式的推導有面積法，所以認真分析生3和生4的解題方法不難發現，兩種方法雖然處理工具不同，但是其本質相同，具有異曲同工之妙.不過面積法更易于理解和掌握，合理應用有利于對學生直觀想象、邏輯推理等素養的培養，也有利于增強學生解題信心，提升解題效率.

師：三角形是平面幾何圖形，若將這一幾何問題代數化，可以以什么為載體來建構呢？

生齊聲答：平面直角坐標系.

師：很好，該如何建系呢？（學生繼續思考）

教學思考 引導學生運用代數法解決幾何問題，可以讓學生體會數形結合在解題中的優越性，培養學生的數形結合意識.在平時教學中，教師要有意識地引導學生應用代數方法研究幾何問題，從而使問題變得更加具體，易于操作.對于本題，建系后，除了應用斜率相等建立等量關系外，也可以借助向量共線建立等量關系，還可以借助兩點建立直線方程，然后另一點在直線上建立等量關系.教師可以啟發學生嘗試運用不同方法求解，以此夯實“四基”.

三、教學思考

（一）多角度審視問題，發展數學思維能力

眾所周知，對于一個事物，若想認識其本質，必須從不同角度、不同方位來審視它，數學問題亦是如此.在本課教學中，教師啟發和指導學生從不同角度思考和解決問題，幫助學生認清問題的本質.同時，通過“一題多解”可以極大程度地激發學生的潛能，幫助學生積累豐富的活動經驗，促進學生思維能力的發展和解題能力的提升.另外，通過多角度探究，將多個知識點有效地建立聯系，可以促進學生認知體系的優化，為數學應用打下堅實的基礎.

在本課教學中，教師以典型問題為切入口，引導學生從平面幾何視角、向量視角、正弦定理、余弦定理等多個視角審視問題，通過該題的解決讓學生充分感知解題方法的多樣性，有效培養學生的數學應用意識和創新意識，發展學生綜合應用能力.

（二）以學生為主體，以教學為主導

課堂教學的主體是學生.教學中，教師應結合教學實際適度地“放權”給學生，鼓勵學生獨立思考和合作交流，讓學生在思考與交流中形成自己的解題策略，以此有效提升學生解題技能，發展學生數學應用能力.在本課教學中，教師將解題的主動權交給學生，指導學生探尋不同的解題方法，以此增強學生的解題信心，讓學生充分體會數學發現和數學探索的樂趣，引導學生主動學習.

當然，在強調學生主體價值的同時，教師的主導作用也不容忽視.如在本課教學中，多種解決方法的獲得離不開教師的啟發和指導.教學中，教師既要充分預設，又要及時捕捉生成，還要為學生提供時間和空間去自主探究，以此讓學生更好地認識數學、理解數學，提高學生的數學核心素養.

結 語

總之，在高中數學教學中，教師應關注學生“四基”的落實和“四能”的培養，關注學生數學核心素養的培育.在解題教學中，教師要聚焦核心素養，認真研究題目，充分挖掘典型例題的教學功能，引導學生將新知與舊知有效地聯系起來，通過“一題多解”發展學生的數學思維，提升學生綜合應用能力，促進學生認知結構的優化和課堂效率的提升.另外，教學中，教師要為學生搭建一個獨立思考和合作交流的舞臺，提供機會讓學生表達自己的所思、所想、所惑，以此通過多角度探究使得學生的知識結構得以優化，使得學生的思維能力得以發展，最終促進學生數學核心素養的發展與提升.

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