具有層級(jí)結(jié)構(gòu)集體影響力的多數(shù)投票模型*

陳奕多 韻雨婷 關(guān)劍月2)? 吳枝喜2)3)?

1)(蘭州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,蘭州 730000)

2)(蘭州理論物理中心,蘭州 730000)

3)(蘭州大學(xué),量子理論及應(yīng)用基礎(chǔ)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730000)

1 引言

隨著信息化進(jìn)程的加快,整個(gè)社會(huì)充斥著爆炸般的信息,令人應(yīng)接不暇,觀點(diǎn)的傳播逐漸成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中倍受關(guān)注的研究方向.近期的研究中: Calvelli 等[1]研究了具有反從眾性的Sznajd 模型,證明該模型在各個(gè)維度上的相變都屬于Ising 模型普適類; Pires 和Crokidakis[2]研究了考慮個(gè)體的激活(activation)與停用(deactivation)的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué),證明在這種動(dòng)力學(xué)下系統(tǒng)存在三種轉(zhuǎn)變,相變行為分別屬于Ising 模型普適類與接觸過程(contact process)普適類; Khalil 和Galla[3]研究了Voter 模型中的狂熱者,分析了各種影響因素下多模態(tài)(multimodel)和單模態(tài)(unimodel)的轉(zhuǎn)換; Liu 等[4]研究了協(xié)同演化網(wǎng)絡(luò)中極化的出現(xiàn),通過理論分析預(yù)測(cè)了3 個(gè)不同極化階段的相變,不僅可以解釋實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的標(biāo)度率,還可以定量預(yù)測(cè)標(biāo)度指數(shù).在觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的常用模型中,多數(shù)投票模型是一個(gè)具有上下對(duì)稱性的非平衡態(tài)模型[5–14],隨著噪聲參數(shù)的增大,該模型呈現(xiàn)出有序-無序相變,且在低維度的規(guī)則晶格上,多數(shù)投票模型的相變屬于Ising 模型普適類[7].

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究中,中心性是判斷網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要性的指標(biāo),可以量化節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度,從而找出整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中更具影響力的個(gè)體[15,16].傳統(tǒng)的多數(shù)投票模型中個(gè)體觀點(diǎn)的翻轉(zhuǎn)概率主要考慮了自身節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)值與周圍多數(shù)觀點(diǎn)值的對(duì)齊程度,這里周圍鄰居對(duì)該節(jié)點(diǎn)的影響程度是相同的.但是在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中每個(gè)人的影響力是不同的,所以不僅需要考慮鄰居節(jié)點(diǎn)自身的影響力,還要考慮鄰居節(jié)點(diǎn)在近鄰、次近鄰與次次近鄰……的輻射圈中的影響力.也就是說,影響力的作用具有間隔性,節(jié)點(diǎn)并不只對(duì)與自身有直接聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生作用.考慮到被高度中心節(jié)點(diǎn)包圍的低度節(jié)點(diǎn)仍可能對(duì)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生較大影響,個(gè)體的影響力不僅與自身的度有關(guān),還與周邊節(jié)點(diǎn)的度有很大的關(guān)系,常用的度中心性不一定能正確地描述節(jié)點(diǎn)的影響力.對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中這樣的問題,Wang 等[17]研究了如何向無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中添加新邊以增強(qiáng)同步,Morone 和Makse[18]提出了集體影響力的概念,個(gè)體不再只受周圍鄰居的影響,也可能會(huì)受其次近鄰、次次近鄰……的影響,更真實(shí)地刻畫了如今信息化網(wǎng)絡(luò)的情況.

本工作使用節(jié)點(diǎn)周圍深度為l的球面上的節(jié)點(diǎn)的度定義中心節(jié)點(diǎn)的集體影響力,并將其引入到多數(shù)投票模型中,構(gòu)建了具有集體影響力的多數(shù)投票模型.通過蒙特卡羅模擬對(duì)系統(tǒng)演化到穩(wěn)態(tài)后的磁化強(qiáng)度M(q,N)、四階賓德累計(jì)矩U(q,N) 進(jìn)行統(tǒng)計(jì),在ER (Erdos and Rényi)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上對(duì)比了原始的多數(shù)投票模型和具有集體影響力的多數(shù)投票模型的相變行為,觀察了相變臨界點(diǎn)之間的差距,并對(duì)造成該差距的原因進(jìn)行了分析.最后通過分析臨界指數(shù),證明具有集體影響力的多數(shù)投票模型的相變類型為Ising 模型普適類.

2 模型與方法

多數(shù)投票模型的動(dòng)力學(xué)規(guī)則如下.對(duì)于具有N個(gè)個(gè)體的系統(tǒng),每個(gè)個(gè)體由網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表,且每個(gè)個(gè)體賦予觀點(diǎn)值xi滿足xi∈{+1,?1}.在每一個(gè)時(shí)間步中,等概率隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)i;計(jì)算節(jié)點(diǎn)i相鄰所有節(jié)點(diǎn)觀點(diǎn)值之和:

其中,

之后計(jì)算出觀點(diǎn)翻轉(zhuǎn)概率:

其中,

最后取 [0,1]區(qū)間隨機(jī)數(shù)a,若a＜ε(xi),個(gè)體i的觀點(diǎn)xi翻轉(zhuǎn)為?xi,否則個(gè)體i觀點(diǎn)不變.

本文在多數(shù)投票模型中引入了集體影響力的概念,節(jié)點(diǎn)i的集體影響力定義如下:

其中j為節(jié)點(diǎn)外延半徑l的球面上的個(gè)體,ki為節(jié)點(diǎn)i的度,kj為節(jié)點(diǎn)j的度.此處所取簡化度(ki?1)代表節(jié)點(diǎn)i選取位于半徑l的球面上節(jié)點(diǎn)j時(shí),不考慮此路徑上連邊,故對(duì)度ki取?1,(kj?1) 同理.l=0 時(shí),只考慮節(jié)點(diǎn)對(duì)近鄰節(jié)點(diǎn)的影響;l/=0 時(shí),則要考慮節(jié)點(diǎn)通過周邊層級(jí)結(jié)構(gòu)上節(jié)點(diǎn)圈的影響力,即此時(shí)節(jié)點(diǎn)的影響力與節(jié)點(diǎn)自身以及層級(jí)結(jié)構(gòu)上所有節(jié)點(diǎn)的度(簡化度)相關(guān),此處l不應(yīng)超過 3,否則容易超出系統(tǒng)尺寸.

為了使用集體影響力描述觀點(diǎn)在傳播過程中的作用,假設(shè)集體影響力參數(shù)為

其中 CIl(i) 為節(jié)點(diǎn)i在深度l上的集體影響,CIl為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)在深度l上集體影響的最大值.當(dāng)l=0 時(shí),有ωi=ki/kmax,kmax為網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)中最大的度.

具有分層集體影響力的多數(shù)投票模型的動(dòng)力學(xué)規(guī)則如下.在每一個(gè)時(shí)間步中,等概率隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)i; 計(jì)算節(jié)點(diǎn)i相鄰所有節(jié)點(diǎn)觀點(diǎn)值與集體影響力參數(shù)乘積之和:

其中aij與ωj如(2)式與(6)式所示,之后計(jì)算出觀點(diǎn)翻轉(zhuǎn)概率ε(xi) 如(3)式與(4)式所示,取[0,1] 區(qū)間隨機(jī)數(shù)a,若a＜ε(xi),個(gè)體i的觀點(diǎn)xi翻轉(zhuǎn)為 ?xi,否則個(gè)體i觀點(diǎn)不變.

蒙特卡羅模擬過程中,每完成N個(gè)時(shí)間步記作一個(gè)單位時(shí)間,即在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有機(jī)會(huì)進(jìn)行一次意見變更判斷.在蒙特卡羅模擬時(shí)間序列穩(wěn)定后,統(tǒng)計(jì)序參量m、磁化強(qiáng)度M、磁化率χ、四階賓德累計(jì)矩U[19]等物理量以研究系統(tǒng)的觀點(diǎn)演化與相變行為,表達(dá)式如下:

以上所用〈...〉c為系綜平均,〈...〉t為系統(tǒng)時(shí)間序列到達(dá)穩(wěn)態(tài)后取時(shí)間平均.序參量m描述系統(tǒng)的有序程度,當(dāng)m=1 時(shí),系統(tǒng)觀點(diǎn)值全部為 +1 或者?1,代表系統(tǒng)處于完全有序狀態(tài); 當(dāng)m=0 時(shí),系統(tǒng)觀點(diǎn)值為 +1 和?1 的個(gè)體各占一半,代表系統(tǒng)處于完全無序的狀態(tài).磁化強(qiáng)度M(q,N) 是對(duì)序參量求時(shí)間平均和系綜平均的物理量,磁化率χ(q,N)是反映系統(tǒng)序參量漲落的物理量,通過有限尺寸標(biāo)度法[20]利用這兩個(gè)物理量可以精確計(jì)算系統(tǒng)相變的臨界指數(shù),即精確研究系統(tǒng)相變的臨界現(xiàn)象.不同系統(tǒng)尺寸的四階賓德累積矩U(q,N) 曲線會(huì)在臨界點(diǎn)處相交,可以確定系統(tǒng)相變的臨界點(diǎn).

本工作所使用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)建方法為配置模型(configuration model),使用已知的度序列進(jìn)而構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)[21,22].在使用配置模型構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)過程中,需要保證“抓手”總數(shù)為偶數(shù),若按照度分布總“抓手”數(shù)為奇數(shù)時(shí),給第一個(gè)節(jié)點(diǎn)度加 1.

本文的工作中,通過不同尺寸系統(tǒng)的四階賓德累計(jì)矩U(q,N) 曲線交點(diǎn)得到臨界點(diǎn)精確值,所有臨界指數(shù)的計(jì)算通過有限尺寸標(biāo)度法完成.表達(dá)式如下:

其中ε=(q?qc),qc為觀點(diǎn)有序-無序轉(zhuǎn)變臨界點(diǎn),為通用標(biāo)度函數(shù),β,γ,分別為磁化強(qiáng)度、磁化率、相關(guān)體積的臨界指數(shù).

3 結(jié)果與討論

本文通過大量的蒙特卡羅模擬,研究了原始的與具有集體影響力的多數(shù)投票模型的觀點(diǎn)演化.模擬的初始狀態(tài)為整個(gè)系統(tǒng)中觀點(diǎn)值均勻分布,即+1與?1 的個(gè)體各占一半,此時(shí)系統(tǒng)處于完全無序狀態(tài).如前文所述,本文時(shí)間單位為蒙特卡羅時(shí)間,即進(jìn)行N次翻轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)平均有一次嘗試更新觀點(diǎn)的機(jī)會(huì).對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),首先讓系統(tǒng)演化 105蒙特卡羅時(shí)間,確保在所有參數(shù)下系統(tǒng)演化到了穩(wěn)定狀態(tài),之后再繼續(xù)模擬 105蒙特卡羅時(shí)間,對(duì)統(tǒng)計(jì)量做時(shí)間平均,同時(shí)對(duì)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做50次系綜平均.ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)度分布滿足泊松分布P(k)=〈k〉ke?〈k〉/k!.無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布滿足冪律分布p(k)～k?λ,λ為度分布指數(shù).在下面的蒙特卡羅模擬中,設(shè)置所有網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉=10.

3.1 ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)

圖1(a),(b)分別為ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中磁化強(qiáng)度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數(shù)q的變化曲線.所有情況中磁化強(qiáng)度M(q,N) 均會(huì)呈現(xiàn)從有序到無序的相變行為,l=0 與原始多數(shù)投票模型情況下曲線重合且均在較大q值下發(fā)生相變,l/=0時(shí)3 條曲線幾乎重合,均在q值較小時(shí)發(fā)生相變,U(q,N)隨q變化的行為與M(q,N) 一致.證明了在觀點(diǎn)傳播過程中,考慮了層級(jí)結(jié)構(gòu)的集體影響力后,如果集體影響力不僅僅只作用于最近鄰的節(jié)點(diǎn)(l=0),系統(tǒng)會(huì)在更小的擾動(dòng)因子q下發(fā)生相變,即系統(tǒng)更容易趨于無序狀態(tài).

圖1 (a),(b)分別表示在 ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中磁化強(qiáng)度 M(q,N)、四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數(shù) q 的變化曲線,網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉=10,節(jié)點(diǎn)數(shù)N=10000Fig.1.(a),(b) The variation curves of magnetization M(q,N) and Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with noise parameter q in ER random network,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10,and the number of nodes is N=10000.

圖2(a),(b)分別為l=0,l=1 時(shí)不同系統(tǒng)尺寸的四階賓德累計(jì)矩U(q,N) 隨噪聲參數(shù)q的變化曲線,通過重合點(diǎn)可以看出l=0時(shí)臨界點(diǎn)qc0≈0.301,l=1時(shí)臨界點(diǎn)qc1≈0.283,l=0 時(shí)臨界點(diǎn)相較l=1 大0.018.為了分析l=0 與l0 時(shí)相變臨界點(diǎn)的差異,對(duì)N=10000,l=0,l=1,l=2,l=3 時(shí)的ωi值的分布情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如圖3(a)所示.原始多數(shù)投票模型中有Si=∑aijxj,度大的節(jié)點(diǎn)連接了更多節(jié)點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生更大的影響力,反之度小的節(jié)點(diǎn)影響力較小.對(duì)于l=0 的情況,ωi=ki/kmax,同一網(wǎng)絡(luò)中kmax為定值,ωi分布與ki一致,為泊松分布,同樣由度的大小直接決定節(jié)點(diǎn)的影響力,所以兩種情況的相變臨界點(diǎn)幾乎重合.l0時(shí),可以發(fā)現(xiàn)ωi整體呈“長尾”分布趨勢(shì),在0.17附近達(dá)到峰值,隨著ωi的增大,頻率遞減.這樣的分布相較于l=0時(shí),更多節(jié)點(diǎn)ωi值變小,加和到Si上的權(quán)重也變小,在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的影響力減弱.此時(shí)網(wǎng)絡(luò)中仍存在部分節(jié)點(diǎn)具有較大的ωi值,在Si上有更大的權(quán)重,對(duì) sgn(Si) 有更大的影響,在較小q值時(shí)只要少數(shù)ωi值較大節(jié)點(diǎn)觀點(diǎn)狀態(tài)不一,其余小ωi值的節(jié)點(diǎn)便會(huì)追隨相連大ωi值節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)值,系統(tǒng)更易趨于無序狀態(tài).表1 為不同l時(shí)ωi的均值和方差.可以看出l=0時(shí),ωi均值與方差均較大,大部分節(jié)點(diǎn)較為集中但不同節(jié)點(diǎn)ωi值仍有較大差異.l0時(shí),ωi均值大幅減小且方差也減小,證明了ωi更為密集地分布在較小值,此時(shí)也使具有大ωi值的個(gè)體權(quán)重增大.圖3(b)為不同l值下ωi平均值與ki的變化關(guān)系,l=0 時(shí)二者為線性關(guān)系,而l0 時(shí),大部分節(jié)點(diǎn)度都較小且此時(shí)ωi值較小,影響力更小,少數(shù)ωi值較大的節(jié)點(diǎn)的影響力效應(yīng)則會(huì)變大,在較小的噪聲參數(shù)q時(shí),sgn(Si) 與ωi值較大的節(jié)點(diǎn)觀點(diǎn)狀態(tài)保持一致,只要大ωi值節(jié)點(diǎn)趨于無序,整個(gè)系統(tǒng)也會(huì)趨于無序.此時(shí),利用以上求得的臨界值對(duì)磁化強(qiáng)度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數(shù)q的變化曲線做有限尺寸標(biāo)度處理,可得l=0與l=1 時(shí)模型的臨界指數(shù),如圖4所示.l=0時(shí)=0.49(6),=0.23(5),=0.49(5);l=1 時(shí)=0.47(5),=0.23(6),=0.50(5).這些臨界指數(shù)值與平均場(chǎng)Ising 模型的臨界指數(shù)值(平均場(chǎng)Ising 模型臨界指數(shù):γ=1,β=1/2)十分接近,l=0 時(shí)更加貼合,即具有集體影響力的多數(shù)投票模型在ER 網(wǎng)絡(luò)上的相變類型屬于Ising 模型普適類.

圖2 (a),(b)在 ER 網(wǎng)絡(luò)中,當(dāng) l=0 和 l=1時(shí)四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數(shù) q 的變化曲線.網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉=10Fig.2.(a),(b) l=0 and l=1 of the Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with noise parameter q in the ER network,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10.

圖3 (a),(b)分別為ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中 ωi 分布情況與不同度 ki 的 ωi 平均值大小統(tǒng)計(jì)情況Fig.3.(a) The distribution of ωi and (b) the statistics of the average value of ωi of different degrees ki in ER random network.

圖4 (a),(b)分別為ER 網(wǎng)絡(luò)在 l=0 時(shí)磁化強(qiáng)度 M(q,N) 與磁化率 χ(q,N) 的有限尺寸標(biāo)度圖;(c),(d)分別為ER 網(wǎng)絡(luò)在l=1 時(shí)磁化強(qiáng)度 M(q,N) 與磁化率 χ(q,N) 的有限尺寸標(biāo)度圖Fig.4.(a),(b) The finite size scaling graphs of the magnetization M(q,N) and the susceptibility χ(q,N) of the ER network at l=0,respectively; (c),(d) the finite size scaling graphs of the magnetization M(q,N) and the susceptibility χ(q,N) of the ER network at l=1,respectively.

3.2 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

3.2.1 模擬結(jié)果與現(xiàn)象

在不同度分布指數(shù)λ的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,同樣對(duì)不同l的集體影響力多數(shù)投票模型進(jìn)行蒙特卡羅模擬,并加入原始多數(shù)投票模型形成對(duì)照.所有網(wǎng)絡(luò)平均度均為〈k〉=10,度分布指數(shù)λ分別取了 2.5,3,4.圖5 為系統(tǒng)演化到穩(wěn)態(tài)后,磁化強(qiáng)度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數(shù)q的變化曲線.由圖5 可得,系統(tǒng)演化的結(jié)果在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中與ER 網(wǎng)絡(luò)所呈現(xiàn)的趨勢(shì)一致,磁化強(qiáng)度M(q,N)均從有序狀態(tài)變?yōu)闊o序狀態(tài),在l=0 時(shí)與原始的多數(shù)投票模型幾乎重合,四階賓德累積矩U(q,N)的變化趨勢(shì)與磁化強(qiáng)度一致,即當(dāng)集體影響力參數(shù)ωi與自身度直接相關(guān)時(shí),具有集體影響力的多數(shù)投票模型與原始的多數(shù)投票模型的相變臨界點(diǎn)差距不大.引入l0(l=1,l=2,l=3)的集體影響力后相變行為發(fā)生改變,三者曲線幾乎重合且相變臨界點(diǎn)整體變小.l0 時(shí)與原始多數(shù)投票模型及l(fā)=0 時(shí)相比,相變臨界點(diǎn)的減小分別為:λ=2.5時(shí) 0.011,λ=3 時(shí) 0.012,λ=4 時(shí)0.014.對(duì)l=0以及l(fā)=1 的具有集體影響的多數(shù)投票模型在N=5000,10000,20000,40000 的網(wǎng)絡(luò)尺寸進(jìn)行蒙特卡羅模擬,如圖6 所示.所得臨界點(diǎn)準(zhǔn)確值分別為:λ=2.5 時(shí)qc0=0.3035,qc1=0.292,差值為0.0115;λ=3 時(shí)qc0=0.30,qc1=0.2875,差值為0.0125;λ=4 時(shí)qc0=0.295,qc1=0.2805,差值為0.0145.由此可得,隨著無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度指數(shù)λ的增大,l0 的集體影響力對(duì)整個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相變行為的影響也會(huì)增大.使用上述臨界點(diǎn)值,對(duì)磁化強(qiáng)度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數(shù)q的變化曲線進(jìn)行有限尺寸標(biāo)度處理,計(jì)算相變臨界指數(shù),所得λ=2.5時(shí)圖像為圖7,λ=3 與λ=4的情況使用相同方式計(jì)算.可以看出磁化強(qiáng)度M(q,N)、四階賓德累積矩U(q,N)隨噪聲參數(shù)q的變化曲線都發(fā)生了有序到無序的相變過程,所得臨界指數(shù)如下.λ=2.5:l=0 時(shí)=0.45(5),=0.23(1),=0.49(2);l=1 時(shí)=0.44(6),=0.22(3),=0.51(5).λ=3:l=0 時(shí)=0.46(1),=0.23(5),=0.49(2);l=1 時(shí)=0.46(5),=0.23(1),=0.51(5).λ=4:l=0時(shí)=0.48(5),=0.23(5),=0.49(5);l=1 時(shí)=0.47(5),=0.23(5),=0.51(2).以上所有情況臨界指數(shù)值都與平均場(chǎng)Ising 模型類似,即在λ=2.5,λ=3與λ=4 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,具有集體影響力的多數(shù)投票模型的相變類型屬于平均場(chǎng)Ising 模型普適類.

圖5 (a),(b)λ=2.5; (c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中磁化強(qiáng)度 M(q,N)、四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數(shù)q的變化曲線.網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉=10,節(jié)點(diǎn)數(shù)N=10000Fig.5.The variation curves of magnetization M(q,N) and Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with noise parameter q in scale-free networks with (a),(b)λ=2.5;(c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10,and the number of nodes is N=10000.

圖6 (a),(b)λ=2.5;(c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中 l=0 和 l=1 時(shí)四階賓德累積矩 U(q,N) 隨噪聲參數(shù) q 的變化曲線.網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉=10Fig.6.The variation curves of the Binder’s fourth-order cumulant U(q,N) with the noise parameter q when l=0 and l=1 in a scale-free network with (a),(b)λ=2.5;(c),(d)λ=3;(e),(f)λ=4,respectively.The average degree of networks is 〈k〉=10.

圖7 λ=2.5時(shí)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)磁化強(qiáng)度 M(q,N) 和磁化率 χ(q,N) 的有限尺寸標(biāo)度圖 (a),(b)l=0;(c),(d) l=1Fig.7.The finite-size scaling graphs of magnetization M(q,N) and susceptibility χ(q,N) of scale-free networks with λ=2.5:(a),(b)l=0;(c),(d)l=1.

上文以λ=2.5,λ=3,λ=4 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)為例,對(duì)l=0 以及l(fā)=1 時(shí)的相變臨界點(diǎn)值進(jìn)行了準(zhǔn)確的計(jì)算.為方便觀察,將這些相變臨界點(diǎn)值列入表格中,如表2 所示.表2 中第2 列為 ER 網(wǎng)絡(luò),第3—7 列為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)不同度分布指數(shù)λ所對(duì)應(yīng)的值.可以看出在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,隨著度分布指數(shù)λ的增大,臨界點(diǎn)值qc會(huì)逐漸減小,而|qc0?qc1| 的值卻逐漸增大,接近ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的值,為了更直觀觀察,將其繪制成圖像為圖8,可以看出l=0與l=1 的曲線均趨于下降,但l=1 的曲線下降更快.滿足無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)分布指數(shù)λ越大,小度的節(jié)點(diǎn)越多,大度的節(jié)點(diǎn)越少,越趨近于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn).

表2 不同網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的 qc0,qc1 以及|qc0?qc1|Table 2.qc0,qc1 and |qc0?qc1| of different networks.

圖8 l=0 和 l=1 的具有集體影響力的多數(shù)投票模型中,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)不同度分布指數(shù) λ 對(duì)應(yīng)的相變臨界點(diǎn)qcFig.8.In the majority-vote model with collective influence of l=0 and l=1,the phase transition critical point qc with different degree distribution index λ of the scale-free network.

3.2.2 影響因素分析

以λ=2.5 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)為例,對(duì)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中ωi的分布情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果為圖9(a).當(dāng)l=0時(shí),ωi與ki的分布情況一致,均為冪律分布.ωi從0.45 處開始,頻率處于峰值,在0.25左右.隨著ωi的增大,頻率值也逐漸減小.也就是說,節(jié)點(diǎn)本身的度值決定了在網(wǎng)絡(luò)中的影響力,與原始多數(shù)投票模型一致,所以l=0 時(shí)的相變臨界點(diǎn)與原始多數(shù)投票模型的相變臨界點(diǎn)幾乎一致.當(dāng)l0(l=1,l=2,l=3)時(shí),ωi呈現(xiàn)“長尾”分布的趨勢(shì).起始點(diǎn)降到了0.17附近,更多的節(jié)點(diǎn)ωi值變小,節(jié)點(diǎn)觀點(diǎn)的權(quán)重加和到Si中也會(huì)變小.網(wǎng)絡(luò)中仍然存在部分節(jié)點(diǎn)擁有較大的ωi值,相較于l=0 時(shí),這些大ωi值節(jié)點(diǎn)數(shù)目變少,觀點(diǎn)權(quán)重會(huì)大幅增大,直接影響了周圍節(jié)點(diǎn) sgn(Si) 的取值.當(dāng)系統(tǒng)處于一個(gè)較小q時(shí),這些具有大ωi值的個(gè)體一旦趨于無序就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的無序,所以系統(tǒng)在一個(gè)較小q時(shí)就發(fā)生相變.在λ=2.5 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,不同l時(shí)ωi的平均值和方差統(tǒng)計(jì)如表3 所示.同ER 網(wǎng)絡(luò)一樣,在l=0 時(shí)節(jié)點(diǎn)的ωi值均較大,且方差較小;l0時(shí)ωi的均值明顯減小且方差增大,說明大部分節(jié)點(diǎn)ωi值減小,但是ωi之間差異變大,小ωi值節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)權(quán)重降低,大ωi值節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)權(quán)重增大.λ=2.5 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,不同l值下ωi平均值與ki的變化關(guān)系如圖9(b)所示,l=0 時(shí)二者為線性關(guān)系,而l0時(shí),所有度ki對(duì)應(yīng)ωi都減小,總體呈現(xiàn)非線性變化,的最小值從l=0時(shí)的0.2 降低到 0.03 附近,減少到約 1/6.ki=20 時(shí)仍為最大,從l=0時(shí)的 1降低到0.856 附近,減小了約0.17 倍.大部分節(jié)點(diǎn)的ωi不同程度減小,觀點(diǎn)權(quán)重也減小,少數(shù)ωi值較大的節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)權(quán)重則會(huì)變大,在較小的噪聲參數(shù)q時(shí)系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)有序到無序的相變.

表3 ωi 均值和方差Table 3.Mean and variance of ωi.

圖9 N=10000,λ=2.5的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中 (a)ωi的分布情況; (b)不同度ki的ωi 平均值統(tǒng)計(jì)情況Fig.9.In scale-free network when N=10000 and λ=2.5: (a) Distribution of ωi in scale-free networks; (b) the statistics of the average value of ωi of different degrees ki.

為了探究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中隨著度分布指數(shù)λ的增大,|qc0?qc1| 值也隨著增大的原因.對(duì)l=0 以及l(fā)=1時(shí),λ=2.5以及λ=4的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)ωi的分布情況進(jìn)行對(duì)比,如圖10 所示.由于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)隨著度指數(shù)λ的增大,會(huì)有更多的節(jié)點(diǎn)度減小,更少節(jié)點(diǎn)擁有較大的度,分布曲線也會(huì)更加陡峭.l=0時(shí),ωi的分布情況與ki一致.λ=2.5時(shí)ωi在0.45處頻率達(dá)到峰值,約為0.25;λ=4 時(shí)ωi也在0.45處頻率達(dá)到峰值,約為0.35.可見隨著λ的增大,更多的節(jié)點(diǎn)處于一個(gè)較小ωi值,所以具有較大ωi值的節(jié)點(diǎn)觀點(diǎn)權(quán)重增大,對(duì)Si的影響也增大.ωi大節(jié)點(diǎn)的減少,也使得系統(tǒng)更容易在一個(gè)較小q值時(shí)趨于無序,進(jìn)而使得臨界相變點(diǎn)qc值減小.l=1時(shí),無論λ=2.5還是λ=4,整體ωi的分布呈現(xiàn)“長尾”分布趨勢(shì),但ωi在0.17 附近的節(jié)點(diǎn)最多,頻率處于峰值.相較l=0時(shí),小ωi值與大ωi值相差幅度增大,由于度分布指數(shù)λ的增大,ωi小的節(jié)點(diǎn)增多,會(huì)加劇大ωi值節(jié)點(diǎn)的影響力,進(jìn)而使得|qc0?qc1| 值增大.不同l時(shí)ωi均值和方差的統(tǒng)計(jì)如表4 所示,可以看出λ=2.5和λ=4時(shí)都在l=0時(shí)ωi有較大均值和較小方差,當(dāng)l0時(shí),ωi均值變小,方差增大,證明此時(shí)ωi整體變小且差異性增大.λ=4相較λ=2.5時(shí),ωi方差更小,即差異性較小,更多節(jié)點(diǎn)處于較小ωi值,更少節(jié)點(diǎn)擁有較大ωi值即這些節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)權(quán)重會(huì)增大.

表4 ωi 均值和方差Table 4.Mean and variance of ωi.

圖10 ωi的分布情況圖,λ=2.5的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在l=0和 l=1時(shí)的分布情況與λ=4的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在l=0 和l=1時(shí)的分布情況Fig.10.Distribution of ωi,l=0,l=1 of scale-free networks with λ=2.5 and λ=4.

為更加細(xì)致地分析無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中系統(tǒng)的相變臨界行為,本文對(duì)不同度分布指數(shù)λ,不同l的系統(tǒng)在不同系統(tǒng)尺寸下相變臨界點(diǎn)qc處的磁化強(qiáng)度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),如圖11 所示.l與λ越大時(shí),相變臨界點(diǎn)qc處的磁化強(qiáng)度值M(q,N) 也越大.l=1 時(shí),ωi之間的差距會(huì)被拉大,大ωi值的節(jié)點(diǎn)變少,導(dǎo)致ωi值較大的節(jié)點(diǎn)會(huì)擁有更大的觀點(diǎn)權(quán)重,大ωi值節(jié)點(diǎn)周圍大量小ωi值的節(jié)點(diǎn)會(huì)跟隨這些大ωi值節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn).如果此時(shí)擁有某一種觀點(diǎn)值的大ωi值節(jié)點(diǎn)較多,則這種觀點(diǎn)會(huì)占上風(fēng),也會(huì)導(dǎo)致此時(shí)磁化強(qiáng)度值M(q,N) 增大.在相變臨界點(diǎn)qc附近,由于大ωi值節(jié)點(diǎn)本身數(shù)量較少,只需要很小一部分大ωi值節(jié)點(diǎn)改變觀點(diǎn),整個(gè)系統(tǒng)磁化強(qiáng)度值M(q,N)就會(huì)趨于無序.在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,λ較大的網(wǎng)絡(luò)擁有大度節(jié)點(diǎn)的比例降低,也就加大了大度節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)權(quán)重.在l與λ均較小時(shí),整個(gè)網(wǎng)絡(luò)會(huì)擁有更多的大ωi值節(jié)點(diǎn),想讓整個(gè)系統(tǒng)趨于無序,就要讓更多大ωi值節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)翻轉(zhuǎn),也就需要不斷提高擾動(dòng)參數(shù)q來實(shí)現(xiàn),進(jìn)而磁化強(qiáng)度M(q,N) 隨擾動(dòng)參數(shù)q變化的曲線也會(huì)趨于平緩.

圖11 相變臨界點(diǎn)處的磁化強(qiáng)度值.橫坐標(biāo)為系統(tǒng)尺寸大小Fig.11.The magnetization M(q,N) value at the critical point of phase transition.The abscissa is the size of the system.

3.3 臨界指數(shù)

l=0 與l=1 時(shí),ER 網(wǎng)絡(luò)及不同度分布指數(shù)λ的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)下模型相變的臨界指數(shù)總結(jié)如表5所列.可以看出,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中λ值越大,臨界指數(shù)越接近于ER 網(wǎng)絡(luò)的臨界指數(shù)值,對(duì)應(yīng)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)λ值增大時(shí)網(wǎng)絡(luò)中更多節(jié)點(diǎn)度變小、隨機(jī)性增強(qiáng)的性質(zhì).具有集體影響力的多數(shù)投票模型在ER 網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中模型的相變臨界指數(shù)都與平均場(chǎng)Ising 模型接近,相比較而言,l=0 時(shí)會(huì)更加貼合.以往的研究表明,在ER 網(wǎng)絡(luò)以及無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中系統(tǒng)相變的臨界指數(shù)均與平均場(chǎng)Ising 模型相同[23,24].文獻(xiàn)[24]中所用多數(shù)投票模型在其參數(shù)α=0時(shí)與本文的原始多數(shù)投票模型完全一致,故本文引用文獻(xiàn)[24]中所得臨界指數(shù)作為原始多數(shù)投票模型對(duì)照參考,如表5 所列,不同度分布指數(shù)的相變臨界指數(shù)由某特定情況代表且認(rèn)為在同區(qū)間內(nèi)相變情況相同.可以看出原始多數(shù)投票模型在ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與一定度分布指數(shù)條件下的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的相變屬于Ising 模型普適類,在加入具有層級(jí)結(jié)構(gòu)的集體影響力因素后,本文所用的ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與λ=2.5,3,4 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的相變均屬于Ising 模型普適類.

表5 臨界指數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與引用數(shù)據(jù)對(duì)照Table 5.Results of critical exponents and reference data for comparison.

4 結(jié)論

本工作將具有分層結(jié)構(gòu)的集體影響力引入到多數(shù)投票模型中,通過蒙特卡羅方法模擬ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和不同度分布指數(shù)下的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的觀點(diǎn)演化.ER 網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在l=0 時(shí)的相變臨界點(diǎn)值都與原始多數(shù)投票模型相近,原因是l=0 時(shí)節(jié)點(diǎn)的集體影響力和度分布直接相關(guān),詳細(xì)對(duì)比為: 原始多數(shù)投票模型中度大的節(jié)點(diǎn)連接了更多節(jié)點(diǎn),也就是具有更大的影響力; 加入l=0 的集體影響力后,度大的節(jié)點(diǎn)同樣具有與度直接相關(guān)的大集體影響力,仍然對(duì)周圍節(jié)點(diǎn)有更大的影響.l0時(shí),ωi的分布均會(huì)出現(xiàn)“長尾”分布的特點(diǎn),大部分節(jié)點(diǎn)的ωi值都會(huì)降低,具有大ωi值的節(jié)點(diǎn)數(shù)量減少且觀點(diǎn)權(quán)重增大,此時(shí)少數(shù)大ωi值的節(jié)點(diǎn)觀點(diǎn)發(fā)生翻轉(zhuǎn)就會(huì)導(dǎo)致周圍小ωi值的節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)產(chǎn)生跟隨,使整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生有序到無序的相變.即l0 相比原始多數(shù)投票模型與l=0 的情況,系統(tǒng)隨著噪聲參數(shù)的增大更容易趨于無序,相變臨界點(diǎn)更小.對(duì)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),度分布指數(shù)λ增大導(dǎo)致更多的節(jié)點(diǎn)度減小,相變臨界點(diǎn)也會(huì)變小,且在有限尺寸內(nèi)l的增大以及λ的增大會(huì)使臨界點(diǎn)處磁化強(qiáng)度M(q,N)也增大,對(duì)應(yīng)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)越大隨機(jī)性越強(qiáng)、越趨近于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì).對(duì)ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與度分布指數(shù)分別為λ=2.5,λ=3,λ=4的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在l=0與l=1 時(shí)的磁化強(qiáng)度M(q,N)與磁化率χ(q,N) 進(jìn)行有限尺寸標(biāo)度分析,得出上述網(wǎng)絡(luò)中具有集體影響力的多數(shù)投票模型的臨界指數(shù)均與平均場(chǎng)Ising 模型的臨界指數(shù)類似,相變類型屬于Ising 模型普適類.后續(xù)工作可以進(jìn)一步通過理論推導(dǎo)佐證上述結(jié)論,或修改集體影響力參數(shù)的定義(如通過深度l的球面內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的度定義集體影響力),也可以將集體影響力參數(shù)擴(kuò)展到其他網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(如動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)等)或其他動(dòng)力學(xué)模型中進(jìn)行研究.