六自由度機械臂軌跡規(guī)劃方法的研究

張博倫， 于 濤

（遼寧工業(yè)大學機械工程與自動化學院， 遼寧錦州 121001）

0 引言

隨著智能化時代到來，工業(yè)機器人的應用愈加廣泛，軌跡規(guī)劃是其中重要一環(huán)[1]。

軌跡規(guī)劃是工業(yè)機器人的基礎， 其性能對工業(yè)機器人工作效率、運動平穩(wěn)性和能量消耗具有重大影響，如機器人在點動時末端抖動造成的機器人角加速度不連續(xù)、運動精度降低、軌跡偏移等問題，甚至由于沖擊導致機械部件損壞[2-3]。

目前常見的軌跡規(guī)劃方法主要有直線插補、 多項式曲線插補、S 型曲線插補、B 樣條插補等方法[4]。 各種方法各有優(yōu)劣，如B 樣條插補方法的計算量大，多項式軌跡規(guī)劃方法次數較高時容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象， 直線插補方法獲得的軌跡曲線速度不連續(xù)， 帶拋物線過渡的直線插補方法獲得的軌跡曲線加速度不連續(xù)易產生抖震問題[5-6]。

本文以六自由度的UR10 機器人為研究對象，參考帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法提出一種新的軌跡規(guī)劃方法，使其可以有效改善沖擊對機械臂關節(jié)的影響，并通過MATLAB 進行仿真驗證。

1 軌跡規(guī)劃方法的分析與構造

1.1 對帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃的分析

在工業(yè)機器人的控制中， 為避免直接進行線性插值導致起終值點關節(jié)速度不連續(xù)，常使用拋物線進行過渡，可有效使直線插補軌跡規(guī)劃獲得連續(xù)速度[7]。 但是單純使用拋物線過渡的軌跡規(guī)劃方法同樣導致關節(jié)加速度突變時對其產生一定沖擊， 使得該方法在沖擊影響不可忽視的場景下的適用性受到極大影響[8-9]。 如圖1 所示為應用該方法對機械臂關節(jié)進行軌跡規(guī)劃時關節(jié)角度與角加速度典型的曲線圖[10]。

圖1 帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃角度、角加速度圖像

機械臂關節(jié)在tk時刻角加速度突變， 產生極大的角加加速度，對關節(jié)產生沖擊。此時需要考慮沖擊對機械臂運動及使用壽命等的影響， 判斷該軌跡規(guī)劃方法是否適用于機械臂當前的應用場景。

1.2 二三次多項式曲線混合過渡的構造

為降低帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃中沖擊的影響， 可在其拋物線階段與線性插值階段過渡節(jié)點的鄰域內增加一段三次多項式過渡， 使軌跡規(guī)劃曲線在獲得平滑的角度、角速度的同時，保證角加速度連續(xù)，進而削弱沖擊造成的影響。該方案可被稱為“帶二三次多項式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃”，其角度、角速度、角加速度及角加加速度曲線如圖2 所示。

圖2 帶二三次多項式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃角度、角速度、角加速度及角加加速度示意圖

圖中tb時刻為三次多項式與二次多項式銜接時刻，tc時刻為二次多項式與線性插值銜接時刻。其中tm=tf/2，tn=tc/2。

根據tc時刻速度連續(xù)，有：

角度值θc：

將式（1）、式（2）與式（3）聯(lián)立，且有θm=θf/2，得：

求解式（4）得

為保證tc≤tf/2，需滿足：

此時tc必有實解。

為保證tb≤tc/2，需滿足：

當式（6）取等時，線性段消失，路徑完全由三次多項式與二次多項式構成。

當式（7）取等時，二次段消失，路徑完全由三次多項式與線性段構成。

當tb=0，即加加速度無限大時，該軌跡規(guī)劃方案退化為帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃。

2 推導軌跡方程

帶二三次多項式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃可將軌跡方程分為七段，現(xiàn)用θ（1）～θ（7）對七段軌跡進行表示。其中tb在滿足tb≤tf/4 的條件下適當選取，tc由式 （5）得出，在式（6）與式（7）所得出的上下限內選取，。

2.1 第一段曲線

當0≤t≤tb時，角加速度增大，軌跡曲線為三次多項式：

有邊界約束條件：

將式（9）代入式（8）解得軌跡曲線系數：

2.2 第二段曲線

當tb≤t≤tc-tb時，角加速度保持，軌跡曲線為二次多項式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（11）代入式（10）解得軌跡曲線系數：

2.3 第三段曲線

當tc-tb≤t≤tc時，角加速度降低，軌跡曲線為三次多項式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（13）代入式（12）解得軌跡曲線系數：

2.4 第四段曲線

當tc≤t≤tf-tc時，該階段為線性段，軌跡曲線為：

為保證角度與速度連續(xù)，有約束條件：

將式（15）代入式（14）解得軌跡參數：

2.5 第五段曲線

當tf-tc≤t≤tf-tc+tb時，角加速度增加，軌跡曲線為三次多項式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（17）代入式（16）解得軌跡參數：

2.6 第六段曲線

當tf-tc+tb≤t≤tf-tb時，角加速度保持，軌跡曲線為二次多項式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（19）代入式（18）解得軌跡參數

2.7 第七段曲線

當tf-tb≤t≤tf時有，角加速度降低，軌跡曲線為三次多項式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（21）代入式（20）解得軌跡參數

可得出，在七段軌跡中，關節(jié)產生的最大角速度：

最大角加速度：

3 在機械臂軌跡規(guī)劃中的應用

本文選用丹麥優(yōu)奧機器人公司生產的UR10 機器人為研究對象，其技術參數如下：有六個自由度，有效負載約10kg，有效工作半徑為1300mm，所有關節(jié)的運動范圍是±360°，均為旋轉關節(jié)[11]。該機械臂各關節(jié)坐標系及D-H參數如圖3 及表1 所示。

表1 UR10 機械臂D-H 參數表

圖3 UR10 的各關節(jié)坐標系

六個關節(jié)的啟停時刻的角度如表2 所示。 時間設置為4s，指定啟停時刻角速度、角加速度均為0，則針對機械臂關節(jié)分別應用帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法和二三次多項式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法針對關節(jié)角度與角加速度的仿真結果如圖4 與圖5 所示。各關節(jié)角度與角加速度分別用θ1～θ6、α1～α6表示，虛線部分為帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法，實線部分為本文方法。

表2 關節(jié)啟停時刻角度

圖4 各關節(jié)角度變化曲線

圖5 各關節(jié)加速度變化曲線

由圖4 可知，兩種方法在起始點和終止點間運行時間基本一致，且由初始值逐漸變化至終止值，軌跡規(guī)劃均符合要求。

由圖5 可知， 若采用帶有拋物線過渡的線性插值方法， 在加速階段與速度保持階段的過渡時刻加速度會產生跳變，對機械臂關節(jié)造成較大沖擊。本文方法則通過增加三次曲線過渡，使加速度連續(xù)變化，減弱了沖擊對關節(jié)的影響。

4 結論

本文針對帶有拋物線過渡的線性插值方法在拋物線段與線性段銜接時刻加速度產生跳變， 對關節(jié)產生過大沖擊的問題， 提出了二三次多項式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法，并推導出了該方法的軌跡方程參數，給出了其相關參數的選取建議。 雖然本文給出方法相對帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法提升了軌跡方程的復雜度， 但是有效降低了軌跡規(guī)劃中沖擊對機械臂關節(jié)的影響，為軌跡規(guī)劃方案的的創(chuàng)新提供了思路。