談2023年福建省檢第21題的一題多解及拓展延伸

唐 洵

(福建省福清第三中學 ,福建 福清 350000)

題1(福建省2023屆高中畢業班適應性練習21)已知圓A1:(x+1)2+y2=16,直線l1過點A2(1,0)且與圓A1交于點B,C,BC中點為D,過A2C中點E且平行于A1D的直線交A1C于點P,記點P的軌跡為Γ.

(1)求Γ的方程;

(2)坐標原點O關于A1,A2的對稱點分別為B1,B2,點A1,A2關于直線y=x的對稱點分別為C1,C2,過點A1的直線l2與Γ交于點M,N,直線B1M,B2N相交于點Q.請從下列結論中,選擇一個正確的結論并給予證明.

①△QB1C1的面積是定值;

②△QB1B2的面積是定值;

③△QC1C2的面積是定值.

1 解法探究

1.1 第(1)問解析

解析(1)作出圖形如圖1所示,由題意得,A1(-1,0),A2(1,0).

圖1 第(1)問解析示意圖

因為D為BC中點,

所以A1D⊥BC.

即A1D⊥A2C.

因為PE∥A1D,

所以PE⊥A2C.

因為E為A2C的中點,

所以|PA2|=|PC|.

所以|PA1|+|PA2|=|PA1|+|PC|=|A1C|=4>|A1A2|.

所以點P的軌跡Γ是以A1,A2為焦點的橢圓(左、右頂點除外).

注由于第(1)問較為簡單,僅給出參考答案如上;在求解第(2)問之前,先作圖2.

圖2 第(2)問示意圖

1.2 第(2)問解析

(2)結論③正確;下證:△QC1C2的面積是定值.依題意,B1(-2,0),B2(2,0),C1(0,-1),C2(0,1).

將x1,y1代入上式整理,得

則x0=-4.

故點Q在直線x=-4上.

所以點Q到C1C2的距離d=4.

整理,得(3m2+4)y2-6my-9=0,

△=36m2+36(3m2+4)=144(1+m2)>0.

設M(x1,y1),N(x2,y2),則

=-4,

故點Q在直線x=-4上.

所以點Q到C1C2的距離d=4.

解得xQ=-4,故點Q在直線x=-4上.

所以點Q到C1C2的距離d=4.

解法3(平移齊次化[2])設Q(x0,y0),直線MN:x+my+1=0(m≠0),

而直線MN的方程向右平移兩個單位后得到x+my=1,則3x2-12x(x+my)+4y2=0.

故kB1M,kB1N可以看作是上述方程的兩根.

解得x0=-4.

故點Q在直線x=-4上.

所以點Q到C1C2的距離d=4.

解法4 (斜率雙用)設Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),直線B1Q的斜率

①

直線B2Q的斜率

②

x2y1-2y1=λx1y2+2λy2.

③

由橢圓的第三定義可知,

④

⑤

將①代入④,得

⑥

將②代入⑤,得

⑦

整理,得x1y2-2y2=λx2y1+2λy1.

⑧

③-⑧,得

(λ+1)(x2y1-x1y2)=(2λ-2)(y2-y1).

⑨

而M,A1,N三點共線,得

即x2y1-x1y2=y2-y1.

⑩

聯立⑨⑩,解得λ=3,

解得x0=-4,故點Q在直線x=-4上.

所以點Q到C1C2的距離d=4.

兩式相減,得

=1-λ2.

整理,得x1-λx2=4λ-4.

而x1+λx2=-1-λ,

兩式相除,得

解得x0=-4.

故點Q在直線x=-4上.

所以點Q到C1C2的距離d=4.

解法6 (二次曲線系) 設直線B1M:k1x-y+2k1=0,直線B2N:k2x-y-2k2=0,直線B1B2:y=0,直線MN:x-my+1=0,則過M,N,B1,B2四點的二次曲線系方程為(k1x-y+2k1)(k2x-y-2k2)+λy(x-my+1)=0.

兩式相減,得x=-4.

故點Q在直線x=-4上.

所以點Q到C1C2的距離d=4.

2 拓展延伸

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

通過對比不難發現,題1與題2有著異曲同工之妙,綜合兩個問題,我們可以得到如下結論:

證明設直線AM:k1x-y+ak1=0,直線BN:k2x-y-ak2=0,直線B1B2:y=0,直線MN:x-my-t=0,則過M,N,B1,B2四點的二次曲線系方程為(k1x-y+ak1)(k2x-y-ak2)+λy(x-my-t)=0.

展開得k1k2x2+(1-λm)y2+(λ-k1-k2)xy+(-λt-ak1+ak2)y-a2k1k2=0.

3 結束語

結論2、3、4的證明與結論1類似,這里不再贅述;對于焦點在y軸上的橢圓,也有類似結論,有興趣的讀者可以自行歸納整理.

進一步剖析結論的背景,可以看出兩個問題出自“極點極線定理”: