深度思考探本質 拓展變式提能力

楊媛媛 田萬華

(湖北省赤壁市第一中學,湖北 赤壁 437300)

圓錐曲線是代數和幾何的交匯,往往是數與形的結合,以及動點與定點的結合問題.特別是在定點、定值問題中有很好的體現.而且,很多試題背后都隱藏著一般性結論.在教學中,教師需要深度思考問題本質,變式拓展提高學生的能力.

1 試題呈現

(1)求橢圓E的標準方程;

2 試題解析

(m2+4)y2-(2m+8)y+1=0.

3 拓展探究

思考1 本題中本質上為兩個定點、一個定值問題,是否隱藏著某種定點或定值的模型.結合本題定點T(0,-1)恰好是橢圓的下頂點,因此,筆者首先提出以下問題:

因為b2x2+a2y2-a2b2=0,

所以b2x2+a2(y+b)2-2a2b(y+b)=0.

所以b2x2+a2(y+b)2-2a2b(y+b)·[mx+n(y+b)]=0.

當換成其他頂點時,同理可證直線l過定點,因此得到以下性質:

思考2 通過以上的探究,當定點取橢圓的頂點時,模型中的直線均過定點.如果定點取橢圓上的任意一點時,模型中的直線是否也過定點?因此,筆者提出以下問題:

所以b2(x-x0)2+a2(y-y0)2+2b2x0(x-x0)+2a2y0(y-y0)=0.所以b2(x-x0)2+a2(y-y0)2+2b2x0(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)]+2a2y0(y-y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=0.

所以2m[b2x0(x-x0)-b2λx0(y-y0)-a2y0(y-y0)]=b2λ(y-y0)+2b2x0.

前文中的四條性質是它的特殊情況,由于此一般性結論的形式比較復雜,求解的計算量也較大,所以試題常結合前四條性質進行考查[1].

4 試題變式

基于上述性質,可將2023屆武漢市九月調研考試21題做如下變式進行考查,也可結合雙曲線、拋物線進行類似的考查.

5 結束語

“掌握數學本質,啟發思考,改進教學”是高中數學課程的基本理念.教學過程中,面對各式各樣的試題,教師要善于展開解題探究和歸納總結,通過問題探究、拓展變式加深學生對數學知識的理解,形成良好的認知結構,促進模型的構建和方法的掌握.這樣的教學過程,不僅有利于促進學生遷移能力的形成和發展,還有利于發散性思維能力的培養和提高.