導數及應用求解中的“誤區(qū)警示”

2024-02-04 03:57:36侯有岐

數理化解題研究 2024年1期

侯有岐

(漢中市四○五學校,陜西漢中 723312)

導數是研究函數的重要工具,在歷年高考中都占據著重要的地位,而且這部分知識既有難度較大的填空題,也有計算繁瑣的解答題.由于學生對一些概念理解不透、審題不嚴、考慮不周或忽視結論成立的條件等產生思維混亂,導致求解失誤．本文對導數及應用求解中的常見誤區(qū)分類例析,剖析其出錯的原因,并給出警示,希望能引起同學們的高度重視.

1 對導數的定義理解不到位致錯

所以f′(1)=-2.

剖析在導數定義中,增量△x的形式是多種多樣的,但無論如何變化,其實質是分子中x的增量與分母中x的增量必須一致,否則必須通過一些恰當的變形使之一致．本例分子中x的增量為2Δx(即1+2Δx-1=2Δx),而分母中x增量為Δx[1].

2 忽視函數的定義域致錯

警示解決函數類問題一定要養(yǎng)成“定義域優(yōu)先”的習慣,否則很容易造成解題錯誤.

3 復合函數的求導不徹底致錯

警示復合函數求導時,選擇中間變量是關鍵,必須正確分析復合函數的復合層次,然后從外向里逐層求導,求導后,要把中間變量轉換成自變量的函數．出錯原因往往是由于在復合函數求導時,復合過程劃分不徹底產生的.

4 混淆“過某點”的切線與在“某點處”的切線

例4 求過點A(2,-2),且與曲線f(x)=3x-x3相切的直線方程．

錯解經檢驗點A(2,-2)在曲線f(x)上,求導得f′(x)=3-3x2,所以切線的斜率為f′(x)=-9,故切線方程為y+2=-9(x-2),即9x+y-16=0.

剖析錯解混淆了“過某點”與“在某點”處的切線的概念,盡管點A在曲線上,但題目要求的是“過”點A的切線,因此應考慮A(2,-2)是切點和不是切點兩種情況,所以用“切點待定法”求解.

則在點M處的切線方程為

因為點A(2,-2)在切線上,將點A(2,-2)代入得

即(x0+1)(x0-2)2=0.

解得x0=-1或x0=2.

所以切線方程為y=-2或9x+y-16=0.

警示(1)曲線的切線不一定和曲線只有一個交點;(2)“在”某一點的切線和“過”某一點的切線是兩個不同的概念;(3)“在”某一點的切線若有則只有一條,而“過”某一點的切線往往不只是一條,一般用“切點待定法”求解,如本題.

5 混淆“導數為0”與“有極值”的邏輯關系

例5已知函數f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1處取得極值0,則m+n=( ).

A. 4 B. 11 C. 4或11 D. 3或9

故m+n=4或11.故選C.

剖析錯解對“導數為0”與“有極值”的邏輯關系分辨不清,把“極值點”等同于“導數的零點”,沒有把求出的m,n值代入檢驗.事實上,f′(x)=0的點只是可導函數f(x)極值點的必要不充分條件.

令f′(x)>0,得x<-3或x>-1;

令f′(x)<0,得-3

所以f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上單調遞增,在(-3,-1)上單調遞減,符合題意．

則m+n=2+9=11.故選B.

警示f′(x0)=0是可導函數f(x)在點x0處取得極值的必要不充分條件,導數為0的點只是可導函數存在極值的可疑點,若它的兩側導數異號,它才是函數的極值點;若它的兩側導數同號,則不為極值點,所以在求得導數為0的點后,還要進行檢驗,否則容易出錯.

6 混淆“導數值的正負”與“函數增減性”的邏輯關系

例6 已知函數f(x)=-x3+ax2+4x(a∈R),若f(x)在區(qū)間(0,2)上是單調遞增的,求實數a的取值范圍.

錯解因為f(x)=-x3+ax2+4x(a∈R),

所以f′(x)=-3x2+2ax+4.

由于f(x)在區(qū)間(0,2)上單調遞增,

所以有f′(x)>0在(0,2)上恒成立.

所以g(x)在(0,2)上單調遞增.

故實數a的取值范圍為(2,+∞)．

剖析錯誤之處就是忽視了f′(x)=0的情況.事實上,當f′(x)在某個區(qū)間內的個別點處為零,其余點處為正(或負)時,f(x)在這個區(qū)間上仍然是單調遞增(或遞減)函數,故應令f′(x)≥0在(0,2)上恒成立．

正解因為f(x)=-x3+ax2+4x(a∈R),

所以f′(x)=-3x2+2ax+4.

由于f(x)在區(qū)間(0,2)上單調遞增,所以有f′(x)≥0在(0,2)上恒成立.

所以g(x)在(0,2)上單調遞增.

故實數a的取值范圍為[2,+∞)．

警示由函數的單調性、極值等問題求解參數的取值范圍是高考命題的一個重點.解決此類問題的關鍵在于正確理解單調性、極值的概念和其求解、判斷的方法.要注意以下細節(jié)問題:

(1)f′(x)>0(f′(x)<0)(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)上單調遞增(減)的充分不必要條件.實際上,可導函數f(x)在(a,b)上為單調遞增(減)函數的充要條件為:對于任意x∈(a,b),有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為0.因而這類題求出參數范圍后,應對“=”成立的值進行檢驗,看是否符合題意;(2)解題中對“恒成立、能成立、恰成立”等概念區(qū)分不清也易致錯.

7 誤認為函數的極值只能在導數為零的點處取得

當x=2時,f′(x)不存在,因此,f(x)在x=2處不可導.

所以f(x)無極值.

剖析在確定極值時,只討論滿足f′(x)=0的點x0附近導數的符號變化情況是不全面的,在導數不存在的點處也可能存在極值[2].

當x=2時,f′(x)不存在,因此,f(x)在x=2處不可導.

但當x<2時,f′(x)>0;當x>2時,f′(x)<0,且函數f(x)在x=2處有定義.

所以f(x)在點x=2處取得極大值,且極大值為1.

警示可導函數的極值點一定是其導數為零的點;反之,導數為零的點不一定是該函數的極值點.因此,導數為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是這點兩側的導數異號.另外,使f′(x)無意義的點也要討論,因為不可導點也可能是極值點.

8 隱含條件利用不充分致錯

錯解f′(x)=x3+bx2-(2+a)x+2a,由f′(1)=0,得b=1-a.

所以g′(x)=x3+bx2-(a-1)x-a=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).

因為x2+x+1>0,所以,當x

所以a-6<2a-3≤a,即-3

故所求a的取值范圍為(-3,3].

剖析上述解法的錯誤之處是沒有充分挖掘題目的隱含條件a≠1,造成擴大a的取值范圍的情況.事實上,由f′(1)=0,得b=1-a,此時,f′(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a),當a=1時,f′(x)=(x-1)2(x+2),函數f(x)在x=1處沒有極值.

正解f′(x)=x3+bx2-(2+a)x+2a,由f′(1)=0,得b=1-a.

所以f′(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a).

如果a=1,那么x=1就只是使導函數值為0的點而非極值點,故b=1-a且a≠1.

g′(x)=x3+bx2-(a-1)x-a=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).

因為x2+x+1>0,所以,當x

所以a-6<2a-3≤a,即-3

綜上可知,a的取值范圍為(-3,1)∪(1,3].

警示研究函數的極值與其導函數的關系時,求出f′(x)的零點后,要判斷導函數在零點兩側的函數值符號.若符號相反,則該零點是可導函數f(x)的極值點;若符號相同,則不是極值點.解本題時易忽視a≠1.因此,題目中的隱含條件能否挖掘徹底、利用是否充分,往往是我們成功解題的關鍵.

9 混淆函數的“單調區(qū)間是”與函數“在區(qū)間上單調”致錯

A．a∈(-∞,-3] B．a=-3

C．a=3 D．a∈(-∞,3]

則a≤-3.故選D.

剖析混淆函數的“單調區(qū)間是”與函數“在區(qū)間上單調”的區(qū)別致誤.

警示在解決與函數的單調性有關的問題時要注意下列幾個概念的區(qū)別:“在區(qū)間上單調”指該區(qū)間是函數相應單調區(qū)間的子區(qū)間;“單調區(qū)間是”指該區(qū)間就是函數的相應最大單調區(qū)間;“存在單調區(qū)間”指該區(qū)間內有相應單調性,也可能有別的單調性,即該區(qū)間內可能既有增區(qū)間,也有減區(qū)間.