改進粒子群算法在六軸機械臂關節空間軌跡規劃中的應用

杜超斐,劉 睿,丁 軍,黃 霞,金 輝

(重慶理工大學 機械工程學院, 重慶 400054)

0 引言

機械臂軌跡規劃是關于機械臂的重要研究內容,其規劃的合理性決定了機械臂是否可以完成目標任務,也對機械臂工作時運行的穩定性有很大的影響。機械臂的軌跡規劃分為笛卡爾空間軌跡規劃及關節空間軌跡規劃,笛卡爾空間軌跡規劃需要把軌跡上的所有點進行逆運動學求解,運算量極大,而關節空間軌跡規劃只需把起始點、路徑點和終止點進行逆運動學求解[1-2]。笛卡爾空間軌跡規劃多用于機械臂路徑規劃,如劉奕[3]針對協作機械臂在進行人機協作時的避障問題,設計了一種基于嵌套模型的深度強化學習算法模型,代替機械臂控制算法的決策避障功能,可有效地使機械臂繞開障礙物到達目標點。梁杰等[4]通過圖像處理提取圖片的灰度邊緣作為機械臂的運動軌跡,并將一系列連續的軌跡坐標提供給機械臂控制軟件進行末端位姿角度求解,實現機械臂的連續直線或曲線運動。徐亞之[5]在RRT*算法的基礎上,引入一種能夠智能選擇最優樹的雙向搜索策略和基于三角不等式的路徑優化算法,實現了機械臂的避障運動。李浩[6]通過學習人類控制策略,采用高斯混合模型進行學習建模,擬合出機械臂的可行采樣空間,用基于采樣的運動規劃方法,使機械臂以人類技能的方式完成避障任務。為了避免奇異性的存在與機械臂的冗余問題,在本文中采用關節空間的軌跡規劃。機械臂關節空間的軌跡規劃大多采用的是多項式插值的方法。程浩田等[7]采用了三次及五次多項式插值對六軸機械臂進行了關節空間軌跡規劃,發現三次多項式插值容易導致加速度發生突變,引起機械臂的震動,而五次多項式插值可以使機械臂關節角加速度曲線平滑且連續。張蕾等[8]采用七次多項式插值進行了關節空間軌跡規劃,實現了機器人平穩且連續的運行。然而,高階多項式插值雖然可以極大地滿足機械臂的運行約束,保證機械臂運行的平穩性,但是凸包性過大,計算量太大,所以分段低次多項式插值方法被引入。唐建業等[9]使用了4-4-7-4分段多項式插值的方法,實現機械臂平穩性和運行時間的綜合最優,但高階多項式運算量太大。Xu等[10]提出了3-5-3分段多項式插值對機械臂軌跡進行規劃,但不能實現機械臂運行時間的優化。而智能優化算法可以求解一些優化問題,如Cao等[11]針對Zr-4合金冷軋力模型的預測精度對Zr-4合金帶材厚度和形狀的控制精度的影響,采用粒子群優化算法對核電用Zr-4合金的摩擦因數模型進行了優化與研究。梅澤迅等[12]針對柵瓣問題對光學相控陣激光雷達系統性能的限制,提出了一種基于引入自適應參數優化、擾動策略和最優保留策略的改進粒子群算法的柵瓣優化方法,有效改善了柵瓣問題。為了對機械臂軌跡規劃的時間進行優化,一些學者也引用智能優化算法對其進行優化,比如粒子群算法、遺傳算法等。Li等[13]利用三次多項式插值,通過遺傳算法得到了路徑點之間的最短時間間隔,但低次多項式會導致加速度發生突變。江鴻懷等[14]提出使用粒子群算法對五自由度機械臂軌跡規劃進行優化,使機械臂工作時間達到最優。付榮等[15]根據機械臂的速度約束,提出了基于粒子群優化的時間最優分段多項式插值軌跡規劃算法。但傳統的群智能優化算法在運行的穩定性上較差,容易過早收斂,陷入局部最優。Clerc等[16]提出利用約束因子來控制算法的收斂,可以使粒子有效的搜索到不同的區域,具有更快的收斂速度,但單一的約束因子無法適用于所有問題,在一些對約束因子不敏感的問題上,依然存在較大的缺陷。韓順杰等[17]提出了用動態調節學習因子的改進粒子群算法對工業機器人的軌跡進行優化,加快了迭代速度,但對于學習因子參數的選擇較為困難。王炳祺等[18]針對傳統粒子群算法容易陷入局部最優解,導致種群早熟等問題,參考遺傳算法中的變異操作,提出帶變異因子的粒子群算法,但引入了更多的參數,增加了算法結構的復雜度。黃開啟等[19]針對鑿巖機械臂工作效率低、運行不穩定的問題,提出一種自適應慣性權重和動態調整學習因子相結合的粒子群算法,解決了標準粒子群算法容易陷入局部極值和收斂速度慢的問題,但計算開銷較大,會增加算法的運行時間。石憲閃等[20]提出了一種采用自適應慣性權重的改進粒子群算法,并且以非線性學習因子代替固定的學習因子,有效提高算法的收斂速度和求解精度,但參數較多,不易選擇合適的值。

針對傳統粒子群算法在優化機械臂軌跡規劃時間問題上的不足,本文提出了一種在滿足機械臂運行速度、加速度以及變加速度的約束條件下,利用引入了自適應慣性權重以及概率突跳特性的改進粒子群算法,對3-5-3分段多項式的插值時間進行優化的軌跡規劃方法。首先,構造了3-5-3分段多項式插值函數,其次,利用三段插值時間構建了目標函數,最后在滿足預定的約束條件下,以時間最優為目的,通過改進的粒子群算法對各段插值時間進行了優化,使機械臂的運行時間達到最優,且增加了機械臂運行時的平穩性。

1 改進粒子群算法

1.1 標準粒子群算法

標準粒子群算法是一種模擬鳥群覓食行為的群體智能算法,該算法通過群體中領導者的引導和信息共享,實現優化問題的求解,其思想是在一個D維的目標搜索空間中,初始化i個粒子,每個粒子在搜索空間中單獨的搜尋最優解,為尋找到群體的最優值,所有的粒子進行不斷迭代,通過跟蹤個體極值和群體極值更新自身的位置與速度,其更新通過式(1)進行:

(2)

通過式(1)可知,在粒子不斷迭代過程中,所有的粒子都是只向個體極值和群體極值的方向進行更新,這就導致粒子群體在后期迭代向著同一位置更新,迭代速度緩慢,而且容易陷入局部極值,使得粒子群的全局尋優能力下降。

1.2 改進粒子群算法

標準粒子群算法需要設定的參數(慣性權重ω,影響因子c1、c2)是固定值,不利于找到待優化模型的最優參數,而且對于不同的優化問題,由于其粒子的位置變化缺少隨機性,容易陷入局部最優,因此,不能保證優化的結果每次都收斂到全局最優,為了彌補粒子群算法的缺陷,對標準粒子群算法首先引入自適應慣性權重法,使得慣性權重隨著迭代次數不斷進行調整,加快粒子的尋優速度,其次,引入模擬退火算法中的概率突跳特性,使迭代中的粒子能夠以一定的概率接受適應度較差的新解,避免粒子在迭代時陷入局部最優。

1.2.1 自適應慣性權重代替常數權重

對于標準粒子群算法,其所有粒子的慣性權重ω為定值,一般在0.4～0.9之間效果較好,但隨著粒子不斷地迭代更新,固定值的慣性權重在粒子搜索的過程中存在不少缺陷。較大的慣性權重有利于全局搜索,但會導致收斂速度較慢且精度不高,較小的慣性權重有利于局部搜索,但會導致算法因全局搜索不全面陷入局部最優。因此,用自適應慣性權重代替常數權重,慣性權重會根據迭代次數自適應調整大小,以動態平衡全局與局部搜索能力,在此基礎上,對隨機數r1、r2進行改進,替換為動態值γ,動態值γ會根據粒子迭代次數調整個體最優位置以及群體最優位置對粒子迭代的影響,使粒子更好地尋優,粒子開始迭代時,個體最優位置影響較大,隨著不斷地迭代,所有粒子會逐漸向群體最優位置逼近,以達到更好的收斂效果,更新后的速度迭代公式為:

(5)

1.2.2 引入概率突跳特性

標準粒子群算法在每一次迭代過程中,當新解優于當前解時,新解被接受,而當新解差于當前解時,新解被拒絕,導致粒子可能錯失新解周圍的優解,因此基于粒子群算法結合了模擬退火算法中的“概率突跳特性”[21],可以正好彌補標準粒子群算法容易陷入局部最優的缺陷。這個特性由Metropolis準則體現,它是模擬退火算法中一個重要的思想,即通過接受概率來決定是否接受比當前解更差的解。在每次迭代中,算法會根據當前解和候選解之間的差異以及當前溫度計算一個接受概率。接受概率越高,越有可能接受候選解;反之,接受概率越低,越有可能保持當前解,這個特性可以使粒子具有隨機性,以一定的概率接受迭代后適應度差的新解,幫助粒子跳出局部最優,向全局最優解逼近。解的接受程度用Metropolis準則來定義,如式(6)。

(6)

式中:P為接受新解的概率;fid為新解;fgd為當前解;T為降溫公式。

2 時間最優機械臂軌跡規劃

2.1 構造3-5-3樣條插值函數

使用單次的多項式插值對機械臂進行關節空間軌跡規劃時會產生很多問題,如三次多項式插值可能會導致機械臂關節的角速度、角加速度發生突變,使機械臂運行的穩定性及使用壽命受到影響,而較高次數的多項式插值可能會引起“龍格現象”,影響插值的效果,所以本文采用分3段低次多項式插值的方法,第1段和第3段為三次多項式插值,而第2段為五次多項式插值,對于多項式插值函數,一階導數表示速度,二階導數表示加速度,三階導數表示變加速度,3-5-3樣條插值多項式表達式如下:

h1(t)=a13t3+a12t2+a11t+a10

(7)

h2(t)=a25t5+a24t4+a23t3+
a22t2+a21t+a20

(8)

h3(t)=a33t3+a32t2+a31t+a30

(9)

式中:h1(t)、h2(t)、h3(t)分別代表每個關節第1段的三次多項式軌跡,第2段的五次多項式軌跡,第3段的三次多項式軌跡;未知系數a1i,a2i,a3i代表每個關節軌跡第1、2、3段多項式的第i個系數。用Cj表示3段多項式插值對應的4個插值點,其中,j=0,1,2,3,給定3-5-3樣條插值多項式的約束條件:已知條件是各關節的起始點C0,中間點C1和C2,終止C3;起始點C0和終止點C3的速度、加速度均為0;中間點C1和C2的位移、速度及加速度連續。根據以上的約束條件得出的約束方程表達為矩陣的形式,如式(10)—式(12)。

(12)

式中:A表示系數矩陣;c表示已知項,即插值點;a表示3段多項式系數矩陣;t1、t2、t3分別為3段插值時間。

2.2 目標函數的構建

機械臂軌跡規劃在時間上的優化就是對各個關節的運行時間進行優化,首先使用設定的數學模型對機械臂的工作路徑進行插值,然后通過優化算法使各個關節在插值點之間的運行時間最少。本文主要研究機械臂在滿足運動學約束條件下,利用改進的粒子群算法在最短時間內使機械臂的路徑經過插值點完成運動。設定的數學模型如下:

(14)

式(13)為適應度函數,式(14)為約束條件;tic(c=1,2,3)是第i個關節的3段插值時間;vic(c=1,2,3)是第i個關節的運行速度;aic(c=1,2,3)是第i個關節的運行加速度;jic(c=1,2,3)是第i個關節的運行變加速度;vmax是各個關節的最大運行速度;amax是各個關節的最大運行加速度;jmax是各個關節的最大運行變加速度。

2.3 時間最優問題求解

對于傳統的3-5-3分段多項式插值,其3段插值時間值需要提前設置,但并沒有嚴格的規定,這就導致時間設置具有隨機性,如果選取的時間太短,可能會導致機械臂的關節運行速度或加速度太大,超出其本身的設定值,對機械臂的壽命造成影響;如果選取的時間太長,又會導致機械臂工作的效率大大降低。所以在時間優化上,可以采用智能優化算法。而粒子群優化算法結構簡單,在逼近最優解時速度很快,所以,可以將3段插值時間的總和作為優化參數,將改進的粒子群算法應用到時間最優機械臂軌跡規劃上,在滿足約束條件的基礎上,對機械臂的每個關節進行優化,通過粒子的迭代更新優化自變量,尋找時間的最優解。算法的具體流程如圖1。

圖1 本文所提算法流程框圖

3 仿真與實驗結果

本文中研究的是xArm6機械臂,其整體結構的主要尺寸及坐標系建立如圖2所示。

圖2 xArm6機械臂示意圖

運動學分析是機械臂軌跡規劃的基礎,機械臂的運行是在已知目標位置的三維位姿后,通過運動學求逆得到各關節的位置變化實現的,首先采用標準DH法對xArm6機械臂進行運動學建模,其DH參數如表1所示。

表1 xArm6機械臂DH參數

機械臂工作空間是指機械臂末端執行器運動描述參考點所能達到的空間點的集合。在規劃機械臂任務時,首先需要知道機械臂末端執行器運動的可達空間,同時需要驗證運動學模型的正確性,因此,用Matlab軟件里的機器人工具箱(Robotics Toolbox)對xArm6機械臂進行建模,并且獲取其工作空間,如圖3(a)、圖3(b)所示,同時通過對機械臂的正逆運動學分析驗證了建模的正確性。

圖3 xArm6機械臂建模及4個插值點示意圖

在使用分段多項式插值對機械臂進行軌跡規劃時,需要在笛卡爾系中預先給定4個插值點,再根據逆運動學求解機械臂末端位于各插值點時,其6個關節的角度值。機械臂末端在笛卡爾系下的起始點Pstart、中間點P1和P2及終止點Pend如圖3(c)所示。通過運動學逆解得到機械臂末端位于4個插值點時的關節角度值,如表2所示。目標函數的構建需要滿足機械臂的運動學約束條件,機械臂的運動參數范圍如表3所示。

表2 關節角度值 (°)

表3 運動參數范圍

為驗證改進粒子群算法的有效性,以一關節為例,分別用標準粒子群算法和改進粒子群算法對一關節進行了插值時間的優化,并且對迭代過程進行了比較,2種算法的迭代收斂曲線如圖4所示。

圖4 迭代收斂曲線

由圖4可知,用改進粒子群算法和標準粒子群算法對一關節進行時間優化時,改進粒子群算法在迭代25次左右就開始收斂至漸進最優值,而標準粒子群算法需要迭代65次左右,可見改進粒子群算法效率提升了61.54%,并且由于粒子群算法本身存在的固有缺陷,標準粒子群算法容易陷入局部最優,可能無法找到時間的最優值,改進粒子群算法則因加入了概率突跳特性,增強了粒子全局尋優的能力。文獻[18,23]均以六軸機械臂為研究對象,采用3-5-3分段多項式插值,用各自的改進優化算法對各段插值時間進行優化,現以改進后算法的迭代次數下降百分比為指標,將本文中改進粒子群算法與文獻[18,23]提出的算法進行比較,如表4所示。

表4 迭代次數下降比

從表4中可看出,本文改進后算法的迭代次數下降比最高,可見本文改進粒子群算法的優化效果更好,在迭代速度和收斂精度上均高于標準粒子群算法。

根據時間最優問題求解的步驟,機械臂每個關節的運行時間進行優化,優化后的3段插值時間值及總時間如表5。

表5 優化后的時間 s

機械臂的最終運行時間要選取各關節在各段時間中的最大時間值的總和,其中,第1段的最大時間值t1=1.209 4 s,第2段的最大時間值t2=0.971 1 s,第3段的最大時間值t3=1.294 3 s,則優化后機械臂的最終運行時間T=t1+t2+t3=3.474 8 s,即各個關節的位置、速度、加速度以及變加速度隨時間的的變化趨勢如圖5—圖9。

圖5 關節1—6的粒子位置進化曲線

圖6 各關節位置曲線

圖7 各關節速度曲線

圖8 各關節加速度曲線

圖9 各關節變加速度曲線

在3段插值時間的目標搜索空間中,每段插值均有20個粒子,對每段插值中的某個粒子的位置變化進行跟蹤,粒子每迭代2次標記一次,迭代100次后,得到各個關節的粒子位置進化圖如圖5,可以看出各關節的粒子可以隨著迭代次數的增加快速收斂,且處于3段插值時間的粒子均在迭代50次以內就可以收斂至時間的最優位置,極大提升了算法的效率。最后再通過每段時間中各關節的位置變化,求得機械臂的最終運行軌跡曲線,如圖10(a)所示,圖10(b)—圖10(d)是機械臂模型跟隨軌跡從插值點Pstart～P1～P2～Pend運動的過程,圖10(e)—圖10(g)是仿真機械臂同步運行的過程。

圖10 優化后機械臂的運行軌跡

從圖5—圖9可以看出,機械臂6個關節在滿足運動學約束條件下的位置變化、速度變化、加速度變化連續且平滑,可以增加機械臂運行過程的穩定性;而且每個關節運行的速度、加速度以及變速度都在預先設定的約束范圍內,并且盡可能接近約束范圍的極限,避免機械臂超負荷工作,有利于提高機械臂的壽命、減小機械臂的運行時間;其中第3關節、第4關節及第6關節整體的速度和加速度較高,極大地提高了機械臂運行的效率,而由于3-5-3多項式插值函數本身的性質,導致變加速度存在一定的不連續性,若想連續,可以增加多項式的次數,但又會導致凸包性大、計算量大等問題。實驗數據表明了在滿足機械臂運行的約束條件下,采用引入了自適應慣性權重及概率突跳特性的改進粒子群算法,對機械臂關節空間中3-5-3分段多項式的插值時間進行優化的軌跡規劃方法是有效的。

4 結論

以xArm6機械臂為研究對象,在機械臂的運動參數滿足所設定的約束條件之下,提出用引入了自適應慣性權重以及概率突跳特性的改進粒子群算法,對機械臂在關節空間中的3-5-3多項式時間插值進行優化。由于傳統的3-5-3多項式插值在時間上難以進行優化,采用算法結構簡單、迭代速度快的智能優化算法,即粒子群算法對其進行優化,但傳統的粒子群算法不僅在后期迭代緩慢,而且容易陷入局部最優值。因此,本文中提出了改進粒子群算法,在傳統粒子群算法的基礎上,引入了自適應慣性權重以及概率突跳特性,經過與傳統粒子群算法的對比,發現改進粒子群算法有更快的迭代速度,最后通過對機械臂的運動仿真及對6個關節的位置、速度、加速度、變加速度隨時間的變化趨勢進行分析,更加驗證了此算法的有效性。

粒子群算法有一定的優勢,但其參數較多,且對于參數的選擇非常敏感,參數的不同會直接導致優化效果不同,在往后的工作中,可以對粒子群算法的參數進一步優化。另外,本文中雖然以實驗室具有的6自由度機械臂為研究對象,但是提出的基于改進粒子群算法的六軸機械臂關節空間軌跡規劃方法,對于其他六軸機械臂,以及多自由度機械臂如5自由度、7自由度機械臂等具有一定的適用性,其他多自由度的機械臂可以用DH法建立其各自的運動學模型,從而求解機械臂末端通過各路徑點時,對應的各關節的角度變化值,進而在滿足不同自由度機械臂的運動學約束條件下,采用本文中的改進粒子群算法對不同關節進行插值時間的優化。同時,本文中以機械臂的運行時間為優化對象,下一步還將對機械臂的沖擊、能量等進行優化。