自適應狀態轉移模擬退火算法及其應用

徐博 韓曉霞 董穎超 盧佳振 武晉德 張文杰

摘 要：狀態轉移模擬退火算法（STASA）作為解決復雜優化問題的有效方法，其搜索效率依賴于搜索算子和參數值的選擇，在一些高維復雜問題上出現效率低下的問題。提出一種自適應狀態轉移模擬退火算法（ASTSA），通過自適應算子和參數選擇策略來提高算法的適用性和求解效率；借鑒群智能算法的均值更新方法對平移算子進行改進，增強算子的搜索特性。通過23個基準測試函數和8個工程設計問題進行實驗驗證并與其他算法對比，證明了ASTSA算法和改進策略的有效性。

關鍵詞：狀態轉移模擬退火算法；自適應策略；連續優化問題；工程設計問題

中圖分類號：TP301.6?? 文獻標志碼：A?? 文章編號：1001-3695（2024）01-022-0150-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.06.0221

Adaptive state transition simulated annealing algorithm and its application

Abstract：State transition simulated annealing（STASA） algorithm has achieved outstanding results in solving complex optimization problems.However，its search efficiency depends on the selection of search operators and parameter values，resulting in low efficiency in some high-dimensional complex problems.This paper proposed an adaptive state transition simulated annealing（STASA） algorithm by introducing adaptive operators and parameter selection strategies to improve the applicability and efficiency of the algorithm.And it improved the translation operator by referring the mean update method of swarm intelligence algorithms to enhance the search characteristics of operator.This paper demonstrates the effectiveness of ASTSA and the improved strategy through experimental validation with 23 benchmark test functions and 8 engineering design problems and comparision with other algorithms.

Key words：state transition simulated annealing algorithm；adaptation strategy；continuous optimization problem；enginee-ring design problem

智能優化算法又稱為元啟發式算法，起源于20世紀50年代的數值優化方法，隨著算力的增強和人工智能的不斷發展，逐漸發展為一種可以自動化地找到最優解的優化算法。智能優化算法具有高效、靈活、全局搜索等特性，可以有效地解決復雜的優化難題。近年來，隨著數據科學和人工智能技術的快速發展，智能優化算法得到了極大的推廣和應用，在工業生產、交通運輸、資源配置等多個領域，智能優化算法已經成為解決優化問題的重要工具之一。

在智能優化算法的研究和發展中逐漸分為四類算法：a）基于自然進化的進化類算法，如遺傳算法GA［1］、差分進化DE［2］等；b）基于生物種群的群智能算法，如粒子群算法PSO［3］、鯨魚優化算法WOA［4］等；c）基于模擬各種物理現象的優化算法，如模擬退火算法SA［5］、引力搜索算法GSA［6］等；d）基于模擬人類智力、行為的優化算法，如帝國競爭算法ICA［7］、頭腦風暴優化BSO［8］等。當然，它們的劃分并非絕對的，如頭腦風暴優化的靈感來源于人類的智力行為，但它同樣屬于群智能算法。

狀態轉移模擬退火（state transition si-mulated annealing，STASA）算法是Han等人提出的一種新的混合智能優化算法［9］，它結合了狀態轉移算法STA［10，11］和模擬退火算法SA的優點，已在PM 2.5濃度預測［12］、化學過程模型優化［13］、MTSP求解［14］等問題中取得了良好的應用。然而，STASA在求解大規模優化問題時出現收斂緩慢的問題，此外搜索算子的固定變換因子也限制了算法的收斂速度以及搜索效率，在搜索中對全局搜索和局部挖掘的劃分不夠明確，導致存在無效搜索。在STA中存在類似問題，Zhou等人［15］設計了一個參數集合來選擇最優參數；進一步，董穎超等人［16，17］使用統計方法自適應調整算子及參數值。

本文針對STASA算法的不足對其進行改進，提出了一種自適應狀態轉移模擬退火算法（ASTSA）。在ASTSA算法中，通過統計方法引入自適應策略，根據算法的求解情況選擇當前最佳的搜索算子及其對應的參數值；對平移算子進行改進，減少隨機性，更好地反映優化問題的收斂方向，以發揮平移算子的搜索特性。最后將ASTSA在23個基準測試函數以及8個工程優化設計問題上進行實驗，證明了其有效性。

1 狀態轉移模擬退火算法

STASA采用與STA相同的狀態轉移算子來生成候選解，并使用SA的Metropolis接受準則作為解的更新策略，提高跳出局部最優的能力。STA是一個基于現代控制理論中狀態空間的相關概念的隨機優化算法，STA使用狀態空間代表優化算法的搜索空間，用“狀態”表示優化問題的解，解的更新過程看作狀態的轉移過程［10］。因此，STA以及STASA生成候選解的統一形式可以使用控制轉移方程表示為

其中：以xk、xk+1表示當前解和新一代解，yk為xk的適應度值，uk為當前狀態與歷史狀態的記錄；Ak，Bk∈RApn×n為隨機矩陣；f（·）表示適應度函數。

1.1 狀態變換算子

用于求解連續問題的STASA有四個狀態轉移算子，分別為旋轉、平移、伸縮以及軸向變換算子，保證了全局搜索能力、局部開發能力以及啟發式搜索能力。

a）旋轉算子。

其中：εα>0為旋轉因子；Rr∈RApn×n是［0，1］內服從均勻分布的隨機矩陣；‖·‖2表示向量的二范數。旋轉算子在以xk為球心、εα為半徑的超球體內產生的候選解均。

b）平移算子。

其中：εβ>0為平移因子；Rt∈RAp為［0，1］內服從均勻分布的隨機數；xk-1表示上一代解；平移變換表示xk沿著xk+1方向進行搜索。

c）伸縮算子。

xk+1=xk+εγRexk（4）

其中：εγ>0為伸縮因子；Re∈RApn×n為隨機對角矩陣，服從標準高斯分布。伸縮算子具有全局搜索能力。

d）軸向變換算子。

xk+1=xk+εδRaxk（5）

其中：εδ>0為軸向變換因子；Rα∈RApn×n為隨機稀疏對角矩陣，只有一個隨機位置不為0，服從標準高斯分布。軸向變換算子可以增強單維搜索能力。

1.2 解的更新策略

STASA算法在原有貪婪策略中引入模擬退火算法SA的更新策略，即在新解更優時，按照貪婪策略直接接收更優解為當前解；而在新解非優時，按照Metropolis準則依概率接收新解。

在STASA中，使用狀態變換算子產生的新候選解稱為狀態集合state，state中最優解記為bestk-1，因此該策略的數學表示為（以求解最小優化為例）

其中：Tk為當前模擬退火的溫度；η為［0，1］內的隨機數。當bestk+1優于xk時，e-（f（bestk+1）-f（xk））/Tk為大于1的值，一定接收新解；而非優時，則依概率接收bestk+1，否則保持xk為下一代解。

2 自適應狀態轉移模擬退火算法

算子是元啟發式算法的重要組成和不同算法之間的主要區分，對待不同的優化問題，不同的算子能夠產生不同的效果。為提高STASA算法的收斂速度、增強搜索能力，并提高算法對不同優化問題的適用性，將自適應策略引入STASA中并對平移算子進行改進。將這種自適應狀態轉移模擬退火算法記為ASTSA。

2.1 自適應調用策略

算子的周期性交替調用策略并不能完全發揮每個算子的搜索能力，導致部分計算資源不能得到充分的利用；此外，算子參數的選擇也會顯著地影響算子的優化性能。本文基于統計方法設計了一個自適應算子和參數選擇策略，引入STASA。自適應調用策略基于統計方法設計了綜合評價指標ρc，包括成功率ρs和下降率ρd兩部分，定義如下：

其中：SE表示搜索強度；Best0表示算子調用前的舊最優解；fBest0表示Best0的適應度值；Ns為適應度值優于fBest0的解的個數；fave表示這Ns個解的平均適應度值。

平移算子只在伸縮、旋轉和軸向變換三個算子發現更優解時調用，因此算子的自適應選擇部分不包含平移算子，其調用規則并不改變。使用ρsE、ρsR、ρsA分別表示伸縮、旋轉、軸向變換算子某次搜索的成功率，ρdE、ρdR、ρdA表示對應的下降率，則伸縮、旋轉和軸向變換三個算子的綜合評價指標ρcE、ρcR、ρcA計算方式如下：

其中：a1+a2=1，a1和a2為重要性系數，一般a1=a2=0.5。式（9）～（11）中，成功率ρs代表當前搜索中更優解所占的比例；下降率ρd反映當前搜索中更優解的平均收斂程度；綜合評價指標ρc越大，表示該算子此次搜索的效果越好。

在自適應策略中分別計算三個算子的綜合評價指標ρc，以確定最優算子，為了充分發揮最優算子的效果，確定算子后會重復調用Tp次。

參數的取值會顯著地影響算子的搜索效果。在算法的自適應策略中，三個算子不再是使用固定的參數，而是設置一個參數集Ω，即在計算綜合評價指標過程中，三個算子分別基于此參數集Ω中每個參數值進行搜索，并根據式（9）～（11）計算ρc，選擇最優算子。

最優參數的選擇與最優算子的選擇在自適應策略中相互貫穿。在確定最優算子后，找到該算子在此次搜索中產生的最優解對應的參數，即確定為最優參數α*，數學表達為

其中：BestOp（）表示最優算子；f（·）表示適應度函數；xk表示當前解。

2.2 改進平移算子

平移算子在搜索過程中利用新最優解的方向信息，若當前解與新最優解的方向能夠很好地反映優化問題的最優收斂方向，則平移算子能夠專一地沿收斂方向進行搜索，搜索效率很高；若此方向與最優收斂方向存在偏差，搜索效率降低。在此借鑒群智能算法中使用種群均值進行輔助更新的思想，對平移算子的搜索方向進行改進。群智能算法在搜索過程中會使用種群內最優個體為產生下一代種群作參考，以求達到最優的搜索效果；也會使用次優個體［18， 19］、種群平均個體［20， 21］等信息以保證算法的穩定性，進而增強搜索效果。

改進后的平移算子以當前解為分界線，比當前解差的候選解記為xworse，優于當前解的候選解記為xbetter，使用xworse和xbetter的位置信息指示平移算子的搜索方向。改進平移算子的數學表達式為

其中：n1和n2分別為劣于、優于當前解的候選解的數量。其余與原平移算子相同。

改進平移算子的搜索方向不再單一地由新最優解確定，而是通過取均值的方式根據更劣解、更優解確定搜索方向。改進平移算子使用更優解的均值來代替單獨的新最優解，減少了搜索方向的誤差，并使用劣解的均值代替原平移算子中的當前解，輔助確定搜索方向。因為劣解的均值與當前解相比更能夠反映優化問題的收斂方向，所以改進平移算子能夠減少原平移算子單一最優解提高搜索方向帶來的隨機性，更準確地反映優化問題的最優收斂方向，以發揮平移算子的搜索特性。

圖1為改進前后平移算子在搜索空間產生新候選解的示意圖，背景為等高線圖（圓心為全局最優），圖中正方形表示原平移算子產生的候選解，三角形表示改進后平移算子產生的候選解，可以看到，沿三角形方向可以更快地接近全局最優。

2.3 算法整體框架

自適應狀態轉移模擬退火算法的流程如圖2所示。在每次迭代中，首先使用自適應策略確定伸縮、旋轉、軸變換算子的綜合評價指標，以確定當前迭代的最優算子以及最佳參數值；為了充分發揮最優算子和參數值的優勢，將其保持運行Tp次，并依據搜索情況調用改進平移算子，以沿收斂方向進行搜索。

2.4 時間復雜度分析

假設目標函數評價單個解的時間復雜度為O（t0），四個搜索算子產生單個解的時間復雜度均為O（t1），目標函數評價次數為FE，則STASA的時間復雜度為O（FE×（t0+t1））。

在算法運行過程中，SE、NO、Tp以及t0、t1均為常數，與STASA相比，ASTSA算法的時間復雜度的量級沒有變化。本次實驗中，SE=100，NO=6，Tp=10，實際時間復雜度僅增加了O（2.86FE）。算法在自適應部分增加了一定的計算量，通過最優算子和參數增強算法的性能。

改進平移算子增加了方向確定部分的計算量，其他均與原平移算子相同。改進平移算子增加計算量的部分包括確定更優解、更劣解，計算均值，因此時間復雜度為O（SE），在實驗中為常數復雜度。

3 仿真實驗及分析

3.1 實驗環境及參數設置

為了驗證ASTSA的有效性，使用23個標準測試函數進行實驗測試，并與STASA、STA、GSA、SCA［22］、WOA、GWO［18］、HGWOP［23］、VAGWO［24］共八個算法進行對比實驗。然后使用八個帶約束的工程設計問題來驗證ASTSA在實際問題中的使用效果。

仿真實驗所有程序均采用MATLAB R2021b進行編寫、運行，運行環境為Windows 10 64位操作系統，硬件平臺為Intel CoreTM i5-7300HQ CPU @ 2.50 GHz。每個算法的搜索強度SE、種群大小均設為100。每個對比算法的參數設置均與其原文保持一致，或者為經典參數設置，詳見表1。

3.2 求解基準測試函數

本節使用基準測試函數對ASTSA進行測試，基準測試函數包括單峰、多峰的情況，F1～F7為單峰、F8～F23為多峰；且函數F1～F13的維度可變，在實驗中均設置為30，F14～F23為固定維。詳細定義如表2、3所示。

測試函數評價次數控制為500 000次，并且每個算法獨立運行30次，記錄其最優值min、30次運行的均值mean和標準差std。并將ASTSA與每個對比算法的30次獨立運行的最優值min進行Wilcoxon符號秩和檢驗（顯著性水平p＜0.05）。

3.2.1 求解結果分析

所有算法的測試結果如表4所示。其中R為Wilcoxon符號秩和檢驗的結果，1、0、-1分別表示ASTSA優于該算法、與該算法效果相同、劣于該算法；RankSum表示與該對比算法在23個測試函數上秩和檢驗的和，反映整體效果。表中粗體表示幾個對比算法在當前測試函數的最優值。

由表4可知，除了F2、F3、F5、F6、F7、F12這六個測試函數以外，ASTSA在其他測試函數上能夠取得最優的結果，并且在12個測試函數上達到了理論最優值，具有足夠的求解精度。除了HGWOP以外，ASTSA與其他對比算法的Wilcoxon秩和檢驗結果RankSum均達到了12以上，且與HGWOP的RankSum也有2，證明ASTSA優于對比算法。

根據“No-free-lunch”準則，ASTSA算法在大部分測試函數上相較于原STASA取得了更好的結果，但也在函數F3上產生了“退步”，求解結果不如原STASA。改進后的ASTSA相對于原STASA的Wilcoxon秩和檢驗結果為18，證明了改進策略的有效性。與HGWOP相比，在23個測試函數中ASTSA占優的有F1～F4、F8～F10、F16、F18、F19、F21；HGWOP占優的有F5～F7、F12～F15、F20、F22，包含單峰可變維度、多峰可變維度以及多峰固定維的情況，沒有明顯的傾向。Wilcoxon秩和檢驗結果為2，ASTSA只是略優于HGWOP。

3.2.2 收斂性分析

圖3為各個算法在部分測試函數（F1、F3、F4、F6、F9、F10）上的對數收斂曲線，分別代表不同的收斂情況。

其中，橫坐標為評價次數，縱坐標為目標函數值的對數；并且每個算法均選取最優的一次進行繪制。在函數F1，ASTSA求解出了最優值，始終穩步收斂但速度相對于GWO和WOA較差；在函數F3，ASTSA沒有達到最優結果，相對于原STASA產生了“退步”；在函數F4，ASTSA求解出最優值且收斂速度最快，但在后期出現了收斂速度減緩的趨勢；在函數F6，ASTSA取得最優結果且收斂速度最快，但其前期收斂迅速而后期出現振蕩的情況，即嘗試“逃離”當前位置，尋找新的最優解，而HGWOP在F6上表現優異；在函數F9，多個算法均得到最優值，其中ASTSA速度最快；在函數F10，盡管ASTSA結果和收斂速度均為最優，但與其他算法一樣在搜索后期陷入停滯。

綜上，ASTSA能夠在大部分基準函數上達到最優效果，但其收斂速度、局部搜索能力在部分問題上仍有缺陷（如F1、F3、F6），并且搜索后期開發能力也存在提升空間（如F4、F10）。

3.2.3 算法運行耗時

各算法的平均運行時間如圖4所示。目標函數評價次數相同。23個測試函數中，ASTSA在15個測試函數上優于STASA，盡管ASTSA的時間復雜度有所增加，但其更強大的求解能力，能夠更快找到最優解，因此在一些復雜問題上用時比STASA更短。

分別計算ASTSA與對比算法的耗時比例（ASTSA耗時/對比算法耗時×100%），然后計算23個測試函數的平均值，結果如表5所示，平均耗時比例均小于100%。按照平均耗時比例可以分為三檔，第一檔有STASA、STA，它們與ASTSA屬于同一系算法，因其簡明的搜索結果耗時最少；第二檔為40～50%，包括SCA、WOA、GWO、HGWOP，平均耗時約為ASTSA的兩倍；第三檔為GSA、VAGWO，平均耗時達到ASTSA的10倍以上。

3.2.4 穩定性分析

單獨從實驗結果的標準差（表4中std）來看，ASTSA為最優的有7個，與GSA、GWO、HGWOP相同，為第一檔。但其中GSA整體的求解效果并不理想，只在固定維度多峰測試函數中有良好的表現；而HGWOP求解效果優異（ASTSA與其的RankSum僅為2）。ASTSA與STASA相比優平劣為10/4/9，但STASA達到最優的僅有4個，少于ASTSA算法。

盡管ASTSA在F6等測試函數存在后期振蕩的現象，但并未對穩定性造成過多影響，如ASTSA在F6的方差精度達到10-19，與GSA處于同一精度，僅次于最優的HGWOP。ASTSA算法在求解穩定性方面可與GSA、GWO、HGWOP同處于第一檔，但GSA整體表現較差，HGWOP稍遜，ASTSA的綜合求解能力最強。

3.3 自適應策略有效性檢驗

為了檢驗自適應策略的有效性，進行了簡單的統計學檢驗。

a）自適應算子有效性檢驗。在測試函數的取值范圍中隨機生成當前解，使用自適應策略確定最優算子BestOp和最優參數值α*；然后使用最優算子BestOp以及另外兩個算子進行搜索（均為最優參數值），記錄產生的所有解中的最優解是否屬于自適應確定的最優算子。在23個測試函數上分別進行1 000次，結果如圖5所示，條形圖為最優解屬于最優算子的次數，橫線為均值（1 000次/6個參數=166.67）。由圖5可知，除測試函數F8以外，其余結果均達到均值以上，并在F1、F2等四個測試函數上達到1 000，且大于800的結果有9個，證明了自適應算子選擇策略的有效性。

b）自適應參數有效性檢驗。與算子有效性檢驗類似，通過自適應策略確定最優參數后，使用參數集合進行搜索（最優算子），然后記錄最優解是否屬于最優參數值。在23個測試函數上分別進行1 000次，結果如圖6所示。由圖6可知，在每個函數上測試結果均大于均值，最差結果為235（F19），仍超出均值的40%，證明了自適應參數選擇策略的準確、有效。

此外，圖7、8分別為實際運行中各算子和參數值的平均調用次數（獨立運行30次）。由圖7可知，對于同一測試函數，不同算子的調用情況相差很大，并且對于不同的測試函數，不同算子的調用頻率也不同。由圖8可知，對于不同的測試函數，參數值的選擇情況差別很大，從側面佐證了自適應選擇策略的有效性。

3.4 改進平移算子有效性檢驗

為驗證修正方向的有效性，對改進平移算子進行有效性測試。在測試函數的取值范圍中隨機生成當前解，分別使用旋轉算子、伸縮算子、軸向變換算子結合參數集合中每個參數進行搜索（SE=100），再分別使用原平移算子和改進平移算子進行搜索，對比改進前后平移算子產生新解中各自最優解的優劣。在23個測試函數中進行測試，分別以3個算子、每個參數（6個）各進行1 000次（共計1 000×3×6=18 000）并統計改進平移算子更優的次數，結果如圖9所示。

由圖9可知，在所有測試函數上測試結果均大于均值（9k），其中在F4上最差為9 172，其次F18為9 421，其余均大于10 000；在14個測試函數上超出均值的1/3（12 000），在8個上超出均值的1/2（13 500）。整體來看，改進平移算子優于原平移算子，且在一些函數（F1、F3、F5等）上具有優秀的效果。但整體效果沒有達到最優，在部分測試函數上效果不明顯（F4、F7等未達到1/3），沒有在全部問題上達到跨越性的進步。

3.5 消融實驗

為了進一步驗證改進策略的有效性，本節進行消融實驗，結果如表6所示，其中Adaption表示單獨采用自適應策略、NewTrans表示單獨采用改進平移算子，均與原STASA進行秩和檢驗。

單獨采用自適應策略的算法與STASA相比，Wilcoxon秩和檢驗結果為12，整體效果較好；且采用改進平移算子之后達到18，進一步取得改善。單獨采用改進平移算子的秩和檢驗結果為4，與改進平移算子有效性檢驗的結果接近，效果有所改善但沒有跨越性進步。而在采用自適應策略的基礎上增加改進平移算子，Wilcoxon秩和檢驗結果由12變為18，即改進平移算子與自適應策略有促進作用。

采用群智能算法種群平均策略來修正平移算子的搜索方向有一定的效果，但由于策略過于簡單，無法對所有問題產生促進作用，因此可以在此基礎上采用更高級的策略對搜索方向進一步修正，或采用其他群智能的高級搜索策略，使搜索的解不單單是“一條直線”，進而增強搜索效果。

3.6 求解帶約束的工程設計優化問題

本節使用八個帶約束的工程設計優化問題來進一步評估ASTSA的有效性。分別是壓縮/拉伸彈簧、工字梁、焊接梁、懸臂梁、管柱、三桿桁架、減速器、活塞桿共八個設計問題［25］，約束條件個數分別為2、7、1、6、11、4，如圖10所示。

將ASTSA和STASA以及社交網絡搜索（social network search，SNS）［25］算法分別運行30次，并保證相同的評價次數，結果如表7所示。可以看到，在壓縮/拉伸彈簧設計問題上，ASTSA的求解結果不如SNS，而在其他七個問題中均得到了最優的結果。在三桿桁架和減速器設計問題中，ASTSA與SNS都求解到了最優值，但ASTSA的均值不如SNS，即ASTSA求解的穩定性仍存在不足。

ASTSA與原STASA和SNS的Wilcoxon秩和檢驗結果分別為7和1，即與STASA相比，本文算法所做改進使算法效果得到了提升。且整體優于對比算法SNS，具有良好的求解效果。通過實驗證明了ASTSA算法能夠在帶約束的實際工程設計優化問題中應用求解。

4 結束語

本文針對STASA的不足提出了一種自適應狀態轉移模擬退火算法（ASTSA）。首先使用統計方法引入自適應策略，根據生成解的情況自適應選擇最優的算子和參數值；然后針對平移算子的不足，借鑒群智能算法種群“平均解”的思路，修正平移算子的搜索方向，增強算子的穩定性。通過在23個基準測試函數以及8個工程設計優化問題以及Wilcoxon秩和檢驗驗證了ASTSA的有效性，并分析了其不足。在未來的研究中，將針對ASTSA在求解復雜問題時穩定性不足的問題進行改進，提高其適用能力。

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