斜撐離合器環(huán)形彈簧徑向剛度計(jì)算

張作超，雷浩偉，李澤強(qiáng)，黃兆猛，禹鑫

（1.洛陽(yáng)軸承研究所有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039；2.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471039；3.空軍裝備部駐洛陽(yáng)地區(qū)第二軍事代表室，河南 洛陽(yáng) 471039；4.燕山大學(xué)，河北 秦皇島 066000；5.河南科技大學(xué)，河南 洛陽(yáng) 471003）

1 概述

斜撐離合器是一種靠主、從動(dòng)部分相對(duì)速度的變化或旋轉(zhuǎn)方向的變換而自動(dòng)接合或脫開(kāi)的超越離合器，在航空、船舶、工程機(jī)械領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。斜撐離合器結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由斜撐塊、保持架和環(huán)形螺旋彈簧3部分組成，彈簧首尾相連，位于斜撐塊兩端的凹槽內(nèi)，是斜撐塊支承、導(dǎo)向和復(fù)位的重要零件。

圖1 斜撐離合器以及各零件結(jié)構(gòu)Fig.1 Diagram of sprag clutch and its parts

關(guān)于斜撐離合器的研究有：文獻(xiàn)［1］根據(jù)斜撐離合器的特點(diǎn)和設(shè)計(jì)要求對(duì)其零件進(jìn)行詳細(xì)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并基于MATLAB GUI平臺(tái)開(kāi)發(fā)斜撐離合器的設(shè)計(jì)與計(jì)算軟件，用于計(jì)算離合器的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)并校核零件的應(yīng)力、變形等參數(shù)，提高了工作效率；文獻(xiàn)［2］介紹了離心脫開(kāi)型斜撐離合器的結(jié)構(gòu)，建立力學(xué)分析模型，推導(dǎo)出離心脫開(kāi)型斜撐離合器脫開(kāi)轉(zhuǎn)速的理論計(jì)算公式；文獻(xiàn)［3］針對(duì)某型斜撐超越離合器 在使用過(guò)程中存在楔合失敗、楔合響應(yīng)慢等問(wèn)題，基于ADAMS分析斜撐塊與內(nèi)、外圈的摩擦因數(shù)、彈簧等效力矩、負(fù)載等效質(zhì)量、阻尼、接觸剛度對(duì)離合器楔合性能的影響，結(jié)果表明負(fù)載、接觸剛度對(duì)楔合性能影響較大，摩擦因數(shù)、彈簧等效力矩、阻尼對(duì)楔合性能影響較小；文獻(xiàn)［4］介紹了斜撐離合器的結(jié)構(gòu)和工作原理，指出其常見(jiàn)的失效模式，分析了包括彈簧因素在內(nèi)的可能產(chǎn)生失效的原因，并提出相應(yīng)的改進(jìn)措施；文獻(xiàn)［5］根據(jù)斜撐離合器的結(jié)構(gòu)和工作原理確定了斜撐離合器的疲勞壽命及過(guò)載試驗(yàn)要求，并設(shè)計(jì)了試驗(yàn)機(jī)。

斜撐離合器工作時(shí)，彈簧對(duì)斜撐塊施加徑向的支承力，彈簧的徑向剛度是影響斜撐離合器脫開(kāi)轉(zhuǎn)速和楔合性能的重要指標(biāo)，有必要對(duì)斜撐離合器環(huán)形彈簧徑向剛度的計(jì)算方法進(jìn)行研究。關(guān)于彈簧的研究有：文獻(xiàn)［6］通過(guò)計(jì)算圓柱螺旋鋼絲在彎矩作用下的角位移，推導(dǎo)出鋼絲軟軸抗彎剛度的計(jì)算公式，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證其正確性；文獻(xiàn)［7］將高圓簧簡(jiǎn)化為等截面彈性直桿，推導(dǎo)出其橫向剛度的計(jì)算公式，理論計(jì)算與試驗(yàn)的最大誤差不超過(guò)10%，能夠滿足工程應(yīng)用需求；文獻(xiàn)［8］通過(guò)材料力學(xué)假設(shè)的方法求得小曲率圓環(huán)撓曲線微分方程的通解，解決了工程設(shè)計(jì)中圓環(huán)的變形以及內(nèi)力計(jì)算問(wèn)題，為環(huán)形螺旋彈簧變形和位移的計(jì)算提供了參考；文獻(xiàn)［9］分析薄壁套筒工件在夾緊力作用下的變形，為環(huán)形螺旋彈簧受力以及變形計(jì)算提供了參考；文獻(xiàn)［10］針對(duì)常用螺旋圓彈簧橫向剛度不同計(jì)算方法差異大的問(wèn)題，定義螺旋圓彈簧自由高與簧條直徑之差為螺旋圓彈簧有效自由高度，結(jié)果表明統(tǒng)一螺旋圓彈簧有效自由高度后各計(jì)算方法的螺旋圓彈簧橫向剛度與試驗(yàn)結(jié)果最接近。

上述文獻(xiàn)對(duì)斜撐離合器和彈簧做了一定研究，但沒(méi)有關(guān)于斜撐離合器環(huán)形螺旋彈簧徑向剛度計(jì)算的研究。因此，本文推導(dǎo)斜撐離合器彈簧徑向剛度的理論計(jì)算公式，并通過(guò)仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證其正確性。

2 彈簧徑向剛度計(jì)算

以某斜撐離合器環(huán)形螺旋彈簧為例，其主要參數(shù)為：彈簧鋼絲線徑d=0.45 mm，彈簧有效圈數(shù)z=123（81/0.66），彈簧中心圓直徑D=1.55 mm。彈簧材料為彈性材料，剪切模量G=7.8 GPa，彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.28。

2.1 理論計(jì)算

環(huán)形螺旋彈簧工作方式與圓環(huán)相似，故將彈簧等效為圓環(huán)，如圖2 所示，設(shè)置圓環(huán)模型的抗壓剛度、剪切強(qiáng)度、彎曲強(qiáng)度與彈簧相同。采用求小曲率圓環(huán)撓曲線微分方程通解的方法，根據(jù)具體情況確定通解中的積分常數(shù)，進(jìn)而確定圓環(huán)的撓曲線方程。

圖2 彈簧等效為圓環(huán)示意圖Fig.2 Diagram of spring equivalent to circular ring

設(shè)定圓環(huán)半徑為R，圓環(huán)橫截面高度遠(yuǎn)小于圓環(huán)半徑，圓環(huán)受擠壓后變?yōu)闄E圓形，如圖3所示。選取圓環(huán)任意點(diǎn)m，變形后點(diǎn)m移動(dòng)至m1，曲率由變?yōu)椋c(diǎn)m1的彎矩為M（曲率增加時(shí)彎矩為“+”，曲率減小時(shí)彎矩為“?”），曲率變化與彎矩的關(guān)系為

圖3 圓環(huán)擠壓變形示意圖Fig.3 Extrusion deformation diagram of circular ring

式中：Kry為圓環(huán)的徑向剛度。

點(diǎn)m1的曲率用極坐標(biāo)可表示為

式中：r為點(diǎn)m1的極徑；φ為點(diǎn)m1的極角；r′，r″分別為r對(duì)φ的一階和二階導(dǎo)數(shù)；u為點(diǎn)m的徑向位移。

由（1），（2）式可得

圓環(huán)受力撓曲變形示意圖如圖4 所示：變形前，圓弧mn的弧長(zhǎng)ds=Rdφ；變形后，點(diǎn)m徑向位移為u，曲率半徑r=R+u，選取的微段圓弧撓曲后的弧長(zhǎng)rdφ=(R+u)dφ，同時(shí)彈簧受力后點(diǎn)m，n發(fā)生的切向位移分別為ν，ν+ dν，則圓弧m1n1的弧長(zhǎng)為

對(duì)于小曲率圓環(huán)，可以將微段圓弧軸線近似為直梁分析，長(zhǎng)度無(wú)變化，即dS= dS′，則

圓環(huán)的變形方程為

在圓環(huán)上任意選取弧長(zhǎng)為ds的圓弧（圖4），圓弧受徑向載荷P(φ)和切向載荷q(φ)。在坐標(biāo)φ處截面受彎矩M、剪切力Q、軸向力N，在坐標(biāo)（φ+ dφ）處截面受彎矩（M+ dM）、剪切力（Q+ dQ）、軸向力（N+ dN），M，Q，N均為正方向。將所有力投影到圓弧中點(diǎn)的法向和切向，并對(duì)圓弧中點(diǎn)取力矩，列出以下平衡方程

由于dφ為任一選取的微量段，則cos≈1，，忽略高階微量值，（7）式可簡(jiǎn)化為

由（8）式可得

對(duì)于等截面圓環(huán)，Kry，P為常量，無(wú)切向載荷q，將（3）式代入（9）式可得

（10）式的通解為

式中：A1，A2，A3為待求解系數(shù)。

由于環(huán)形彈簧的彈簧絲截面尺寸較小，彈簧離心力很小，理論計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)。僅考慮等截面圓環(huán)受徑向力P作用，如圖5 所示，求解圓環(huán)上任一點(diǎn)的位移及內(nèi)力。將圓環(huán)等分為n段，由于各段受力及變形相同，僅取一段分析，每段對(duì)應(yīng)的圓心角為2α= 2π/n。由于圓環(huán)上無(wú)載荷，該段的撓曲線方程為（11）式，在φ=α處，由于對(duì)稱性，截面的轉(zhuǎn)角為0，即

圖5 彈簧受力示意圖Fig.5 Diagram of forces acting on spring

將（11）式代入（12）式可得

根據(jù)圓環(huán)對(duì)稱性，每段圓弧總的切向位移ν=0，在點(diǎn)A附近切開(kāi)，舍去點(diǎn)A及作用在該點(diǎn)的力P，由對(duì)稱性及平衡條件可知，圓環(huán)切口φ=α處截面上的剪切力Q=?P/2，聯(lián)立（1）—（8），（13）式可得

將A1，A2，A3代入（11）式可得圓環(huán)由擠壓產(chǎn)生的徑向位移為

式中：Ka為彈簧軸向剛度；l為圓環(huán)圓周長(zhǎng)度。

求解（15）式可得

進(jìn)而求得彈簧的徑向剛度為

加載徑向力P=15 N，加載數(shù)量n=15時(shí)，由（16）式可得彈簧由于擠壓產(chǎn)生的徑向位移u=6.3 mm，則由（17）式可得彈簧的徑向剛度Kr=2.38 N/mm。

2.2 仿真計(jì)算

采用MSC. Marc 仿真軟件計(jì)算彈簧徑向剛度，為求解彈簧徑向剛度，只保留斜撐塊和彈簧。由于彈簧結(jié)構(gòu)復(fù)雜，為簡(jiǎn)化計(jì)算，提高模型收斂性，采用梁?jiǎn)卧M彈簧變形，共劃分為3000 個(gè)網(wǎng)格，如圖6 所示。忽略斜撐塊變形，將斜撐塊設(shè)置為剛體；初始狀態(tài)時(shí)，設(shè)定彈簧與15 個(gè)斜撐塊接觸，后設(shè)置斜撐塊沿斜撐離合器徑向收縮。

圖6 彈簧仿真模型示意圖Fig.6 Diagram of simulation model of spring

分別對(duì)斜撐塊施加1，6 mm 的徑向位移，彈簧變形如圖7 所示：變形后彈簧仍為圓環(huán)，說(shuō)明彈簧徑向位移差別不大。由于15個(gè)斜撐塊的仿真結(jié)果基本一致，隨機(jī)抽取5 個(gè)斜撐塊進(jìn)行分析，其所受彈簧反作用力如圖8 所示：斜撐塊的力?位移曲線呈線性，說(shuō)明彈簧的受力與徑向位移呈線性關(guān)系，即彈簧的徑向剛度恒定。

圖7 不同徑向位移時(shí)彈簧的變形Fig.7 Deformation of spring under different radial displacements

圖8 斜撐塊所受彈簧反作用力Fig.8 Sprag subjected to reaction force of spring

15 個(gè)斜撐塊所受彈簧反作用力的平均值F=14.4 N，彈簧的徑向位移等于斜撐塊的徑向位移，即Δs=6 mm，則彈簧的徑向剛度K=F/Δs=2.4 N/mm，與理論計(jì)算的誤差為1%，說(shuō)明了理論計(jì)算的正確性。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性，開(kāi)發(fā)數(shù)控全自動(dòng)環(huán)形彈簧徑向剛度測(cè)試儀，如圖9 所示，主要包括驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、測(cè)量系統(tǒng)、數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)和工件固定裝夾系統(tǒng)。用與斜撐塊數(shù)量相同的壓頭壓迫彈簧模擬斜撐塊對(duì)彈簧的壓力，壓頭上裝有壓力和位移傳感器。

圖9 彈簧徑向剛度測(cè)量?jī)x結(jié)構(gòu)示意圖Fig.9 Structure diagram of radial stiffness measuring instrument for spring

選取2 種材料的彈簧：1）70C 材料；2）T9A 材料。測(cè)量彈簧徑向剛度時(shí)，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)15個(gè)滑塊同步向內(nèi)移動(dòng)，給彈簧0.1 N的預(yù)壓力，將力值歸零開(kāi)始記錄位移，滑塊徑向移動(dòng)2 mm，得到對(duì)應(yīng)的力?位移曲線，進(jìn)而得到彈簧徑向剛度。

第1組彈簧的力?位移曲線如圖10所示：理論計(jì)算與試驗(yàn)的力?位移曲線變化趨勢(shì)相同，隨著彈簧位移增加，受力逐漸增大，徑向剛度（曲線斜率）不變。不同長(zhǎng)度l的彈簧徑向剛度見(jiàn)表1：1）隨著彈簧長(zhǎng)度的增加，2組材料的彈簧徑向剛度均出現(xiàn)了少許減小；2）彈簧徑向剛度理論值與試驗(yàn)值基本一致，第1 組誤差約為4.3%，第2 組誤差約為5%，均在允許范圍之內(nèi)，進(jìn)一步說(shuō)明了理論計(jì)算的正確性。

表1 斜撐離合器彈簧的徑向剛度Tab.1 Radial stiffness of spring of sprag clutch

圖10 第1組彈簧的力?位移曲線Fig.10 Force?displacement curve of the first group of springs

4 結(jié)束語(yǔ)

將環(huán)形螺旋彈簧等效為彈性圓環(huán)，推導(dǎo)出彈簧徑向剛度的計(jì)算公式，并通過(guò)仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性，計(jì)算方法可為斜撐離合器的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供參考；但本文的研究未考慮轉(zhuǎn)速、潤(rùn)滑、振動(dòng)等對(duì)彈簧徑向剛度的影響，有待進(jìn)一步研究。