數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究

數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)教學(xué)體系中不可或缺的一環(huán)，不僅對(duì)培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及思維能力具有重要的價(jià)值，還能促進(jìn)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。HPM（專門研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系的組織） 認(rèn)為，個(gè)體的數(shù)學(xué)理解過(guò)程與數(shù)學(xué)史的發(fā)展過(guò)程具有相似性，數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生識(shí)別并確定學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙以及克服這些障礙。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史不僅能充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的求知欲，還有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的演進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新精神。在此基礎(chǔ)上研究如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)亟待深入研究的問題。這要求教師認(rèn)識(shí)其教育價(jià)值并運(yùn)用于教學(xué)中。本研究旨在深入探討數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用，以函數(shù)的極限教學(xué)實(shí)踐為例，分析數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略，為提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提供有益的借鑒。

一、極限發(fā)展史融入函數(shù)極限教學(xué)的實(shí)踐

（一）數(shù)學(xué)極限思想的發(fā)展史

1.極限思想的萌芽階段

極限思想初現(xiàn)于兩千多年前的哲學(xué)中，人們開始意識(shí)到極限的存在，并嘗試用其解決實(shí)際問題，但尚未能系統(tǒng)地明確闡述，也未提出抽象精準(zhǔn)的極限概念。它的代表人物有古希臘的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家芝諾，中國(guó)的惠施、劉徽、祖沖之等。國(guó)內(nèi)，極限思想體現(xiàn)在《莊子》與劉徽的“割圓術(shù)”中。如惠施所言“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，直觀展現(xiàn)極限理念。劉徽創(chuàng)立“割圓術(shù)”，通過(guò)不斷增加圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)來(lái)求圓周率近似值，祖沖之則進(jìn)一步精確至小數(shù)點(diǎn)后七位。國(guó)外，古希臘數(shù)學(xué)家運(yùn)用“窮竭法”探索圓的面積，為后世提供啟示。此外，芝諾提出阿基里斯悖論也體現(xiàn)極限思想。

2.極限思想的發(fā)展階段

16 世紀(jì)至17 世紀(jì)，歐洲資本主義和文藝復(fù)興推動(dòng)了極限思想的發(fā)展。16 世紀(jì)末，隨著生產(chǎn)力的提升，傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)計(jì)算方法無(wú)法適應(yīng)時(shí)代要求。數(shù)學(xué)家開始尋求新的數(shù)學(xué)思想和工具來(lái)描述和分析動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程。進(jìn)入17 世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨在創(chuàng)立微積分的過(guò)程中確立了極限理論。牛頓嘗試運(yùn)用首末比方法解決無(wú)窮小問題，而萊布尼茨則從幾何角度探討了曲線的切線問題。盡管他們的理論存在瑕疵，但微積分仍然被廣泛應(yīng)用于解決實(shí)際問題，并由此開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支。18 世紀(jì)后，羅賓斯和達(dá)朗貝爾等數(shù)學(xué)家意識(shí)到極限是微積分學(xué)的基石，并對(duì)其進(jìn)行了定義。達(dá)朗貝爾的定義雖然還未完全形式化，但它已經(jīng)擺脫了幾何和力學(xué)的直觀束縛，接近現(xiàn)代極限的觀念，他的工作為嚴(yán)格的極限理論奠定了基礎(chǔ)。

3.極限思想的成熟階段

19 世紀(jì)被廣泛認(rèn)為是極限概念發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在其著作《分析教程》中提出，當(dāng)一個(gè)變量的值逐漸趨近于一個(gè)特定值時(shí)，該變量與該值的差將逐漸變小。當(dāng)這個(gè)差值降至某一極小水平時(shí)，這個(gè)特定值便可以視為其他值的極限。柯西進(jìn)一步指出，零是無(wú)窮小的極限。這一觀點(diǎn)具有里程碑意義，因?yàn)樗鼘O限概念從物理運(yùn)動(dòng)和數(shù)學(xué)幾何的直觀表述中獨(dú)立出來(lái)，用實(shí)數(shù)范疇內(nèi)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行了明確的定義。這一成就不僅代表了常量數(shù)學(xué)的進(jìn)步，還是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的重要標(biāo)志。盡管如此，柯西對(duì)極限的闡述仍停留在直觀和定性的層面，并未提供嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。直至19 世紀(jì)，魏爾斯特拉斯致力于分析的嚴(yán)密化工作，用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出了極限的嚴(yán)格定義，從而使極限概念變得嚴(yán)謹(jǐn)。

（二）極限史融入函數(shù)極限教學(xué)的實(shí)踐

1.問題情境———了解函數(shù)的極限

教師在介紹函數(shù)的極限時(shí)可引入我國(guó)魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽在計(jì)算圓周率時(shí)所創(chuàng)立的“割圓術(shù)”：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。教師還可借助動(dòng)畫演示不斷分割的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)極限思想。

“割圓術(shù)”是一種原始極限思想的應(yīng)用，這種對(duì)某個(gè)值無(wú)限接近的思想為后來(lái)建立極限概念奠定了基礎(chǔ)。這不僅能使學(xué)生在具體的歷史背景中感受數(shù)學(xué)的魅力，還能使其更深入地理解極限思想的本質(zhì)。

2.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)———提出函數(shù)極限的基本概念

教師：請(qǐng)回顧什么是數(shù)列的極限？

學(xué)生：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列{xn}的項(xiàng)xn 無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)a（即|xn-a|無(wú)限地接近于0），那么就說(shuō)數(shù)列{xn}以a 為極限，記作：lim xn = a 或xn→a（n→∞）。

教師：對(duì)于一般函數(shù) y=（f x）如何來(lái)研究它的極限呢？

學(xué)生：我們可以通過(guò)類比數(shù)列極限的方法研究函數(shù)的極限。

教師：想象一下，如果我們有一個(gè)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)附近的行為，我們?nèi)绾蚊枋鲞@個(gè)點(diǎn)的極限呢？

學(xué)生：我們可以看當(dāng) x 越來(lái)越接近時(shí)，（f x）是否趨近于某個(gè)值A(chǔ)。

教師：這就是函數(shù)極限的基本思想。數(shù)學(xué)家拉夫綸捷夫曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)極限法的創(chuàng)造是對(duì)那些不能夠用算術(shù)、代數(shù)和初等幾何的簡(jiǎn)單方法來(lái)求解的問題進(jìn)行了許多世紀(jì)的頑強(qiáng)探索的結(jié)果。”極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展是人類社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物，也是一代代數(shù)學(xué)家在不斷探索中完善的。

3.數(shù)學(xué)構(gòu)建———探索函數(shù)極限的定義

在理解了函數(shù)極限的基本概念后，需要進(jìn)一步探索函數(shù)極限的嚴(yán)格定義。這涉及函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)和極限值的確定。對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，這可能會(huì)是一個(gè)比較抽象和復(fù)雜的過(guò)程，但通過(guò)逐步引導(dǎo)和討論，學(xué)生可以逐漸掌握這一重要概念。

教師：在已經(jīng)理解了函數(shù)極限的基本概念后，應(yīng)如何精確地定義它呢？

學(xué)生：我們需要找到一種方法描述函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)，并確定極限值。

教師：假設(shè)我們有一個(gè)函數(shù)f（x），在x 趨向于某個(gè)點(diǎn)時(shí)，如果（f x）的值越來(lái)越接近某個(gè)數(shù) A，那么我們就說(shuō)函數(shù)（f x）在該點(diǎn)處的極限是 A。這里的關(guān)鍵是“越來(lái)越接近”，我們?nèi)绾瘟炕@個(gè)概念呢？

學(xué)生：我們可以用絕對(duì)值來(lái)表示（f x）與 A 之間的接近程度，然后設(shè)定一個(gè)任意小的正數(shù)著，只要當(dāng)x 足夠接近該點(diǎn)（即存在一個(gè)正數(shù)啄，使x 與該點(diǎn)差的絕對(duì)值小于 啄）時(shí)，（f x）與 A 的差的絕對(duì)值小于 著，就可以說(shuō)（f x）在該點(diǎn)處的極限是 A。

教師：這就是我們所說(shuō)的著-啄定義法。通過(guò)這個(gè)定義，我們可以更精確地描述函數(shù)極限的概念，并為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

二、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐策略

（一）史料選擇的“適切性”

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的核心在于對(duì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容與材料的精選與凝練。這一過(guò)程旨在確保所選內(nèi)容既契合數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，又適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)主體的需求。因此，教師需在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，結(jié)合自身的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求，對(duì)數(shù)學(xué)史資源進(jìn)行審慎選擇、合理改造與精心加工，使學(xué)生更易接受，從而獲得深刻的啟發(fā)與思考。教師在選擇數(shù)學(xué)史材料時(shí)，應(yīng)注重其科學(xué)性、趣味性和教育性，確保所選材料能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助他們深入理解數(shù)學(xué)概念和原理。本案例選擇了與函數(shù)極限相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，即極限概念的發(fā)展過(guò)程。這一數(shù)學(xué)歷史是契合函數(shù)的極限這一教學(xué)內(nèi)容的，它不僅能夠讓學(xué)生了解極限概念的歷史淵源，還能幫助他們理解極限在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

（二）史料融合的“準(zhǔn)確性”

數(shù)學(xué)史應(yīng)融入教學(xué)設(shè)計(jì)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容展現(xiàn)數(shù)學(xué)史脈絡(luò)與數(shù)學(xué)思想的形成，有助于學(xué)生形成全面的認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力。同時(shí)，教師還應(yīng)關(guān)注史實(shí)與生活的聯(lián)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)史不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的歷史，還是一部人類文明進(jìn)步的歷史。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)史中的實(shí)用案例，教師可以讓他們更直觀地感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本研究嘗試將數(shù)學(xué)史與函數(shù)極限的教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，通過(guò)回顧歷史上的數(shù)學(xué)家對(duì)極限的探索過(guò)程，幫助學(xué)生理解極限概念的演變和完善。同時(shí)，筆者還結(jié)合具體函數(shù)的極限分析，使學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R(shí)運(yùn)用到實(shí)際問題中，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和解題能力。另外，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)歷史上的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和討論，可以鼓勵(lì)他們提出自己的觀點(diǎn)和見解，從而培養(yǎng)他們獨(dú)立思考和解決問題的能力。

（三）教學(xué)方法的“可行性”

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方式通常表現(xiàn)為以下三種形式。第一，教師通過(guò)直接提供歷史信息的方式，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠深入了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程。第二，教師可借鑒歷史經(jīng)驗(yàn)，將歷史中的數(shù)學(xué)思想、方法融入教學(xué)過(guò)程中，以幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。第三，教師可通過(guò)闡述數(shù)學(xué)研究的相關(guān)背景，引導(dǎo)學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值，從而培養(yǎng)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和熱愛。在選擇數(shù)學(xué)史教學(xué)方法時(shí)，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平及教學(xué)內(nèi)容，采用合適的教學(xué)方式，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。本研究使用的是第二種，也稱為“發(fā)生教學(xué)法”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從HPM 視角出發(fā)，通常采取的主要方法便是此種。該方法主要借鑒歷史脈絡(luò)，以展現(xiàn)知識(shí)之自然演進(jìn)過(guò)程為核心，介于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍v史研究方法與純粹的演繹推理方法之間，旨在提供一種綜合而系統(tǒng)的知識(shí)探究途徑。