基于離子阱中離子晶體的熱傳導的研究進展*

李冀 陳亮 馮芒2)?

1) (廣州工業技術研究院,廣州 511458)

2) (中國科學院精密測量科學與技術創新研究院,武漢 430071)

1 引言

熱傳導是物理學中的一個基本現象,它描述了當物質受到加熱或冷卻時,熱量在物質內部以及物質之間傳遞的機制.對熱傳導的研究有助于深入了解宏觀現象和微觀動力學之間的聯系.例如,一維模型中的熱傳導作為一個典型的研究對象,可以幫助我們理解熱量傳輸過程中的非線性和混沌等復雜現象[1].對熱傳導的深入研究可以揭示熱量傳輸的內在機理和數學模型,為實際應用提供理論依據和指導.

在經典系統中,熱傳導遵循傅里葉定律,該定律闡述了熱流密度與空間中溫度場之間的相互關系.假設在三維空間中存在一個宏觀系統,在某一特定時刻t,系統空間的溫度分布可用T(q,t) 來描述.其中,向量q(x,y,z) 表示系統內的某個空間位置,x,y和z分別表示三維坐標軸上的坐標.根據傅里葉定律,在此情況下,熱流密度J(q,t) 可以表示為[2]

其中κ為系統的導熱系數.為了理解溫度場在時間維度上的變化規律,這里定義系統在三維空間內的能量分布為u(q,t) .將方程(1)代入連續性方程?u/?t+?J=0[3]得

其中c=?u/?T是系統的比熱容.方程(2)也被稱為熱擴散方程,它描述了宏觀系統中能量轉移的規律.傅里葉定律是從大量宏觀系統實驗中總結出的經驗定律,其基本假設是系統中的粒子在進行熱量交換時主要依靠的輸運過程是擴散.也就是說,粒子通過與周圍粒子的隨機碰撞來進行能量的交換.從聲子的角度來看,這可以理解為數量多的聲子向數量少的聲子的方向擴散.然而,當系統的尺寸和維度減小到一定程度后,粒子之間的熱交換過程可能不再符合擴散輸運的規律.例如,熱交換過程可能會變為彈道輸運[4],此時粒子在進行能量交換時沒有發生碰撞,并且可以忽略聲子之間的相互作用.在這種情況下,熱傳導不再符合傅里葉定律.

為了深入了解低維系統中熱傳導的特性,科學家們針對兩種簡單模型進行了研究.其中一種模型是諧波晶體,另一種則是FPU (Fermi-Pasta-Ulam)晶體.在這兩種模型中,假定晶體包含有限顆粒子,并且晶體兩端與兩個不同溫度且溫度恒定的熱庫相接觸.這些粒子在空間中以固定點為中心進行簡諧振動,同時它們僅僅與相鄰的粒子進行相互作用.當兩個粒子之間的相互作用勢表示為時,其為FPU 晶體,其中β為非諧參數;i,l表示兩個粒子的編號;qi,ql表示粒子在空間上的位置.而當時,稱為諧波晶體.綜述文獻[3,5]詳盡地介紹了相關研究,展示了當前的研究現狀和未來的發展趨勢.人們通常以系統的穩態熱流J～Na作為評判熱傳導特性的重要標準.其中,N代表模型中的粒子數,而a是一個常數.在傅里葉定律的適用范圍內,系統的熱流應滿足a=–1[6,7].對于這兩種晶體,當系統處于三維狀態時,其穩態熱流遵循傅里葉定律.然而,當系統維度降低至二維或一維時,參數a不再等于1,這表明熱傳導特性發生了變化.對于一維諧波晶體,當系統處于有序狀態,即所有粒子的質量或粒子之間相互作用力等參數均相同時,其穩態熱流與系統大小N無關,此時a=0[4,8].給系統中的粒子的質量引入無序因素后,例如系統中粒子質量并不全相等,a的值可能為–3/2[9,10]或者為–1/2[11,12].針對FPU晶體,人們發現了一個有趣的特性: 當FPU 晶體的溫度低于某個閾值時,其熱傳導特性會與諧波晶體極為相似[13].

離子晶體是由囚禁在離子阱中的多個離子組成的晶體,本綜述主要探討離子晶體中的熱傳導特性.這類晶體因其獨特的性質而備受關注: 在真空環境中,囚禁的離子晶體與外部環境沒有能量交換,其晶體結構和溫度可以通過電場和光場進行精確操控[14–16].這為研究低維晶體在經典或量子狀態下的熱傳導提供了理想的實驗平臺.在離子晶體中,離子之間的距離相對于其他晶體材料要大得多,這使得離子間的相互作用主要是庫侖力.這種情況下,離子會與晶體中所有其他離子進行能量交換.通過調節系統的參數,可以使離子晶體呈現出不同維度的構型,例如直線構型(一維)、之字構型(二維)或螺旋構型(三維)[17],這些不同維度構型的離子晶體為研究熱傳導提供了豐富的模型.

本綜述的結構安排如下: 第2 節詳細闡述熱傳導研究中常用的一些基本原理和方法;第3 節分別采用一維、二維和三維模型來計算離子晶體中的熱傳導,并展示離子晶體的結構相變與溫度分布以及與熱流的關系;第4 節在三維離子晶體熱傳導模型中加入無序度的情況下,探討離子晶體中熱傳導的特殊表現和規律;第5 節介紹一些離子晶體中與熱傳導相關的實驗,并總結目前在離子晶體中對熱傳導研究的主要成果.

2 離子晶體熱傳導模型

本文的研究對象是兩端與不同溫度的熱庫接觸的離子晶體模型,期望獲得該系統在穩態情況下的熱流密度以及溫度分布.離子晶體中的熱傳導研究通常借助郎之萬方程來描述系統中每個離子的運動.此方程原用于描述布朗運動,其中摩擦力和隨機噪聲項在熱傳導情境中可對應于熱庫對離子的作用,可以證明,此系統的穩態是唯一的[18].通過對穩態下離子晶體的深入分析,可以得到熱流密度、溫度分布等關鍵信息.

該模型涉及兩類離子,其中一類離子與熱庫接觸,而另一類離子則不與熱庫接觸.為了計算模型的穩態,有兩種常用的方法可供選擇: RLL (Rieder Lebowitz Lieb)法和LEGF (Langevin equations and Green’s function)法.RLL 法是由Rieder,Lebowitz 和Lieb 三人首次提出的[4],LEGF 法是由Ford,Kac 和Mazur 三人首次提出[19],并且在后續工作[2,20–23]中得到了發展.這兩種方法的主要區別在于如何處理這兩類離子.LEGF 法通過哈密頓量進行區分,將總哈密頓量分別按照這兩類離子寫出各自獨立的哈密頓量.相對而言,RLL 法是在運動方程的層面對兩者進行區分,即根據不同的離子采用不同的運動方程.

下面基于RLL 方法介紹一些基本原理.首先定義模型中離子的數量為N,離子的質量為m,那么離子晶體的哈密頓量可以寫為

其中pi表示第i個離子的動量,V(qi) 表示離子在阱勢場中的勢能,而U(qi-ql) 則表示離子i與離子l之間的相互作用勢能.此時,可以將離子受到的來自阱勢場和其他離子的力表示為fi=-?H/?qi.假設第1 個離子與高溫熱庫L 接觸,第N個離子與低溫熱庫R 相接觸.那么系統的運動方程為

其中,γL,R表示熱庫L 或R 對離子的摩擦系數,ηL,R(t)表示熱庫L 或R 對離子的隨機力.接下來,需要用離散形式定義熱流,首先定義由第i個離子流向第l個離子的瞬態的熱流密度為ji→l,其內涵是第i個離子向第l個離子做功的功率,即:

定義熱庫L,R 對第1,N個離子的作用力為fL,fR,那么熱庫流向離子的熱流可以表示為

為了利用連續性方程,定義第i個離子上的能量密度為[3,24]

于是,連續性方程的離散形式可以表示為[3,24]

當處于穩態的時候離子晶體的熱流不再變化,即?ε(qi)/?t=0 ,使用〈···〉表示物理量的平均值,可得此時的總熱流就是離子晶體與熱庫之間的熱流,使用〈J〉代表系統穩態下的總熱流,可得

根據溫度與能量的關系

3 離子晶體中的熱傳導

離子阱系統中,產生與離子晶體接觸的熱庫有兩種方式.離子晶體被離子阱勢場囚禁在真空中,其與外界交換能量的方式通常有兩種: 離子阱勢場的作用和激光的作用.在與離子阱勢場的作用中,通過調整阱勢場的頻率、幅度以及離子在勢場中的位置,可以對離子晶體產生不同程度的加熱作用.在與激光的相互作用中,通過調整激光的功率和頻率,可以對離子晶體產生不同程度的加熱和冷卻效果.因此,在實驗中可以通過這兩種方式在離子晶體的兩邊產生不同溫度的熱庫: 1)改變離子晶體兩端最邊緣的若干個離子所處的囚禁勢場,這樣會使這兩類離子受到來自阱的不同的加熱作用,此時的囚禁勢場相當于兩個不同溫度的熱庫;2)讓兩端最邊緣的若干個離子分別受到兩束不同參數的激光照射,此時激光就能被視作一個等效的熱庫.因為使用激光產生熱庫的方案更容易實現,在接下來的章節中,討論的模型都以激光作為熱庫.本節將詳細介紹并探討文獻[25–28]針對不同維度模型中的離子晶體熱流的研究成果.

3.1 一維模型

考慮一維模型,N個離子沿x軸線性排列,由于離子阱勢場的限制,每個離子均以固定位置為中心做簡諧振動,用ωx表示離子的宏運動頻率.設表示第i個離子簡諧振動的中心坐標,而xi和pi表示其相對于運動中心的相對位移和動量.根據海森伯-郎之萬方程(Heisenberg-Langevin equation)[29,30],系統的運動方程為

其中ρi表示熱庫對離子的摩擦系數,ζi(t) 表示熱庫對離子的隨機力.Ail表示離子之間相互作用力的 耦合矩陣,其表達式為[25]

假設離子晶體兩端的熱庫為Markovian 型熱庫,那么ζi(t) 滿足以下條件( ?=1):

xi(t) 和pi(t) 為第i個離子在t時刻的位移和動量,I為單位矩陣,?為一個大小為 2N×2N的矩陣.

在時刻t,第i個離子的溫度可以表示為Ti(t)=當時間t→∞時,可以得到離子的穩態溫度=Ti(t→∞) .

在文獻[25]中,采用了上述方法對包含100 個離子的模型在不同ρ的取值下的溫度分布進行了計算.當兩個熱庫位于離子晶體邊緣時,離子晶體中的溫度分布如圖1 所示.顯然,圖中的溫度分布不符合傅里葉定律.對于符合傅里葉定律的系統,其溫度分布應該呈現從高溫點逐漸下降到低溫點的線性分布,然而在圖1 的分布中,與熱庫接觸的離子和未與熱庫接觸的離子間的溫度存在顯著的躍階現象,且所有未與熱庫接觸的離子的溫度分布幾乎完全一致.這種溫度分布的出現,可以歸因于熱庫將熱量傳遞到離子晶體的速率遠低于離子晶體內部熱傳導的速度.

圖1 ρ 值不同時,由100 個離子組成的離子晶體在穩態下的溫度分布[25],其中離子的溫度 由平均聲子數來表示.第1 個離子和第100 個離子與熱庫相接觸,由圖中的紅線表示,其他的離子由藍線表示Fig.1.Temperature distribution of an ion crystal composed of 100 ions under different ρ in stable state,where temperature distribution measured by the mean thermal phonon number.The 1st and the 100th ions are in contact with the thermal bath,indicated by the red line in the figure,while other ions are indicated by the blue line.The figure is taken from Ref.[25].

在另一種情況下,如圖2 所示,將高溫熱庫移到離子阱晶體的中央,此時的溫度分布將會分為兩部分.位于兩個熱庫之間的部分將維持在一個相對較低的溫度,而位于高溫熱庫另一側的部分則展現出較高的溫度.值得注意的是,這兩個溫度之間的差距會隨著熱導率的降低而逐漸減小并最終趨于一致.從上述計算結果可以看出,相較于符合傅里葉分布的宏觀系統,一維離子晶體的溫度穩態分布具有多種不同尋常的模式.

圖2 由 101 個離子組成的離子晶體在穩態下的溫度分布[25],其中離子的溫度 由平均聲子數來表示.第1 個離子和第51個離子與熱庫相接觸.與熱庫相接觸的離子由圖中的紅線表示,其他的離子由藍線表示Fig.2.Temperature distribution of an ion crystal composed of 101 ions under different ρ in stable state,where temperature distribution measured by the mean thermal phonon number.The first ion and the 51st ion are in contact with the thermal bath.Ions in contact with the thermal bath are indicated by the red line in the figure,while other ions are indicated by the blue line.The figure is taken from Ref.[25].

3.2 二維模型

接下來,我們將探討更為復雜的二維模型.在二維模型中,離子晶體能夠發生結構相變,從一維的直線構型轉變為二維的之字構型.將模型的兩個維度分別定義為x軸和y軸,離子在這兩個軸向上的宏運動頻率分別為ωx和ωy.定義該模型中的離子數量為N,離子的質量為m,所帶電荷為Q.另外定義qi和pi為離子相對坐標零點的位移和動量,qx,i,qy,i和px,i,py,i分別為它 們在兩個坐標軸上 的投影.于是系統的哈密頓量可以寫為[26]

可以看出,該模型中的離子振動中心位置并不固定,因此當選取不同的離子阱參數時,離子晶體將呈現出不同的構型.在二維模型中,離子的運動方程可以寫為[26]

其中μ表示x或y;ημ,i和Dμ,i表示來自熱庫的摩擦系數和擴散系數;Wμ,i與熱庫對離子的隨機力εμ,i(t) 有關,并且隨機力滿足條件〈εμ,i(t)〉=0 和〈εμ,i(t)εμ,i(t′)〉=2Dμ,iδ(t-t′).熱庫是由激光對離子的作用產生的,在弱光強的條件下可得[26]

假設激光只與x軸上投影坐標最大和最小的幾個離子相互作用,分別產生兩個不同溫度的熱庫,而其他離子則不與激光發生相互作用.用U(|qi-ql|) 代表離子之間的相互作用勢,V(qi) 代表離子阱的勢場,離子的能量密度可以表示為[3,24]

定義從第i個離子流向第l個離子的熱流密度為

激光與第i個離子作用,使這個離子與熱庫產生了接觸,熱庫流向第i個離子的熱流密度為

定義熱流的方向是由編號較小的離子流向編號較大的離子.對于單個離子來說,其自身的能量變化等于流向離子的能量密度減去流出離子的能量密度.因此,第i個離子的連續性方程的離散形式可以寫成:

在穩態情況下,流入離子的能量與流出離子的能量相等,因此由(24)式,穩態下的連續性方程可以改寫成:

式中的〈jB→i〉可以由Novikov 定律[31]得到

為了得到通過離子晶體的總熱流J(t),需要把單個離子的連續性方程擴展成整個離子晶體的連續性方程[3,24]:

其中ε(q,t) 代表離子晶體的能量密度;j(q,t) 代表離子晶體的熱流密度;ji(t) 代表經過第i個離子的熱流密度,其表達式可以通過傅里葉分析得到[26]

將熱流密度j(q,t) 在整個離子晶體范圍內進行積分,得到通過離子晶體的總熱流J(t) :

利用Novikov 定理寫出穩態下離子晶體總熱流的表達式[31]:

穩態時離子晶體中的溫度分布可以表示為

文獻[26]采用數值模擬方法計算了包含N=30 個離子的離子晶體在不同構型下的穩態熱流和溫度分布,其中編號為i=1,2,3 和i=N– 2,N– 1,N的離子分別受到相同功率不同失諧量的兩束激光照射,而其他離子不與激光相互作用.離子晶體的結構相變過程用序參量α來表示,其定義見文獻[26].在文獻[26]采用的數值模擬條件下,α=13 時,離子晶體為直線構型,隨著α逐漸減小,離子晶體相變為之字構型.在離子晶體為直線構型時,離子沿著x軸排列.在直線構型到之字構型的結構相變過程中,離子晶體的溫度分布如圖3 所示,其中溫度分布梯度逐漸增大.在直線構型中,離子晶體溫度分布規律與一維模型計算結果一致,數值模擬結果顯示離子晶體中間部分的溫度為兩個熱庫的平均值.在之字構型中,離子晶體內溫度分布更接近符合傅里葉定律的宏觀系統.

圖3 處于不同構型下的離子晶體在x 方向上的溫度分布 [26],其中 α 表示結構相變的序參量.兩個顏色不同的區域中的離子和不同參數的激光相互作用.插圖表示離子晶體的構型Fig.3.Temperature distribution of ion crystals vs.the distance x in different configurations,where α represents the order parameter of structural phase transition,and the two regions with different colors represent ions interacting with the laser.The insets show the configurations of ion crystals.The figure is taken from Ref.[26].

在二維模型中,離子的振動模式從一維(x方向)拓展到了二維(x和y方向).這兩個方向的宏運動頻率越接近,離子晶體的構型就越接近之字構型,反之,則更接近直線構型.圖4 給出了離子晶體在兩種構型之間的相變過程中熱流的變化趨勢.隨著α值的不斷增大,離子晶體從之字構型相變到直線構型.在這個過程中,熱流逐漸增加.當α=13時,離子晶體完成了從之字構型到直線構型的完全轉變,熱流達到最大值.然而,隨著α值的繼續增大,熱流量開始逐漸下降,但是下降速度較為緩慢.這種現象出現的原因在于離子晶體從之字構型向直線構型相變的過程中,離子之間的距離減小,導致離子之間的相互作用力增強,這使得離子晶體中的熱流增大.另外,在相變點附近,離子熱運動產生的噪聲增大,這種噪聲能夠減小離子晶體中的非平衡性影響[32],也使得熱流增強.

圖4 處于不同構型下的離子晶體的穩態熱流 [26],其中α表示結構相變的序參量.插圖表示離子晶體的構型Fig.4.Heat flux of ion crystals in different configurations,where α represents the order parameter of structural phase transition.The insets show the configurations of ion crystals.The figure is taken from Ref.[26].

3.3 三維模型

在三維模型中,將研究對象擴展到螺旋構型,為此,需要首先計算出在三維情況下離子晶體內的穩態熱流和溫度分布的表達式.定義離子晶體中一共有N個離子,且質量都為m,則系統的哈密頓量可以寫為

其中q=(qx,i,qy,i,qz,i) 是三維空間中的坐標,p=(px,i,py,i,pz,i) 是三維空間中的動量.定義μ=(x,y,z)代表坐標軸上的3 個方向.兩束激光分別與離子晶體兩端的離子相互作用,使離子晶體與兩個溫度不同的熱庫L 和R 相接觸.定義離子晶體中的第1 個到第NL個離子與熱庫L 相接觸,第NR個到第N個離子與熱庫R 相接觸,其他的離子不與熱庫接觸.此時,離子的運動方程可以寫為

接下來計算系統的穩態熱流,首先定義系統的能量密度為

根據(34)式和(39)式,可以推出系統的熱流密度j(q,t) 和熱庫流向離子的熱流密度jB→i分別為[28]

其中G(λ) 為滿足以下條件的任意函數[34]:

利用(39)式、(41)式和(42)式,可以寫出連續性方程:

通過對j(q,t) 積分,可得系統的熱流:

在穩態下,系統的平均熱流與熱庫流向系統的熱流相等,于是穩態熱流可以寫為

其中k代表所有與熱庫接觸的離子的編號,Bk代表與編號為k的離子接觸的熱庫.考慮Novikov定律[31],利用(34)式和(37)式,穩態熱流的表達式可化為

文獻[28]用上述方法計算了不同構型下離子晶體的熱流.在三維模型中,由于運動模式增加了一維,離子晶體的構型需要用另一種方式表達.假設離子晶體處于直線構型時沿著x方向,用ωx,y,z表示離子在3 個方向的宏運動頻率,并定義ωy=nyωx,ωz=nzωx,那么可以用 (ny,nz) 表示離子的構型.圖5 顯示了在文獻[28]的計算參數下,ny和nz取值不同時離子晶體結構相變的相圖.

圖5 在不同 ny 和 nz 的取值下,離子晶體結構相變的相圖[28].用L (linear),Z (zigzag)和H (helical)這三個字母代表離子晶體的直線構型、之字構型和螺旋構型.沿HL 線,(ny,nz) 值的變化會產生直線構型和螺旋構型之間的結構相變.沿ZL 線,(ny,nz)值的變化會產生直線構型與之字構型之間的結構相變.沿ZHZ 線,(ny,nz) 值的變化會產生從之字構型到螺旋構型再到之字構型的結構相變.圖中的灰色區域代表直線構型.在灰色區域之外,HL 線之上的區域代表處于 x-y 平面上的之字構型,在HL 線之下的區域代表處于x -z 平面上的之字構型,HL 線上為螺旋構型Fig.5.Phase diagram of ion crystal structural phase transitions under different values of ny and nz .L (linear),Z (zigzag),and H(helical) represent the linear,zigzag,and helical configurations of ion crystal.ZL line,HL line and ZHZ line represent the zigzag-linear transition,helical-linear transition and zigzag-helical-zigzag transition.The gray region in the figure represents the linear configuration.Outside of the gray region,the region above the HL line represents the zigzag configuration lying in the x-y plane,while the region below the HL line represents the zigzag configuration lying in the x-z plane.The region on the HL line represents the helical configuration.The figure is taken from Ref.[28].

離子晶體在不同構型下的溫度分布如圖6(a)所示,其中直線構型和之字構型的溫度分布規律與二維模型的計算結果相似.螺旋構型的溫度分布相比之字構型更接近宏觀狀態下符合傅里葉定律的溫度分布.從圖6(b)可以看出,螺旋構型的離子晶體中溫度梯度基本保持不變,而不像之字構型中的溫度梯度不斷變化.

圖6 在離子數 N=30 的離子晶體中,不同構型的離子晶體的穩態溫度分布[28],圖中L 代表直線構型、Z 代表之字構型、H 代表螺旋構型,圖中的參數為 (ny,nz) (a) 3 種不同構型的離子晶體在穩態下的溫度分布,兩個顏色不同的區域中的離子和不同參數的激光相互作用;(b)在穩態下,3 種不同構型的離子晶體不與激光接觸的部分的溫度梯度分布,其中 ?T 代表與系統中心的距離Fig.6.Temperature distribution of ion crystals with 30 ions with different configurations in stable state,where L represents linear configuration,Z represents zigzag configuration,and H represents helical configuration.The labels indicate the values of (ny,nz) :(a) Temperature distribution of three different configurations of ion crystals in stable state,where two different colors represent ions interacting with the laser;(b) distribution of temperature gradients in the parts of ion crystals with three different configurations that are not in contact with the laser in stable state,where ?T represents the distance from the center of the system.The figure is taken from Ref.[28].

在保持ny=nz的前提下,離子晶體可以直接從直線構型相變到螺旋構型,而這兩個構型之間的相變過程中的溫度分布和熱流與直線構型和之字構型之間的相變相似.圖7 給出了當 (ny,nz) 的值沿著圖5 中的ZHZ 線變化時離子晶體的溫度分布和熱流的變化情況.從圖7 可以看出,離子晶體無論是處于x-z平面的之字構型還是處于x-y平面的之字構型,其熱流均小于處于螺旋構型時的熱流.此外,還發現ny和nz的差值越大,熱流越小.這是由于y和z兩個維度之間的不平衡導致的非線性效應阻礙了熱流的傳導[28].

圖7 在離子數 N=30 的離子晶體中,離子晶體從處于x-z 平面的之字構型相變到螺旋構型再相變到處于x-y 平面的之字構型的過程中的溫度分布和熱流變化[28] (a)離子晶體在結構相變過程中的3 種典型的溫度分布,兩個顏色不同的區域中的離子和不同參數的激光相互作用,圖中Z 代表之字構型,H 代表螺旋構型,圖中的參數為 (ny,nz) ;(b)在 ny 保存不變時,nz 不斷增大的過程中的熱流變化Fig.7.Temperature distribution and heat flux changes in an ion crystal with 30 ions during the process of zigzag-helical-zigzag transition where Z represents zigzag configuration and H represents helical configuration: (a) Three typical temperature distributions of the ion crystal during the structural phase transition process,where two different colors represent ions interacting with the laser;the labels indicate the values of (ny,nz) ;(b) changes in heat flux during the process of increasing nz while keepingny constant.The figure is taken from Ref.[28].

4 熱流與無序度之間的關系

在研究諧波晶體的熱流中,無序度是一個重要的因素,通常無序度的變化會導致熱流的變化.本節將討論一種能夠解析計算離子晶體穩態熱流的方法,并使用該方法在離子晶體中引入無序度.同時,分析無序度對離子晶體中熱流的影響.

首先,需要寫出系統的哈密頓量H,其表達式為H=HS+HE+Hint,由3 個部分組成.其中,結構哈密頓量HS和環境哈密頓量HE分別表示不與熱庫接觸和與熱庫接觸的兩類離子的哈密頓量,相互作用哈密頓量Hint表示前面這兩類離子之間相互作用的哈密頓量[27,35].定義系統中有N個不與熱庫接觸的離子,X=(q1,···,q3N)T表示這些離子在x,y,z這3 個方向上的坐標,其中T 表示矩陣轉置.P=(p1,···,p3N)T表示離子在3 個方向的動量,用V表示離子之間的耦合矩陣.于是系統的結構哈密頓量可以寫為

另一方面,用 (e) 表示與離子接觸的熱庫,每個熱庫與N(e) 個離子接觸.假設離子晶體的兩邊分別與熱庫L 和R 接觸,那么 (e)=(L) 或 (R) .于是系統的環境哈密頓量可以寫為

根據文獻[35],熱庫的性質由ξ和ν決定,表達式分別為

假設熱庫的類型為Ohmic 熱庫,此時

其中Λ表示高頻截止頻率,ξ0表示弛豫率,P(e) 表示與熱庫(e)接觸的離子在坐標軸上的投影.G?(s)是系統格林函數(Green’s function)的拉普拉斯變換(Laplace transform),其表達式為

通過對(54)式和(55)式進行積分,就可以得到穩態下的熱流等物理量.文獻[27,36,37]提供了一種方法,能夠解析地計算積分.首先計算(s)的6N個特征值{sφ}和對應的特征向量{rφ}.根據文獻[38],(s) 可以被寫成:

并且滿足以下條件:

于是(54)式的積分可以被寫為[27]

其中A=2kB(T(L)P(L)+T(R)P(R)) ,并且ωφ=-isφ.

(55)式的積分可以被寫為[27]

其中?≠-2ikB(T(L)-T(R)) .

文獻[27]采用上述方法計算了離子晶體在不同構型下的熱導率κL與無序度間的關系,其中κL的定義為〈J〉=κL(T(L)-T(R))/L,L為離子晶體的長度.上述模型雖然是三維,但是也能計算出一維(直線構型)和二維(之字構型)情況下離子晶體受到無序度的影響.研究者們在耦合矩陣V中引入無序度,具體操作如下: 隨機選取離子晶體中的一半離子,將其耦合矩陣對應值進行改變Vii→(1±d)Vii,其中d為表示無序度的參數.在文獻[27]中,根據數值計算得到了以下結論: 無序度和離子晶體的長度均會對離子晶體的熱導率產生影響.對于一維情況(直線構型),當無序度d=0.005 且離子晶體長度較小時,熱導率基本不受無序度的影響.然而,當晶體長度繼續增加,熱導率出現了明顯的下降.對于無序度d=0.02 的情況,熱導率受到無序度影響的離子晶體的長度的閾值相對于d=0.005 減小了約一半,并且當晶體長度足夠大時,熱導率下降到了接近0.對于二維情況(之字構型),當d=0.001 時,熱導率就明顯受到了無序度的影響,隨著離子晶體長度的增加,熱導率會下降到接近0.當d的值提高到0.02 時,熱導率會在更小的晶體長度處下降到接近0.對于三維情況(螺旋構型),熱導率受到無序度的影響也很明顯,但是熱導率沒有出現下降到0 的趨勢.

除了離子晶體,研究者也在其他低維系統中對無序度進行了研究.文獻[39]在一維FPU 晶體中探討了無序度與熱流之間的關系,他們通過給晶體中的粒子引入不同質量來產生無序度.數值模擬結果顯示,在高溫或大尺寸的FPU晶體中,無序度對熱流的影響較弱.只有在晶體尺寸較小且溫度較低的情況下,無序度才會對熱流產生顯著影響,此時無序度越高,熱流越小.文獻[6]在二維和三維的諧波晶體中考察了無序度與熱流的關系,他們同樣通過給粒子賦予不同的質量來產生無序度.對于二維諧波晶體,熱流受到無序度和晶體尺寸的共同影響.無序度或晶體尺寸越大,熱流越小.當無序度和晶體尺寸達到一定值時,熱流會降低至接近零.然而,對于三維諧波晶體,熱流受無序度和晶體尺寸的影響較小.盡管無序度和晶體尺寸的增加會使熱流減小,但熱流并未呈現出趨于零的趨勢.

5 總結

本文簡要介紹了離子晶體中熱傳導的研究進展,包括一維、二維和三維模型中溫度分布和穩態熱流的計算方法,以及在不同維度的離子晶體構型下熱流與溫度分布的特性.此外,還介紹了無序度對離子晶體熱導性的影響.在沒有引入無序的情況下,直線構型的離子晶體具有最高的導熱性,其次是螺旋構型,最后是之字構型.產生這一現象的原因是: 在離子晶體中運動模式不平衡導致的非線性效應會阻礙熱流的傳導.直線構型具有最少的運動模式(僅為一維),因此其導熱性最佳.之字構型和螺旋構型都包含3 個運動模式,它們之間的區別在于之字構型的3 個運動模式均不相等,而螺旋構型中有兩個維度的運動模式是相等的.因此,之字構型的導熱性要小于螺旋構型.

在引入無序的情況下,無序會導致離子晶體的熱導性下降,其中之字構型受到的影響最大.當離子晶體中的離子數量較少時(25 個以下),直線構型受到影響最小;而當離子數量較多時(120 個以上),螺旋構型受到的影響最小.如果將離子晶體中軸向運動的不平衡也視為一種無序,那么這也能夠解釋離子晶體中之字構型的導熱率最低.

實驗上已經成功構造出了離子晶體的多種構型,比如直線構型、之字構型[40]、螺旋構型[41]和帶拓撲結的之字構型[42].實驗上也實現了離子晶體在不同構型之間的結構相變[43],而且觀察到溫度對離子晶體構型的影響[44,45].但是到目前為止,還沒有實驗對上述理論描述的穩態下離子晶體的熱傳導進行直接驗證,主要原因在于: 目前在離子阱系統中,用于測量離子溫度的方法(掃描離子熒光線型或測量離子邊帶譜線等)都不適用于穩態下的離子晶體.比如,在使用掃描離子熒光線型的方法時,需要使用一束不斷改變失諧的激光持續照射離子,這相當于離子晶體與一個額外的熱庫相接觸并且破壞了穩態.而掃描離子邊帶譜線的方法雖然不會破壞穩態,但是只能準確測量運動能量低于20 個聲子數的離子體系,相對來說,穩態下離子體系至少會有幾百個聲子數.目前最有希望對穩態進行無破壞測量的技術是通過使用CCD 拍攝離子照片來識別離子的溫度[46].在離子阱系統中已經有研究者在熱傳導方向進行了相關的實驗,比如在文獻[47,48]中,用脈沖激光加熱離子晶體中的一個離子,然后測量了熱量在離子晶體中的傳播(擴散、反射等)規律.

目前對有關低維系統熱傳導的理論已經在實驗室中有所應用,比如在離子阱中的協同冷卻技術,這種技術能夠在只對離子晶體中的一個離子進行冷卻的情況下,降低離子晶體中所有離子的溫度[49,50].對于離子晶體,存在兩種非常有效的冷卻方法,分別是EIT (electromagnetically-induced-transparency)冷卻[51]和偏振梯度冷卻[52].對離子晶體熱傳導的深入研究有助于更好地理解這幾種冷卻方法的冷卻過程以及所能達到的極限冷卻溫度.在離子晶體以外的低維系統中,為了測量熱流,研究者們發展出了多種實驗技術.文獻[53]新發展出一種加工技術,能夠制造尺寸小于100 nm 的獨立三維結構,通過應用這個技術,制造了絕緣熱導體和熱傳感器,并測量了納米線的熱導率.文獻[54]發明了一種懸掛裝置,這種裝置能夠用于探測無基底接觸的納米管中的熱流.

在宏觀系統中,根據變換熱學的理論,科學家們已經成功研發出能夠控制熱量流動方向的超構材料,例如熱二極管.同樣地,在低維系統中也能夠制造出類似功能的微觀熱二極管.文獻[55]在實驗中成功使用納米管制造出了微米級別的熱二極管,整流參數約為7%.而文獻[56]在理論上模擬了由15 個離子構成的離子晶體組成的熱二極管,他們讓離子晶體處于直線構型,并調整每個離子所在的勢阱,使勢阱的頻率依次遞增.將處于此狀態的離子晶體的左右兩端與熱庫接觸,理論計算結果顯示,當左邊的熱庫溫度高于右邊的熱庫時的熱流與左邊的熱庫溫度低于右邊熱庫時的熱流存在明顯的差異.理論上,這種熱二極管的整流參數最高可達80%.