量子博弈—“PQ”問題*

楊曉堃 李維 黃永暢

(北京工業(yè)大學理論物理研究所,北京 100022)

1 引言

量子博弈作為一個新興的研究領域,吸引了廣泛的學術關注.在傳統(tǒng)的經(jīng)典博弈理論中,參與者的決策是基于經(jīng)典概率和策略進行的.然而,隨著量子計算的快速發(fā)展,科研人員意識到在一些復雜系統(tǒng)中,參與者的行為可能受到量子效應的影響.這引發(fā)了研究者對量子博弈理論的興趣.其中,“PQ”問題作為量子博弈中的一個重要議題,涉及到參與博弈者之間進行策略制定、收益分配以及量子效應對博弈結果的影響.研究此問題具有重要的理論和實踐意義.首先,通過深入研究“PQ”問題,可以更好地理解量子效應在博弈理論中的作用,從而揭示復雜系統(tǒng)中參與者行為的量子特性.其次,“PQ”問題的解決方法和算法設計有望為實際應用領域,如信息安全、經(jīng)濟決策和社會科學等提供新的工具和洞見.如今,量子理論[1]和博弈論[2–5]結合在一起,形成了一個新的交叉學科—量子博弈論.

量子硬幣翻轉(quantum penny flip)是量子力學中的一個重要的思想實驗,其展示了量子世界的怪異和違反直覺的本質.在這個思想實驗中,一個人將一個硬幣翻轉并放在手背上.然后,這個人用另一只手蓋住硬幣,防止任何人看到硬幣是正面還是反面.在經(jīng)典世界中,擲硬幣的結果是完全隨機的,無法知道硬幣的狀態(tài),除非這個人通過移開手來揭示結果.然而,在量子世界中,情況不同.

在量子力學中,粒子可以以狀態(tài)的疊加形式存在,這意味著它們可以同時處于多個狀態(tài).薛定諤的貓著名例子最能說明這一點,在觀察到貓之前,它同時是活的和死的.在量子硬幣翻轉的情況下,硬幣可以同時處于正面和反面的疊加狀態(tài),直到被觀察到為止.

那么如何確定量子硬幣翻轉的結果呢? 根據(jù)量子力學,必須“坍縮”疊加,迫使硬幣處于正面或反面狀態(tài).這可以通過某種方式測量硬幣來實現(xiàn).然而,測量這個硬幣的狀態(tài)也會給系統(tǒng)帶來不確定性.測量的行為導致疊加態(tài)塌陷成一個單一的狀態(tài),但是無法事先預測它將塌陷成哪個狀態(tài).

現(xiàn)在考慮一個博弈: 有2 個玩家,愛麗絲和鮑勃,玩量子硬幣翻轉.愛麗絲翻轉硬幣,把它放在手上,用另一只手蓋住.然后鮑勃必須猜測硬幣到底是正面還是反面.如果他猜對了,就贏了比賽.然而,如果他猜錯了,就會輸?shù)舯荣?

在經(jīng)典的擲硬幣博弈中,結果是完全隨機的,有50%的勝算或敗算.然而,在一場擲硬幣的量子博弈中,結果是由測量行為決定的.如果鮑勃以正確的方式猜測這個硬幣的正反,他可以迫使疊加崩潰到他想要的狀態(tài),讓他有大的機會贏得比賽.這聽起來像是欺騙,但實際上這是量子世界中的合法策略.事實上,它是許多量子通信和密碼學協(xié)議的基礎.通過利用量子力學奇怪的性質,可以創(chuàng)建牢不可破的代碼和安全的通信通道.

然而,重要的是要注意,量子力學的規(guī)則也限制了可以從量子系統(tǒng)中提取多少信息,這被稱為不確定性原理.該原理指出,越精確地知道粒子的位置,就越無法精確地知道其動量,反之亦然.在量子硬幣翻轉的情況下,如果鮑勃非常精確地測量硬幣的位置,他將給硬幣的動量帶來很多不確定性.這種不確定性將使鮑勃很難預測未來測量的結果,也就是硬幣的狀態(tài),從而使他更難反復贏得比賽.

在其他研究方面,Eisert 等[6]采用量子方法量化了“囚徒博弈”,解決了經(jīng)典模型無法解決的困境.Benjamin 和Hayden[7–9]、Lai 等[10–12]研究了多人的量子博弈,并證明了這種博弈中可能存在相干平衡策略.Marinatto 和Weber[13]研究的“性別之戰(zhàn)博弈”,給出了博弈量化模型的獨特平衡.文獻[14]在量子計算機上實現(xiàn)了量子博弈的實驗實現(xiàn).1999 年,Meyer[15]通過研究“量子硬幣翻轉博弈”,給出了量子博弈和量子算法之間的關系,并指出量子算法總是能比經(jīng)典算法更具優(yōu)勢.后來,Enk[16]宣布了問題的不同觀點,Meyer[17]給出了回復.文獻[15]研究了Q 如何擊敗P,其中Q 可以使用量子策略,而P 在“擲硬幣博弈”問題中只能使用經(jīng)典策略.

另一方面,文獻[18]研究了經(jīng)典統(tǒng)計力學到量子力學的推廣,提出了N粒子一般W 態(tài)和概率隱形傳態(tài)[19],文獻[20]提出了多光子偏振糾纏簇態(tài)的產(chǎn)生和相應的開放目的地隱形傳態(tài),這些研究都滿足不失不得的定量因果關系[21–24].量子非局域性使得量子力學具有許多獨特和有用的特性,可用于量子隱形傳態(tài)和量子密碼通信等[25].

因此,本文旨在深入研究量子博弈中的“PQ”問題,探討其描述、解決方法和實際應用.通過揭示量子博弈中的量子效應和策略選擇,希望為量子計算領域的發(fā)展和博弈理論的拓展作出貢獻,并為未來量子博弈研究的發(fā)展方向提供參考.

2 量子硬幣翻轉博弈

本文給出一般性的定義和描述,可以更好地理解相關概念.

經(jīng)典博弈與量子博弈的對比: 經(jīng)典博弈理論是研究參與者之間的沖突和合作關系的數(shù)學模型.在經(jīng)典博弈中,參與者的決策是基于經(jīng)典概率和策略進行的.然而,隨著量子計算的興起,量子博弈理論被提出來考慮在復雜系統(tǒng)中量子效應對參與者行為的影響.相對于經(jīng)典博弈,量子博弈引入了量子策略和量子測量,使得參與者能夠采取量子態(tài)來進行決策.

量子比特翻轉博弈的定義與描述為: 量子比特翻轉博弈是量子博弈中的一種典型模型.在這個博弈中,參與者面對一個由量子比特組成的系統(tǒng),并通過施加操作來改變該比特的狀態(tài).博弈的目標是使得量子比特從初始狀態(tài)翻轉到目標狀態(tài).每個參與者可以施加一系列量子操作符來嘗試達到目標狀態(tài),但這些操作符的選擇和順序會影響博弈的結果.參與者的收益取決于達到目標狀態(tài)所需的操作次數(shù).

零和博弈: 零和博弈是一種博弈模型,參與者之間的利益完全相反,一個參與者的收益的增加必然導致其他參與者的收益減少.在零和博弈中,參與者的收益之和為零,因此稱為“零和”博弈.

公平博弈: 公平博弈是指在博弈中,參與者享有相同的信息和機會,不存在不公平的情況.在公平博弈中,參與者的策略選擇和決策過程是公正的,沒有偏向或優(yōu)勢.

非公平博弈: 非公平博弈是指博弈中存在不公平的情況,即參與者之間的信息和機會不均等.非公平博弈可能導致某些參與者在決策過程中擁有優(yōu)勢,或者在收益分配上存在不平等的情況.

“量子硬幣翻轉博弈”的過程是: P 將一枚硬幣放入一個盒子中,并使正面朝上(即,人頭浮雕所在面),依次輪流偷偷翻轉(或不翻轉)硬幣,先令Q 進行操作,然后P 進行操作,然后Q 進行操作,在整個過程中,不允許打開盒子查看硬幣的狀態(tài).完成操作后,人們打開箱子,如果正面朝上,定義Q 獲勝,否則P 獲勝.

然后可以定義基本向量{h,t}的二維向量空間V,其中h表示經(jīng)過t次操作后硬幣的狀態(tài).并將P 的經(jīng)典策略標記為(即對硬幣進行翻轉),(即不對硬幣進行翻轉);Q 的策略是,其中?,φ∈C,為?和φ復共軛,?和φ滿 足即Q 采用量子策略,P 采用概率為p的經(jīng)典策略.

因此,不論P 進行反轉操作還是不反轉操作,這兩種策略對于Q 都為均衡策略.所以,策略集就是博弈的均衡解.

所以,得到定理:

經(jīng)典和量子博弈中的均衡策略和均衡解定理: 不論經(jīng)典策略的P 進行反轉操作還是不反轉操作,經(jīng)典策略P 和量子策略Q 這2 種策略對于Q 都為均衡策略.并且策略集就是博弈的均衡解.

下面,給出量子硬幣翻轉博弈的一般性概括和一般性研究.

3 量子硬幣翻轉博弈的一般推廣

首先定義參與者和策略空間: 在“PQ”問題中,考慮有多個參與者的情況,每個參與者可以選擇不同的量子策略來進行決策.參與者的策略空間包括參與者的量子操作符選擇和操作的順序.

收益矩陣和量子操作符的建模: 為了對“PQ”問題進行建模,使用收益矩陣來描述參與者的收益情況.收益矩陣將參與者的不同策略選擇與對應的收益進行關聯(lián).同時,使用量子操作符來表示參與者在決策過程中的量子操作,這些操作可以改變系統(tǒng)的量子態(tài).

“PQ”問題的分析框架: 針對“PQ”問題,需要建立一個分析框架來研究參與者之間的決策和收益關系.這個框架將考慮參與者的策略選擇、量子效應以及收益分配等因素,以便解決“PQ”問題并分析其結果.

通過對量子比特翻轉博弈、零和博弈、公平博弈和非公平博弈等概念的定義和描述,本文能夠更準確地探討量子博弈中的“PQ”問題,并為后續(xù)的分析和研究提供基礎.

收益函數(shù)的定義: 在研究“PQ”問題中,需要定義參與者的收益函數(shù).收益函數(shù)描述了參與者在不同策略選擇下所獲得的收益或效用.具體而言,可以考慮量子比特翻轉博弈中的收益函數(shù),其可以是基于博弈完成所需的操作次數(shù)、量子比特的最終狀態(tài)或其他相關因素的函數(shù).

數(shù)值模擬的設計與實現(xiàn): 為了驗證解決“PQ”問題的方法和算法的有效性,可以進行數(shù)值模擬實驗.在模擬中,可以選擇具體的參與者策略、量子操作符和收益函數(shù),并進行大量的實驗運行來獲取統(tǒng)計結果.通過對不同參數(shù)和情景的變化進行實驗分析,可以評估解決方案的性能和適用性.

本文從看似公平的量子硬幣翻轉博弈開始討論,研究其是否公平.

由于首先將正面朝上放入盒子,然后依次將Q,P,Q 翻轉(或不要翻轉)硬幣[15].顯然,整個博弈是不公平的,因為Q 比P 做了更多的操作,這是Q 擊敗P 的原因.因此,應該增加一次將硬幣擲給P 的機會,以保證博弈在真正意義上的公平.

現(xiàn)在給出“不完全公平博弈”和“完全公平博弈“的定義.

不完全公平博弈: 在2 個玩家的博弈中,當每個玩家的獲勝概率相同,即他們的操作機會不同,即o1≠o2,o1,o2∈N,(on是玩家的操作時間,N 為自然數(shù)集),則該博弈被定義為不完全公平博弈.

完全公平博弈: 在2 個玩家的博弈中,不僅當每個玩家的獲勝概率相同,即而且他們的操作機會是相同的,即o1=o2,博弈被定義為完全公平博弈.

在這場完整的公平博弈中,將討論量子策略和經(jīng)典策略,并研究哪種策略更有優(yōu)勢.

當p＝1 時,ρ4變化為即硬幣的反面向上,P 的回報為1,因此P 可以通過改變概率p來提高回報.

從上述結論可以發(fā)現(xiàn),在這種情況下,Q 的量子策略并不優(yōu)越,故當Q 和P 翻轉硬幣的時間相同時,博弈是“完全公平的博弈”.因此,發(fā)現(xiàn)Meyer[15]提出的“量子硬幣翻轉博弈”問題是一個“不完全公平的博弈”,整個過程需要重新討論.

本文討論的是量子策略和經(jīng)典策略在博弈中誰是有利的,故2 個參與者都采用量子策略或經(jīng)典策略的情況不需要討論.

由于2 個玩家都不希望在第1 個循環(huán)中處于不利位置,因此,2 個玩家采用均衡策略集 ({F/2+故 在第1 個周期之后,硬幣的狀態(tài)為

因為硬幣的純量子態(tài)是線性疊加態(tài),?|h〉+φ|t〉(?,φ∈C ,??ˉ+φφˉ=1 ),因此任何狀態(tài)ρ都可以描述為

當ρ4的所有對角元素仍然是1/2(即正面的向上和向下概率都是1/2)時,P 的策略仍然可以確保其預期收益為0,而不考慮Q 所采用的策略.同樣,Q 也可以保證或者0,使得ρ4的所有對角元素仍然是1/2 以確保其預期收益為0,無論P 采用何種策略.因此,策略集{F/2+N/2,?(?1,φ1),F/2+N/2,?(?2,φ2)}是均衡的,其量子策略收益與經(jīng)典策略相同.

另外2 個元素是交叉項,由量子策略的影響產(chǎn)生.因此,交叉項只影響量子策略行動后的狀態(tài),對這種狀態(tài)的回報沒有任何影響,現(xiàn)在可以使用多輪量子硬幣翻轉博弈來解釋,得到

(8)式的對角元素為

很明顯,這種狀態(tài)受到交叉項的影響.但當玩家采用經(jīng)典策略ρn-1時,交叉項不會產(chǎn)生任何影響.在此,仍然利用方程(7)中首次出現(xiàn)的公式來獲得

從(7)式—(11)式發(fā)現(xiàn)交叉項對一個循環(huán)中的最終狀態(tài)沒有任何影響.

那么當交換一下P 和Q 的操作順序,會出現(xiàn)什么情況? 依舊選擇讓P 采用量子策略,Q 采用經(jīng)典策略.首先,Q 采用經(jīng)典策略,用概率翻轉硬幣后,狀態(tài)變?yōu)槿缓驪 通過量子策略操作,然后狀態(tài)變?yōu)?/p>

在這之后,Q 再次采用經(jīng)典策略,很可能會把硬幣翻過來

因此,關于 $Q和 $P的不同具體表達,得到了一個有趣的一般關系

等式 (15)意味著等式 (15)的某些量的某些變化一定會導致等式 (15)中的其他量的相對一些變化,從而使等式 (15)的右側保持不失不得,即零,即等式 (5)也滿足定量統(tǒng)計定量因果關系.

所以,得到定理:

經(jīng)典和量子博弈中的量子預期收益和經(jīng)典預期收益的零和定理,對于量子Q 的預期收益 $Q和經(jīng)典P 的預期收益 $P的不同具體表達式,存在一般零和關系 $Q+ $P=0 .

這是因為許多一般的物理過程都應滿足定量因果關系,且具有不失不得的特征[21–24],而上述研究滿足定量統(tǒng)計定量因果關系,因此上述研究是自洽的.特別地,等式 (15)只是2 個玩家公平博弈的所有收益的零和性質.

漸進與非漸進結論的確定: 本文需要明確論述結論公式的性質是漸進的還是非漸進的.這取決于具體研究的問題和解決方案.如果能夠證明隨著問題規(guī)模的增加,解決方案的性質會趨于穩(wěn)定或收斂到一個特定值,那么可以得出漸進結論.然而,如果結論公式的性質隨著問題規(guī)模變化而變化,那么將得到非漸進的結論.故結論(15)式是漸進的.

4 應用和討論

最優(yōu)策略的確定: 為了確定最優(yōu)策略,可以運用優(yōu)化算法和方法來尋找在給定情況下能夠最大化參與者收益的策略.這可以涉及到數(shù)值優(yōu)化技術、動態(tài)規(guī)劃和遺傳算法等.通過對問題的建模和算法設計,可以找到最優(yōu)策略的一般形式或具體的策略選擇.通過以上分析和實驗,能夠得出關于“PQ”問題的結論,包括最優(yōu)策略的性質、收益函數(shù)的影響以及解決方案的效果評估.這些結論的形式取決于具體的研究內容和問題的特點.

因此,當2 個參與者擲硬幣的操作機會相同(即“完全公平的博弈”)時,無論參與者采用何種策略,都不能單方面提高自己的收益.

當參與者擲硬幣的次數(shù)不同時(即“不完全公平的博弈”),定義擲硬幣次數(shù)為2n+1 次的奇數(shù)參與者和擲硬幣次數(shù)2n次的偶數(shù)參與者.量子策略是奇數(shù)參與者的最佳選擇,其可以確保奇數(shù)參與者的收益大于偶數(shù)參與者的收益,即在不完全公平博弈的情況下,奇數(shù)參與者所采取的策略決定了2 個參與者的預期收益.

從均衡的角度出發(fā),可以將納什均衡進一步細分為2 種: 一種是對稱納什均衡,即通過采用納什均衡策略,所有參與者在博弈后的收益是相同的;另一種是非對稱納什均衡,即通過采用納什均衡策略,所有參與者在博弈后的收益不盡相同.

這種方式使比賽成為完全公平的比賽,并保證比賽的公平屬性.在這種情況下,其他類似的比賽都采用了類似的規(guī)則,這確保了比賽是在完全公平的情況下的比賽.

5 總結與結論

本文對“PQ”問題進行了全面的研究與分析,并提出了解決方案和應用前景.量子博弈理論為科研人員理解復雜系統(tǒng)中參與者行為的量子特性提供了新的視角.隨著量子計算技術的進一步發(fā)展,相信量子博弈研究將在未來發(fā)揮更重要的作用,并對各個領域產(chǎn)生深遠的影響.

總之,量子硬幣翻轉是一個迷人的思想實驗,其說明了量子世界的奇怪和違反直覺的本質.通過利用量子力學的性質,可以創(chuàng)造出新的強大技術,但也必須意識到不確定性原理帶來的局限性.在量子硬幣翻轉博弈中,如果鮑勃正確測量硬幣,量子力學的規(guī)則會給他更大的獲勝機會,但這種操作也有其自身的局限性和挑戰(zhàn).

本文給出了“不完全公平博弈”和“完全公平博弈“的定義,從而對文獻[15]進行了修改,使博弈公平.在此條件下,討論并研究了“量子硬幣翻轉博弈”,將硬幣翻轉的次數(shù)擴展到任意數(shù),通過交換量子策略和經(jīng)典策略,再次給出了“量子硬幣翻轉博弈”的量化過程,得到了2 個參與者公平博弈的所有收益的零和性質的表達式.

最后,得出了量子策略在完全公平博弈條件下是不完全有利的,而量子策略只有在不完全公平博弈的條件下才有利,這些更本質的結論—完全公平和不完全公平是相對于整個博弈而言的,并通過一些例子來表達和解釋其在現(xiàn)實中的意義.本文推導的這些結果在世界上廣泛領域的不同類型雙人比賽中具有非常重要的理論意義和非常有用的實用價值.