部分相干多離軸渦旋矢量光束的傳輸特性*

徐華鋒 張興宇 王仁杰

(安徽理工大學力學與光電物理學院,淮南 232001)

1 引言

部分相干光的存在具有普遍性,并且在許多應用領域,部分相干光束比完全光束更具有優越性,例如,部分相干光能夠有效克服大氣湍流負效應影響[1–3];基于隨機光場相干結構調控的光學加密在復雜環境中具有較好的魯棒性[4].因此,部分相干光束的研究與應用一直以來是光學領域中的熱點課題[1–6].近年來,得益于Gori 等[7,8]提出的構建部分相干光束關聯函數的限定條件,系列具有非傳統(非高斯函數形式)的特殊關聯結構函數的部分相干光束受到了廣泛的關注與研究[9–13].大量研究表明,具有特殊空間關聯結構的部分相干光束展現出許多奇特性質,如厄米-高斯關聯結構的部分相干光束在傳輸過程中展現出自分裂與自愈合特性[9];非均勻關聯部分相干光束在傳輸過程中展現出自偏移與自聚焦特性[10];拉蓋爾-高斯關聯結構的部分相干光束經過聚焦后可以在焦點附近產生三維可控的光學囚籠[11]等.2014 年,Mei[12]和Liang 等[13]分別從理論和實驗上研究了具有矩形對稱的余弦-高斯關聯結構(RCGSM)的部分相干光束,并揭示了該光束在傳輸過程中具有自分裂特性而產生4 個相同的子波瓣.這些結果表明,通過調控部分相干光束的空間關聯結構是塑造和構建特定結構光場的一種有效方法,在自由空間光通信、衍射成像和光學微操縱等領域具有重要的應用價值[14,15].

渦旋光束是一種具有螺旋相位波前的特殊結構光束,因其攜帶有軌道角動量和位相奇點等特點,在光學微操控、光學通信、量子信息和表面等離激元等領域具有廣泛的應用[16–21].渦旋光束的產生方法有很多,常用的有螺旋相位板、計算全息法和空間光調制器轉換法等[22,23].通常,在實驗中利用螺旋相位板或叉型相位全息圖產生渦旋光束時,為了將渦旋相位嵌入到光束波前中,需將渦旋相位中心與光束中心嚴格對準.然而,在實際操作中由于對準誤差的原因,兩者之間會存在一定程度的偏離,從而會產生離軸渦旋光束[24].因此,研究離軸渦旋光束的傳輸與聚焦特性更具有實際的研究意義和價值.有研究表明,離軸渦旋相位可以打破軸向能流的旋轉對稱性,而且多個離軸渦旋相位可以引起聚焦光場強度的重新分布和構建,這為渦旋光束傳輸特性的調制提供了一種新的調控手段[25–27].

本文以具有分裂特性的RCGSM 光束為對象,將多個離軸渦旋相位引入其中,構建一種攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束的理論模型,數值模擬了攜帶3 個和4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過薄透鏡后聚焦光強和偏振態分布的演化情況,探討了多個離軸渦旋相位的調控對每個子波瓣的調制效果,并分析了光束階數和相干長度對光束傳輸特性的影響,同時還探討了該光束通過障礙物后的自修復能力.本研究結果將在光學微操控和光學加密等領域有著重要應用價值.

2 理論模型構建

在直角坐標系中,徑向偏振光束可以看作是由x偏振方向的HG10模式和y偏振方向的HG01模式的相干疊加[28,29]:

式中,w0為徑向偏振高斯光束的束腰寬度,Ex(r,ω)和Ey(r,ω) 分別表示源平面r≡(x,y) 處角頻率為ω的電場在x和y方向上的分量,ex和ey分別表示x和y方向上的單位矢量.

基于相干偏振統一理論,在空間-頻率域中,部分相干徑向偏振光束的二階統計特性可以用2×2 階交叉譜密度矩陣來表示[30]:

其中,矩陣元為

式中,“*”表示復共軛運算,〈·〉表示系統平均.為了簡化,在下面公式推導中,所有推導物理量中的頻率將被省略,但其依賴性仍然隱含在其中.

為了成為數學上可實現的真實交叉譜密度函數,其矩陣元必須滿足以下正定條件[8]:

其中,Hx(r,v) 和Hy(r,v) 為任意函數,v=(vx,vy)是傅里葉平面上空間頻率矢量;pαβ(v) 是2×2 權重矩陣(v) 的矩陣元,即:

需要滿足以下非負的限定性條件:

另外,為了要構建出高斯-謝爾模源,核函數Hα(r,v)應具類似的傅里葉結構,即:

其中,k=2π/λ是波數,λ是波長;位置矢量r和r′分別是相對于光軸O和渦旋中心O′來定義的.因此,光束輪廓函數Fα(r) 是關于光軸對稱,而渦旋函數f(r′) 是關于渦核中心對稱[26,31].如圖1(a)所示,以光束中心O為坐標原點,假定有N0個離軸渦旋相位,其中第j個渦旋中心與光束中心偏離的位移矢量為sj=(sxj,syj) ,坐標分別為sxj=s0cos[(j-1)2π/N0] 和syj=s0sin[(j-1)2π/N0],則位置矢量的關系可以表示為=r-sj[26].特別地,當偏移量s0=0 時,渦旋相位中心與光束中心重合,表示為軸上渦旋相位.

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圖1 (a)源平面處第j 個離軸渦旋中心與觀察點的位置矢量關系;(b)—(d)攜帶3 個離軸渦旋相位(拓撲荷數l=1)的徑向偏振RCGSM 光束在源平面處的(b)離軸渦旋相位排列、(c)離軸渦旋相位分布和(d)光強分布Fig.1.(a) An illustration of the position vector relationship between the j-th off-axis vortex phase core and the observation point in the initial plane;(b) arrangement of three off-axis vortex phases,(c) phase distribution,and (d) intensity distribution of a radially polarized RCGSM beam carrying three off-axis vortices in the source plane,respectively.

本文為了構建出具有直角對稱的余弦-高斯形式關聯結構的徑向偏振光束[26],并將多個離軸渦旋相位均勻地引入其中,核函數設定為

權重函數[12,13]為

徑向偏振RCGSM 光束是一類具有特殊空間關聯結構的高斯-謝爾模光束,是一種真實存在的部分相干光束,其數學函數滿足麥克斯韋方程和亥姆霍茲方程的解,且能穩定傳輸[12,13].Liang 等[13]在實驗上利用空間光調制器(SLM)與旋轉的毛玻璃片(RGGD)的組合產生了RCGSM 光束.若將該光束通過一個徑向偏振轉換器件,從而得到徑向偏振RCGSM 光束.此外,再利用全息計算法設計產生多個離軸的叉型相位光柵圖加載到SLM 上,從而將多個離軸渦旋相位引入到光束中,便可以產生出攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束.

為了能夠直觀理解攜帶多個離軸渦旋相位的矢量光束模型,在圖1(b)—(d)分別給出了攜帶3 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束的相位排列方式、相位分布和光強分布.在源平面處,3 個離軸渦旋相位相對于光束中心O均勻排列(如圖1(b),(c)所示),徑向偏振光束中心因具有偏振奇點緣故而強度為零,呈現暗中空結構分布,而光束的半腰寬上分布著與離軸渦旋相位中心相對應的3 個空心暗核(見圖1(d)).

3 基于ABCD 光學系統的傳輸理論

在傍軸近似條件下,部分相干矢量光束在源平面處被不透明的障礙物遮擋后并通過ABCD光學系統時,在z>0 處的接受平面上交叉譜密度函數矩陣元可以利用菲涅爾-惠更斯原理來表示[32,33]:

此處,ρ1和ρ2表示輸出平面內橫截面上的位置矢量,A,B,C和D表示ABCD光學系統的變換矩陣元.式中T(ri) 表示不透明障礙物的透過率函數,具有高斯振幅吸收率的圓形障礙物的透過率函數可以表示[33]:

其中,r0=(x0,y0) 和wd分別表示圓形障礙物的中心坐標和尺寸.而扇形障礙物的透過率函數T(θ)可表示為[34,35]

式中,符號“?”表示卷積運算.

在輸出平面上的總光強可以表示為

其中,Ixx(ρ,z) 和Iyy(ρ,z) 分別表示聚焦光強在x和y的光強分量.

另外,可以認為部分相干矢量光束的交叉譜密度是完全偏振部分成分和完全非偏振部分成分之和,而完全偏振部分的偏振態可以用偏振橢圓來表征,其橢圓的長半軸A1和短半軸A2,橢圓度ε和方位角θ可以用交叉譜密度矩陣元來表示[37]:

(21)式中的符號 “+”和“–”分別對應橢圓的長半軸A1和短半軸A2的表達式,Re 表示取實部.將(14)式—(17)式代入(21)式—(23)式中,可以研究攜帶多個離軸渦旋的徑向偏振RCGSM 光束通過透鏡后的偏振態分布.

4 數值模擬與分析

4.1 聚焦光強

首先采用數值方法研究部分相干多離軸渦旋矢量光束在通過薄透鏡后的聚焦特性,薄透鏡的焦距為f.利用上文的推導結果和MATLAB 軟件,(15)—(17)式的積分運算可以利用MATLAB快速傅里葉變換(FFT)算法和卷積定理來計算.源平面和接受平面的變換矩陣可以表示為[36]

在數值計算中,取光束波長λ=632.8 nm,束腰半徑w0=1 mm ,渦旋相位離軸距離s0=0.5w0,每個離軸渦旋相位的拓撲荷數l=1,透鏡的焦距f=400 mm,圖2 和圖3 中右下標橫線代表了每個圖的四分之一大小.

圖2 當光束階數 m=n=5 時,攜帶3 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過薄透鏡后的聚焦光強演化Fig.2.Evolution of the focused intensity of a radially polarized RCGSM beam carrying three off-axis vortex phases through a thin lens when the beam order m=n=5 .

圖3 當光束階數 m=n=5 時,攜帶4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束的聚焦光強演化Fig.3.Evolution of the focused intensity of a radially polarized RCGSM beam carrying four off-axis vortex phases through a thin lens when the beam order m=n=5 .

圖2 和圖3 分別表示光束階數m=n=5 時,攜帶3 個和4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM光束在不同相干長度δ0下通過薄透鏡后的聚焦光強演化情況.如圖2 和圖3 第1 列所示,在源平面處,徑向偏振光束中心因具有偏振奇點緣故而強度為零,呈現暗中空結構分布.此外,由于渦旋相位中心具有相位奇點,因此在光束的半腰寬上分布著與離軸渦旋相位中心相對應的多個空心暗核.由于徑向偏振RCGSM 光束因其獨特的空間相干結構而表現出自分裂特性,可以分成4 束完全相同的子波瓣,該結果與文獻[12,13]結果一致.此外,本課題組前期研究表明,多離軸渦旋相位可以引起聚焦光強的重新分布與構建[26].更有意義的是,這種多離軸渦旋相位調制效果可以作用在每個子波瓣上.如圖2 和圖3 第1 行所示,在相干長度較大的情況下(δ0=1.5 mm),光束在自分裂的過程中,每個子波瓣的光強在多離軸渦旋相位調制下旋轉聚焦與重構,最后在焦平面處分別形成了三角形(圖2(a4))和正方形(圖3(a4))空心光強分布.由此可發現,通過調控離軸渦旋相位的數量N0,從而可以調控每個子波瓣的光強分布,產生4 束相同的多邊形空心光強陣列.當相干長度較小時,光束的分裂演化速度加快,且子波瓣之間的間距變大.然而,當相干度特別小時(如圖2 和圖3 最后一行所示,δ0=0.5 mm),部分相干光束的相干性調控占主導作用,離軸渦旋相位在每個子波瓣的調制效果逐漸消失,由于低相干性引起的光強退化效應嚴重,每個子波瓣呈現準高斯光強分布.

圖4 和圖5 分別給出了光束階數m=n=5和相干長度δ0=1.5 mm 時,攜帶4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過薄透鏡后的偏振態演化情況.作為對比,圖中第1 行為無障礙物時的光強演化情況.利用不同角度的扇形障礙物和不同尺寸的圓形障礙物遮擋住其中一個離軸渦旋相位.如圖4 和圖5 的第2 行所示,當障礙物相對較小時,光束仍具有一定的自修復能力.然而,當障礙物尺寸較大時,將其中一個離軸渦旋相位完全遮擋住,此時葉瓣的強度分布遭到破壞,導致每個子波瓣會出現不同程度的“缺口”.此外,當相干度較小時,部分相干光束的空間相干性調控占主導作用,部分相干光束能夠表現出更強的自修復能力[35],但每個子波瓣的光強退化為高斯形式分布.

圖4 當光束階數 m=n=5 和相干長度 δ0=1.5 mm 時,攜帶4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過扇形障礙物的聚焦光強演化Fig.4.Evolution of the focused intensity of a radially polarized RCGSM beam carrying four off-axis vortex phases after passing through a sector-shaped opaque obstacle when the beam order m=n=5 and coherent length δ0=1.5 mm .

圖5 攜帶4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過圓形障礙物后的聚焦光強演化( m=n=5 ,δ0=1.5 mm)Fig.5.Evolution of the focused intensity of a radially polarized RCGSM beam carrying four off-axis vortex phases after passing through a circular obstacle when the beam order m=n=5 and coherent length δ0=1.5 mm .

4.2 偏振態分布

圖6 為攜帶3 個和4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過薄透鏡后的偏振態演化情況.在源平面處(z=0),光束的偏振態呈現徑向偏振分布,但在傳輸過程中,由于光束的自分裂特性和離軸渦旋相位的影響,其徑向偏振態逐漸轉化為每個子波瓣上的橢圓偏振態或圓偏振態分布,這表明在渦旋光束的聚焦過程中,其攜帶的軌道角動量逐漸轉化為每個子波瓣上的自旋角動量.如圖6 所示,徑向偏振逐漸演化成與4 個光束子波瓣相對應的左旋橢圓偏振分布(拓撲荷數l=1)并呈順時針旋轉,最后在焦平面處每個子波瓣上的偏振態分別呈現倒三角形(N0=3)和斜正方形分布(N0=4).

圖6 當光束階數 m0=n0=5 和相干長度 δ0=1.5 mm 時,攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過薄透鏡后的偏振態演化情況Fig.6.Evolution of the state of polarization of radially polarized RCGSM beams carrying multiple off-axis vortex phases through a thin lens when the beam order m0=n0=5 and coherent length δ0=1.5 mm .

圖7 和圖8 分別為光束階數m0,n0和相干長度δ0對攜帶3 個和4 個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束在焦平面處偏振態分布的影響.如圖7 和圖8 第1 列所示,當光束階數較小(如m0=n0=1)或相干度較大(如δ0=1.5 mm)時,光束并未完全分裂,因而光束子波瓣之間的偏振態有相互交疊現象.如圖7 所示,當光束階數m0,n0逐漸增大時,光束完全分裂后,偏振態之間沒有交疊,每個子波瓣光強呈現三角形或正方形空心強度分布,而其偏振態則呈現倒三角形或斜正方形分布且保持不變.如圖8 所示,當相干長度δ0逐漸減小時,光束完全分裂后,每個子波瓣的光強由三角形或正方形空心強度分布退化成準高斯分布,而其偏振態仍呈現倒三角形或斜正方形分布并保持不變.因此,當光束子波瓣完全分離后,光束階數m0,n0和相干長度δ0對偏振態的分布并無太大的影響.

圖7 當相干長度 δ0=1.5 mm 時,光束階數 m0,n0 對攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束在焦平面處偏振態分布的影響Fig.7.Influences of beam order m0,n0 on the distribution of the state of polarization of radially polarized RCGSM beams carrying multiple off-axis vortex phases in the focal plane when the coherent length δ0=1.5 mm .

圖8 當光束階數 m0=n0=2 時,相干長度 δ0 對攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束在焦平面處偏振態分布的影響Fig.8.Influence of coherent length δ0 on the distribution of the state of polarization of radially polarized RCGSM beams carrying multiple off-axis vortex phases in the focal plane when the beam order m0=n0=2 .

圖9 為攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過不同角度的扇形障礙物后在焦平面處的偏振態分布.如圖9 所示,當光束通過障礙物后,光束的一個離軸渦旋相位被遮擋,不僅每個子波瓣的強度分布遭到破壞,而且其偏振態也會遭到破壞,變成了左右對稱結構的偏振分布.即使在相干度較小時,光強具有較強的自修復能力,其偏振態都無法完成自修復.

圖9 當光束階數 m=n=2 和相干長度 δ0=0.5mm 時,攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過扇形障礙物后在焦平面處的偏振態分布Fig.9.Distribution of the state of polarization in the focal plane for the radially polarized RCGSM beams carrying multiple off-axis vortex phases through a sector-shaped opaque when the beam order m=n=2 and the coherent length δ0=0.5 mm .

5 結論

基于部分相干光的相干與偏振的統一理論,采用傅里葉變換和卷積定理的方法,研究了攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振RCGSM 光束通過薄透鏡后的聚焦光強和偏振態分布等聚焦特性.研究表明,該光束因其獨特的空間相干結構而具有自分裂特性,可以產生4 個相同的子波瓣.此外,多離軸渦旋相位可以對每個子波瓣的光強和偏振態分布進行調制.當相干長度較大時,在相干性和多離軸渦旋相位的共同調制下,光束可以在焦平面處產生4 個具有多邊形空心光強分布的光斑陣列,而每個子波瓣的多邊形強度分布與離軸渦旋數量N0有關;當相干度較小時,光束的相干性調控占主導作用,而多個離軸渦旋相位對子波瓣的光強調制效果消失,每個子波瓣的光強退化成準高斯形式分布.當光束完全分裂后,每個子波瓣上的偏振態呈現出與光強對應的斜多邊形橢圓分布并保持不變,與光束階數和相干長度無關.另一方面,若用一個扇形或圓形障礙物將其中的一個離軸渦旋相位遮擋住,則會破壞每個子波瓣的強度分布和偏振分布,在每個子波瓣上產生不同程度的光強缺口.總之,本文研究揭示了攜帶多個離軸渦旋相位的徑向偏振矢量光束的聚焦特性,通過聯合調制部分相干光束的空間關聯結構和多個離軸渦旋相位,可以實現對光束陣列中子波瓣的光強和偏振態的調控,在微粒操控和光學加密等領域有著重要應用前景.