具有平帶的一維十字型晶格中重返局域化現(xiàn)象*

陸展鵬 徐志浩2)?

1) (山西大學(xué)理論物理研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

2) (山西大學(xué)極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

1 引言

安德森局域化(Anderson localization)是凝聚態(tài)物理中重要概念,指的是在介質(zhì)中引入無序會(huì)阻礙物質(zhì)波的傳播,即粒子波函數(shù)只分布在空間的一小段區(qū)域中,而無法向四周擴(kuò)散,遍布整個(gè)系統(tǒng).該現(xiàn)象于1958 年由Anderson 首次提出[1],并已在各類實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上得到了驗(yàn)證,包括冷原子[2,3]、微波腔[4,5]和光子晶體[6]等.安德森局域化對(duì)于理解無序系統(tǒng)中粒子的輸運(yùn)性質(zhì)具有重要意義.根據(jù)單參數(shù)標(biāo)度理論預(yù)測(cè),在維度D≤2 的系統(tǒng)中,任意微弱的隨機(jī)無序?qū)?dǎo)致系統(tǒng)的局域化[7].然而,在準(zhǔn)周期系統(tǒng)中,該理論失效,即低維準(zhǔn)晶體系可能出現(xiàn)金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變.一維Aubry-André (AA)模型[8–11]作為一個(gè)范式已在冷原子[3]和光子晶體[12,13]等實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中實(shí)現(xiàn),其特點(diǎn)是當(dāng)準(zhǔn)周期無序強(qiáng)度超過某一臨界值時(shí),所有本征態(tài)都會(huì)經(jīng)歷從擴(kuò)展態(tài)到局域態(tài)的轉(zhuǎn)變.這一臨界值由其自對(duì)偶特性決定.而通過破壞AA 模型的自對(duì)偶性,可以實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)和局域態(tài)共存的情況.兩者由一臨界能量分割開來,被稱為遷移率邊[14,15].此外,準(zhǔn)周期系統(tǒng)還具有許多獨(dú)特的性質(zhì),其中包括局域轉(zhuǎn)變伴隨拓?fù)湎嘧僛12],擴(kuò)展態(tài)、局域態(tài)和臨界態(tài)之間的多種局域化轉(zhuǎn)變[16–21]以及一維Aubry-André-Fibonacci 模型中出現(xiàn)的瀑布型退局域化轉(zhuǎn)變[21,22]等.

普遍認(rèn)知中,無序系統(tǒng)發(fā)生局域化轉(zhuǎn)變之后,系統(tǒng)的本征態(tài)會(huì)隨著無序強(qiáng)度的增加一直處于局域態(tài).然而,文獻(xiàn)[23]研究表明,在一維二聚化模型中引入對(duì)角交錯(cuò)準(zhǔn)周期勢(shì)調(diào)制,系統(tǒng)會(huì)發(fā)生重返局域化現(xiàn)象.這意味著系統(tǒng)會(huì)隨著無序強(qiáng)度的增強(qiáng)發(fā)生2 次局域化轉(zhuǎn)變,即系統(tǒng)發(fā)生第1 次局域化轉(zhuǎn)變后,如果繼續(xù)增加無序強(qiáng)度并超過某個(gè)臨界值,一些局域態(tài)重新變成退局域化態(tài),而隨著無序強(qiáng)度的進(jìn)一步增加,系統(tǒng)再次進(jìn)入完全局域相區(qū).這2次局域化轉(zhuǎn)變會(huì)經(jīng)過2 個(gè)中間相區(qū)域,同時(shí)伴隨著遷移率邊的出現(xiàn)[24–31],并且系統(tǒng)中存在4 個(gè)轉(zhuǎn)變點(diǎn).最近非厄米系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)了重返局域化及多次重返局域化的現(xiàn)象,并且重返局域化現(xiàn)象可以通過波包動(dòng)力學(xué)進(jìn)行探測(cè)[32–36].

一維平帶晶格是一種具有平移不變性的緊束縛晶格,其能譜含有不依賴于動(dòng)量的能帶[37],因此電子的動(dòng)能就被完全凍結(jié)了,弱相互作用能在量子相變中起主導(dǎo)作用.通常平帶系統(tǒng)被認(rèn)為是一個(gè)理想的探索強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理的平臺(tái)[38].最近,在一維平帶系統(tǒng)研究中呈現(xiàn)了一些奇特的局域化性質(zhì),引起了人們的關(guān)注.比如非傳統(tǒng)局域化長度的標(biāo)度行為[37],局域態(tài)與臨界態(tài)之間的轉(zhuǎn)變[39,40],存在解析的遷移率邊[41–43]等.平帶上電子的實(shí)空間波函數(shù)是嚴(yán)格局域化的,被稱為緊湊局域態(tài)[37].而平帶系統(tǒng)可以通過緊湊局域態(tài)所占據(jù)的原胞的個(gè)數(shù)U來區(qū)分.而一維十字型晶格就是U=1 的經(jīng)典平帶模型,即緊湊局域態(tài)只占據(jù)在一個(gè)原胞中.作為平帶模型的范式,人們已經(jīng)在其基礎(chǔ)上做了大量的研究.如平帶態(tài)壽命[44]、螺旋量子輸運(yùn)[45]等.本文研究了具有準(zhǔn)周期調(diào)制的一維十字型平帶晶格.發(fā)現(xiàn)經(jīng)過局域規(guī)范變換,系統(tǒng)清晰地展現(xiàn)了雙頻調(diào)制的特點(diǎn),進(jìn)一步通過數(shù)值計(jì)算證實(shí)了重返局域化的存在.當(dāng)系統(tǒng)恢復(fù)成單頻率調(diào)制時(shí),通過解析和數(shù)值手段證明了,系統(tǒng)存在解析的遷移率邊,但不存在重返局域化.這一結(jié)果為平帶系統(tǒng)中研究重返局域化現(xiàn)象提供了參考.

2 理論模型

如圖1 所示,本文考慮一個(gè)由L個(gè)原胞(2L格點(diǎn))構(gòu)成的一維十字型晶格,其中綠色虛線表示由A 和B 兩種子格組成的一個(gè)原胞,黑色虛線代表胞內(nèi)躍遷,黑色實(shí)線代表胞間躍遷.在緊束縛近似下,系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

圖1 一維十字型晶格示意圖.綠色虛線代表一個(gè)原胞.t 代表胞內(nèi)躍遷強(qiáng)度,J 代表胞間躍遷強(qiáng)度Fig.1.Schematic diagram of the cross-stitch lattice.Each unit cell with two sublattices (A and B) is shown in the green dotted box.t and J are the intracell and intercell hopping amplitudes.

其中Hf和Hε分別為躍遷部分和在位勢(shì)部分.Hf的具體形式為

這里t代表胞內(nèi)躍遷強(qiáng)度;J代表胞間躍遷強(qiáng)度(J被設(shè)定為能量量綱代表在第n個(gè)原胞的 A(B) 子格上粒子的產(chǎn)生算符;cn,A(cn,B)代表在第n個(gè)原胞的 A(B) 子格上粒子的湮滅算符.Hε為在位勢(shì)部分,其具體形式為

這里εn和 -εn是分別加在第n個(gè)原胞A 和B 子格上的在位勢(shì),εn=?+2λcos(2πβn) ,其中?為一個(gè)常數(shù)勢(shì),λ 為準(zhǔn)周期勢(shì)強(qiáng)度,β 是一個(gè)無理數(shù).

此時(shí)系統(tǒng)的本征方程可以寫成

將(4)式寫到旋轉(zhuǎn)后的基矢下,等式變?yōu)?/p>

如果εn=0 ,則(7)式中第2 個(gè)等式化簡成:Efn=tfn,則關(guān)于fn的本征方程中本征能量為常數(shù)t,即平帶.且fn只有在第n個(gè)原胞上才有取值,在其他原胞上全部為0,這也就證實(shí)了fn對(duì)應(yīng)的本征態(tài),即緊湊局域態(tài).如果εn≠0,將(7)式中2 個(gè)等式結(jié)合并消除fn可得

(8)式中 4?λcos(2πβn) 和 4λ2cos2(2πβn) 提供了兩種不同頻率的準(zhǔn)周期調(diào)制.最近有文章猜測(cè)多頻率調(diào)制可誘導(dǎo)重返局域化現(xiàn)象的出現(xiàn)[24,29,46].為了驗(yàn)證這一猜測(cè),本文通過數(shù)值方法來討論此模式的局域化特性.注意當(dāng)?≠0 時(shí),將恢復(fù)成單頻率調(diào)制,此時(shí)系統(tǒng)存在解析的遷移率邊[42],此時(shí)系統(tǒng)中不存在重返局域化.

為了研究系統(tǒng)的局域化性質(zhì),引入逆參與率(inverse participation ratio,IPR)、歸一化參與率(normalized participation ratio,NPR)、分形維度(fractal dimension)等序參量,相關(guān)定義如下.

對(duì)于第i個(gè)本征態(tài),逆參與率(IPR)和歸一化參與率(NPR)的定義分別為[23,47–50]

當(dāng)L→∞時(shí),如果本征態(tài)是局域態(tài),則 IPRi為有限值,NPRi趨于0;如果本征態(tài)是擴(kuò)展態(tài),則 IPRi趨于0,NPRi為有限值.進(jìn)一步地,可以定義平均逆參與率( MIPR)和平均歸一化參與率( MNPR)分別為[23]

MIPR 和 MNPR 可以描述整個(gè)系統(tǒng)所有本征態(tài)的局域化轉(zhuǎn)變.當(dāng)系統(tǒng)處于完全擴(kuò)展相時(shí),MIPR的值趨于0,MNPR 為有限值;當(dāng)系統(tǒng)處于完全局域相時(shí),MIPR 為有限值,MNPR 的值趨于0;而如果系統(tǒng)處于中間相,即系統(tǒng)存在遷移率邊,此時(shí) MIPR 和 MNPR 都為有限值.利用 MIPR 和MNPR可以定義η=lg(MIPR×MNPR),η 可以把具有遷移率邊的中間相從完全擴(kuò)展和局域相中清晰區(qū)分出來,即L→∞時(shí),如果系統(tǒng)處于中間相,η 的值大于 -lg(2L) ;而系統(tǒng)處于完全擴(kuò)展或局域相時(shí),η 的值小于 -lg(2L)[23].

為了更精確表征系統(tǒng)的局域化轉(zhuǎn)變,可以計(jì)算每個(gè)本征態(tài)的分形維度.對(duì)于第i個(gè)本征態(tài),分形維度Γi的定義為[50]

在熱力學(xué)極限條件下,Γi→1 對(duì)應(yīng)本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài);Γi→0 對(duì)應(yīng)本征態(tài)為局域態(tài).

本文計(jì)算中考慮t=1,β=(黃金分割比),選定合適尺寸,寫出格點(diǎn)表象下哈密頓量(1)式對(duì)應(yīng)的矩陣形式,通過精確對(duì)角化法,數(shù)值計(jì)算出上述序參量從而分析出系統(tǒng)的局域化特性.

3 結(jié)果分析與討論

3.1 雙頻率調(diào)制

對(duì)于重返局域化現(xiàn)象的研究受到越來越多的關(guān)注,但其出現(xiàn)的機(jī)理仍然存在爭(zhēng)議.最近,有研究者在研究單帶和光腔系統(tǒng)的過程中發(fā)現(xiàn),多頻率調(diào)制可能是出現(xiàn)重返局域化現(xiàn)象的關(guān)鍵因素[24,29,46].從(8)式可知,對(duì)具有平帶的一維十字型準(zhǔn)周期調(diào)制的晶格,進(jìn)行局域轉(zhuǎn)動(dòng)后,系統(tǒng)中清晰地展現(xiàn)出兩種不同的準(zhǔn)周期調(diào)制頻率,這兩種不同的調(diào)制提供了兩種不同的周期標(biāo)度.那么此系統(tǒng)是否也存在著由雙頻率調(diào)制導(dǎo)致的重返局域化現(xiàn)象呢? 為了證明系統(tǒng)中重返局域化現(xiàn)象的存在,下面展示了不同序參量的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

以?≠1.68 作為一個(gè)具體例子,圖2(a)展示了 MIPR 和 MNPR 隨著無序強(qiáng)度λ 的變化情況.在圖2(a)中,隨著λ 的增加,存在兩個(gè) MIPR 和MNPR對(duì)應(yīng)值都不為0 的區(qū)間(陰影部分).當(dāng)λ<0.27時(shí),MIPR 值為0,而 MNPR 為有限值,表明此時(shí)系統(tǒng)處于完全擴(kuò)展相.當(dāng) 0.27<λ<2.01 時(shí),MIPR 和MNPR都保持有限值,表明系統(tǒng)處于中間相.當(dāng)2.01<λ<2.48 時(shí),MIPR 為有限值,而 MNPR 的值為0,表明系統(tǒng)進(jìn)入到完全局域相.不同于通常情況,繼續(xù)增加無序強(qiáng)度,系統(tǒng)會(huì)一直處于局域相,局域化程度會(huì)越來越高.在 2.48<λ<2.83 區(qū)間,MIPR 和 MNPR 又重新 恢復(fù)成 都為有限值的情況,表明此時(shí)系統(tǒng)又再次進(jìn)入中間相.當(dāng)λ>2.83 ,MIPR為有限值,而 MNPR 的值為零,系統(tǒng)再次進(jìn)入完全局域相.為了研究尺寸效應(yīng),圖2(a)插圖展示了不同尺寸下,MNPR 隨著無序強(qiáng)度λ 的變化.可以看到,不同尺寸下,當(dāng) 2.48<λ<2.83 時(shí),MNPR 確實(shí)變?yōu)榱擞邢拗?說明系統(tǒng)確實(shí)進(jìn)入到了存在遷移率邊的中間相內(nèi).并且從插圖可以看到,在第2 個(gè)中間相,即出現(xiàn)重返現(xiàn)象的區(qū)間中,隨著無序強(qiáng)度λ 增加,MNPR 值的變化不是規(guī)律的,在λ=2.6和2.72 處出現(xiàn)2 個(gè)峰值,表明此時(shí)系統(tǒng)中產(chǎn)生了較多的非局域態(tài).圖2(a)中以?≠1.68 作為一個(gè)具體例子,研究了系統(tǒng)的局域化特性.發(fā)現(xiàn)隨著無序強(qiáng)度λ 的增加,系統(tǒng)發(fā)生2 次局域化轉(zhuǎn)變,存在4 個(gè)局域化轉(zhuǎn)變點(diǎn).這一轉(zhuǎn)變過程展示了典型的重返局域化現(xiàn)象[23].

圖2 當(dāng) ?≠1.68 ,L=800 時(shí),(a) MIPR (藍(lán)色虛線)和 MNPR (紅色實(shí)線)隨著無序強(qiáng)度λ 的變化,灰色區(qū)域表示具有遷移率邊的中間相區(qū);插圖顯示當(dāng) L=300 (藍(lán)色實(shí)線),500 (深綠色實(shí)線),800 (紅色實(shí)線)和1500 (湖藍(lán)色實(shí)線)時(shí),MNPR 隨無序強(qiáng)度λ 的變化.(b)分形維度 Γi 隨著本征態(tài)指標(biāo)(eigenstates index)和無序強(qiáng)度λ 的變化.系統(tǒng)存在4 個(gè)局域化轉(zhuǎn)變點(diǎn):λ=0.27,2.01,2.48 和2.83 (黑色虛線表示).圖中的顏色條代表分形維度 Γi 的大小Fig.2.(a) MIPR (blue dashed line) and MNPR (red solid line) as a function of the disorder strength λ.The shaded regions represent the intermediate regimes with the mobility edges.The inset shows the MNPR as a function of the disorder strength λ for L=300,500,800,and 1500,which are marked by blue,bottle green,red and lake blue lines,respectively.(b) The fractal dimensionΓi associated with the eigenstate indices as a function of λ.The colorbar indicates the magnitude of Γi .There exist four localization transition points λ=0.27,2.01,2.48,and 2.83,which marked by the black lines.Other parameters: ?≠1.68 and L=800 .

圖2(b)繪制了?≠1.68 時(shí),分形維度Γi隨著本征態(tài)指標(biāo)和無序強(qiáng)度λ 的變化曲線,其中,4 條黑色虛線從左到右分別對(duì)應(yīng)著圖2(a)中的4 個(gè)局域化轉(zhuǎn)變點(diǎn).從圖2(b)可以直觀地看出,λ<0.27時(shí),所有態(tài)的Γi值都趨于1,系統(tǒng)處于完全擴(kuò)展相.0.27<λ<2.01 和 2.48<λ<2.83 時(shí),部分態(tài)的Γi值趨于 0,部分態(tài)的Γi值趨于1,系統(tǒng)處于2 種態(tài)并存的中間相區(qū).在 2.01<λ<2.48 和λ>2.83 的區(qū)間內(nèi),所有態(tài)的Γi都趨于0,系統(tǒng)處于完全局域相.可以看出,隨著無序強(qiáng)度λ 的增加,系統(tǒng)經(jīng)歷了2 次局域化的過程,系統(tǒng)存在4 個(gè)局域化轉(zhuǎn)變點(diǎn),分別為λ=0.27,2.01,2.48 和2.83.并且發(fā)現(xiàn),第二個(gè)中間相( 2.48<λ<2.83 )內(nèi),在λ=2.6 和2.72 附近,第470—550 個(gè)能級(jí)之間出現(xiàn)了2 個(gè)Γi值趨于1 的小型黃色區(qū)域,說明系統(tǒng)中有較多的非局域態(tài).這與圖2(a)插圖中的2 個(gè)峰值對(duì)應(yīng).圖2(b)研究了分形維度Γi值隨著無序強(qiáng)度λ 的變化,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)確實(shí)發(fā)生2 次局域化轉(zhuǎn)變,且存在2 個(gè)中間相區(qū).這與圖2(a)中的結(jié)果對(duì)應(yīng).該過程更加清晰地描述了重返局域化現(xiàn)象的出現(xiàn).

為了進(jìn)一步驗(yàn)證重返局域化現(xiàn)象是否真實(shí)存在,分別在擴(kuò)展區(qū)、局域區(qū)和中間相區(qū),研究MNPR的標(biāo)度變化.圖3(a)給出了λ=0.1 ,?≠1.68 時(shí),MNPR 隨尺寸L變化的情況,可以看出當(dāng)L→∞時(shí),MNPR 趨近為一個(gè)有限值,約為0.48.當(dāng)λ=2.32,?≠1.68 時(shí),如圖3(b)所示,MNPR→0,表明此時(shí)系統(tǒng)中所有的本征態(tài)都為局域態(tài).當(dāng)λ處于中間相區(qū)時(shí),以λ=2.72 ,?≠1.68 為例,如圖3(c)所 示,L→∞時(shí),MNPR 隨 著L增 加線 性衰減,并趨近于一個(gè)有限值,約為 0.004,遠(yuǎn)小于擴(kuò)展相區(qū)的值,表明此時(shí)系統(tǒng)中既存在擴(kuò)展態(tài)又存在局域態(tài),即存在遷移率邊.圖3(a)—(c)分別在擴(kuò)展相、局域相和中間相中選取λ=0.1,2.32 和2.72三個(gè)參數(shù)點(diǎn),研究其對(duì)應(yīng)的 MNPR 的標(biāo)度行為.發(fā)現(xiàn)它們具有不同的局域特點(diǎn).該結(jié)果與圖2(a)的結(jié)果相符合,通過有限尺寸分析說明重返局域化在系統(tǒng)中穩(wěn)定存在.

圖3 (a) λ=0.1 ,(b) λ=2.32 ,(c) λ=2.72 時(shí),MNPR 隨 1/L 變化.這里,?≠1.68Fig.3. MNPR as a function of 1/L for (a) λ=0.1 ,(b) λ=2.32 and (c) λ=2.72 ,respectively.Here,?≠1.68 .

參數(shù)η 可以把中間相從擴(kuò)展和局域相中清晰地區(qū)分出來.圖4 給出了?-λ參數(shù)平面內(nèi),以η 的大小為填充顏色的局域化相圖.其中,綠色區(qū)域代表了完全局域相或完全擴(kuò)展相,紅藍(lán)色區(qū)域代表了具有遷移率邊的中間相.可以看到當(dāng)?大約處于(1.6,1.9)參數(shù)范圍時(shí),隨著無序強(qiáng)度λ 的增大,系統(tǒng)經(jīng)歷第1 次局域轉(zhuǎn)變到達(dá)完全局域相后,又重新回到中間相,最終經(jīng)歷第2 次局域轉(zhuǎn)變到達(dá)完全局域相,此時(shí)體系中存在重返局域化現(xiàn)象.

圖4 ?-λ 參數(shù)平面內(nèi)的局域化相圖,其中綠色區(qū)域表示完全擴(kuò)展或局域相,紅藍(lán)色區(qū)域表示具有遷移率邊的中間相.顏色條代表序參量η 的大小.這里L(fēng)=800Fig.4.Localization Phase diagram in the ?-λ plane,where the green regions denote the full extended or localized phase and the red and blue regions represent the intermediate phase the mobility edges.The colorbar represents values of η.Here,L=800 .

3.2 單頻率調(diào)制

上述結(jié)果分析了當(dāng)參數(shù)?≠0 時(shí),雙頻率調(diào)制下,系統(tǒng)中的重返局域化現(xiàn)象.當(dāng)參數(shù)?≠0 時(shí),(8)式可以化簡為下面的形式:

從(12)式可知,系統(tǒng)中只存在 4λ2cos2(2πβn) 這一種準(zhǔn)周期調(diào)制,系統(tǒng)回歸到單頻率調(diào)制情況.其中

結(jié)合(12)式和(13)式,化簡可得

從(15)式的結(jié)果可以看出,此時(shí)系統(tǒng)的局域化轉(zhuǎn)變點(diǎn)和能量有依賴關(guān)系.(15)式即為遷移率邊的表達(dá)式.

圖5 給出了不同能量本征態(tài)的分形維度Γi隨著無序強(qiáng)度λ 的變化情況.從圖5 可以看出,解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果相符合,2 條紅色實(shí)線以內(nèi)本征態(tài)對(duì)應(yīng)的分形維度Γi值趨于0,對(duì)應(yīng)于局域態(tài).而2 條紅色實(shí)線以外的本征態(tài)對(duì)應(yīng)的分形維度Γi值趨于1,對(duì)應(yīng)于擴(kuò)展態(tài).可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)系統(tǒng)恢復(fù)到單頻率調(diào)制的情況,系統(tǒng)中存在解析的遷移率邊,但不存在重返局域化現(xiàn)象.從上述結(jié)果中發(fā)現(xiàn),如果系統(tǒng)只存在一種準(zhǔn)周期頻率,則保留了能量依賴的自對(duì)偶性,導(dǎo)致系統(tǒng)存在解析的遷移率邊,且只存在一次局域化轉(zhuǎn)變,類似于參考文獻(xiàn)[14,15,42].但是如果系統(tǒng)中存在2 種準(zhǔn)周期頻率,則破壞了這種與能量依賴的自對(duì)偶性,而且這2 種準(zhǔn)周期頻率提供了2 種不同的能量標(biāo)度,這2 種不同的能量標(biāo)度存在競(jìng)爭(zhēng),正是這2 種不同的能量標(biāo)度的競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致了系統(tǒng)中重返局域化現(xiàn)象的發(fā)生.

圖5 分形維度 Γi 隨著調(diào)制強(qiáng)度λ 和本征能量E 的變化.其中紅色實(shí)線代表遷移率邊的表達(dá)式(15).圖中的顏色條代表 分形維度 Γi 的大小.其他參數(shù)為: L=800 ,t=1Fig.5.The Γi of the eigenstates as a function of he disorder strength λ and the eigen energy E.The red solid line represents the analytical expression (15) of the mobility edge. The colorbar represents the values of Γi . Here,L=800 and t=1 .

4 總結(jié)

本文研究了具有平帶的一維十字型準(zhǔn)周期調(diào)制的晶格.發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)?≠0 時(shí),系統(tǒng)存在兩種不同的準(zhǔn)周期調(diào)制頻率,然后通過數(shù)值分析,證明了重返局域化現(xiàn)象 的存在,并且得到 了?-λ參 數(shù)空間的局域化相圖.而當(dāng)參數(shù)?≠0 時(shí),系統(tǒng)只存在一種準(zhǔn)周期調(diào)制頻率,通過解析和數(shù)值手段證明了,系統(tǒng)存在解析遷移率邊,但不存在重返局域化現(xiàn)象.該工作為平帶系統(tǒng)中研究重返局域化現(xiàn)象提供了參考,也為重返局域化的研究提供了新的角度.