單擺問題中示意圖和坐標系正向的選取

董寶平，魯軍旺，張婷婷，鄭發州，羅正鴻

單擺問題中示意圖和坐標系正向的選取

董寶平，魯軍旺，張婷婷，鄭發州，羅正鴻

（黔南民族師范學院 物理與電子科學學院，貴州 都勻 558000）

單擺作為一種重要的理想模型，成為力學和理論力學課程的重點教學內容．由于擺錘做曲線運動，人們常常在極坐標和自然坐標系下運用牛頓運動定律或角動量定理分析單擺動力學方程．隨意假設擺錘的初始狀態和規定坐標系的正向可能導致負角．然而，角度中隱藏的負號很容易被初學者忽視進而導致錯誤結論．適當選取示意圖和坐標系正向可以避免負角從而實現快速且準確地分析出單擺動力學方程．

角動量定理；單擺動力學方程；極坐標；自然坐標；坐標系正方向

1 初始時刻單擺繞軸逆時針轉動

圖1 假設擺錘初始狀態繞逆時針轉動時選取的極坐標

1.1 在極坐標系下建立動力學方程

1.2 在自然坐標下建立動力學方程

圖2 假設擺錘初始狀態繞逆時針轉動時選取的自然坐標

1.3 利用角動量定理建立動力學方程

2 初始時刻單擺順時針擺動

2.1 利用極坐標建立動力學方程

圖3 假設擺錘初始狀態繞順時針轉動時選取的極坐標

2.2 利用自然坐標建立動力學方程

圖4 假設擺錘初始狀態繞順時針轉動時選取的自然坐標

2.3 利用角動量定理建立動力學方程

3 結論

自然坐標、牛頓第二定律、角動量定理以及單擺是物理師范專業課力學的重點教學內容．極坐標、自然坐標、牛頓第二定律、角動量定理也是理論力學課程的重點內容．因為單擺轉動角的正負依賴示意圖和坐標系正方向的選定而擺錘的受力分析又與轉動角有密切關系，同時示意圖的繪制和坐標系的選擇具有任意性，所以學生在隨意畫示意圖并規定坐標系正向的情況下得到的動力學方程很可能丟失“負號”，從而導致錯誤結果．本文從不同示意圖和坐標系情況分析了單擺的動力學方程，對比分析發現根據如下步驟處理單擺動力學方程比較簡單．

（1）畫示意圖，假設擺錘的初始狀態．初始狀態具體來說包括擺錘的初始速度方向和初始位置．由于單擺的往復運動性質，本步驟具有任意性，如可假設擺錘在平衡位置右側而速度方向斜向上（見圖1a，2a），也可令擺錘在平衡位置左側而速度方向斜向上（見圖3a，4a）．

由于高等數學中講授極坐標系時通常從極軸把極徑沿逆時針轉動得到的幅角為正角，順時針轉動得到的幅角為負角，所以在實際中擺錘的初始狀態盡量選為初始速度斜向上同時處在平衡位置右側以保證幅角為正（見圖1a，2a）[10]90．當然，如果規定瞬時針轉動為正時，則應該把初始狀態選為初始速度斜向上同時處在平衡位置左側（見圖3a，4a），這樣可以避免隱藏在角度里的符號．

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Selection about schematic diagram and positive direction of coordinate system in simple pendulum problem

DONG Baoping，LU Junwang，ZHANG Tingting，ZHENG Fazhou，LUO Zhenghong

（School of Physics and Electronics，Qiannan Normal University for Nationalities，Duyun 558000，China）

As an important ideal model，simple pendulum has become an important teaching content in mechanics and theoretical mechanics courses．Because of the curved motion of the pendulum，people often use Newton′s law of motion or the angular momentum theorem to analyze the dynamic equation of a single pendulum in polar coordinates and natural coordinates．Assuming the initial state of the pendulum and the positive direction of the coordinate system casually may result in a negative angle．However，this negative sign hidden in the angle is usually overlooked by beginners and leads to false conclusions．Proper selection of the diagram and the positive direction of coordinate system can avoid the negative angle，so that the dynamic equation of the pendulum can be analyzed quickly and accurately．

angular momentum theorem；simple pendulum dynamic equation；polar coordinates；natural coordinates； positive direction of coordinate system

O313.1∶G642.41

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.016

1007-9831（2024）01-0089-05

2023-07-04

黔南民族師范學院教改課題（2021xjg028,2016xbkjx0808）

董寶平（1984-），女，河南蘭考人，講師，碩士，從事納米材料和力學研究．E-mail：dongbao.ping@163.com

魯軍旺（1985-），男，河南確山人，教授，博士，從事相對論和天體物理研究．E-mail：lujunwang.2008@163.com