基于多參數(shù)自適應(yīng)VMD 的GNSS 形變監(jiān)測序列分解

高 旺，龔舒寧，潘樹國，倪江生，李慧生

（1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096；2.深圳市北斗云信息技術(shù)有限公司，深圳 518057）

大型構(gòu)筑物（高層樓房、橋梁、大壩等）易受到各種因素影響而產(chǎn)生振動與變形，進而影響構(gòu)筑物的結(jié)構(gòu)健康狀況。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測（Structural Health Monitoring）技術(shù)[1]通過周期性記錄構(gòu)筑物的形變信息，并對其變形特征進行分析，進而判斷結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)。基于全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（Global Navigation Satellite System,GNSS）的形變監(jiān)測系統(tǒng)憑借其較高的監(jiān)測精度以及監(jiān)測高頻結(jié)構(gòu)振動的能力，在大多數(shù)構(gòu)筑物的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)中成為必要的組成部分[2]。

GNSS 形變監(jiān)測序列的特征提取與分析是構(gòu)筑物結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)中的關(guān)鍵問題，其中主要包括：①對構(gòu)筑物的變形趨勢提取；②對構(gòu)筑物的振動特性提取，如對其自振頻率的提取以及各種外界影響因素導(dǎo)致的振動提取。由于監(jiān)測序列中序列趨勢、各類振動分量與觀測噪聲相互混疊，僅對原始監(jiān)測序列進行分析無法實現(xiàn)對各類變形特征的區(qū)分與定量監(jiān)測，需要對序列進行分解，從而提取序列中不同變形特征。

現(xiàn)有的序列分解方法主要有小波分解[3]（Wavelet Decomposition,WD）、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[4（]Empirical Mode Decomposition,EMD）與奇異譜分析[5]（Singular Spectrum Analysis,SSA）等。小波分解通過將信號分解為不同頻率的小波基函數(shù)來分析信號特性，但其缺點是對小波基函數(shù)的選取敏感度較高，對于成分復(fù)雜多變、難以預(yù)知信號特征的GNSS 時間序列，選擇錯誤的小波基會使分解效果大大下降。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解主要利用循環(huán)篩選的方法對序列進行遞歸分解，但該算法不可避免地存在模態(tài)混疊與端部效應(yīng)問題。奇異譜分析基于對時間序列的動力重構(gòu)進行序列分解，但存在嚴重的端部效應(yīng)與過分解問題。

變分模態(tài)分解[6（]Variational Mode Decomposition,VMD）算法主要基于維納濾波、希爾伯特變換和混頻的外差解調(diào)，通過構(gòu)造并求解一個約束變分問題，將原信號分解為指定數(shù)量的本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function,IMF）分量。該算法在分解效果方面顯著優(yōu)于小波分解與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解等方法，但需要對分解模態(tài)數(shù)、懲罰因子、拉格朗日懲罰算子等多組分解參數(shù)進行設(shè)定。若參數(shù)設(shè)定不當，則會顯著影響分解結(jié)果的精度與可靠性。

針對VMD 算法中分解參數(shù)設(shè)定的問題，現(xiàn)有的部分研究僅對分解模態(tài)數(shù)這一參數(shù)進行優(yōu)化。如文獻[7]采用能量差參數(shù)確定分解模態(tài)數(shù)，文獻[8]利用樣本熵、中心頻率比以及相關(guān)系數(shù)確定分解模態(tài)數(shù)，文獻[9]采用峰度和包絡(luò)譜峰度確定分解模態(tài)數(shù)等；這類優(yōu)化方法忽略了懲罰因子等參數(shù)對分解效果的影響，無法獲得最優(yōu)的分解效果。

關(guān)于懲罰因子與分解模態(tài)數(shù)的綜合優(yōu)化，現(xiàn)有研究往往通過設(shè)定目標函數(shù)，并引入多參數(shù)優(yōu)化算法以確定參數(shù)組合。如文獻[10]設(shè)定最小包絡(luò)熵為目標函數(shù)，采用灰狼優(yōu)化算法進行參數(shù)優(yōu)化；文獻[11]采用排列熵與互信息設(shè)定目標函數(shù)；文獻[12]采用融合影響指數(shù)為目標函數(shù)，引入人工蜂群算法進行參數(shù)尋優(yōu)；文獻[13]基于粒子群優(yōu)化算法與最大熵模型進行參數(shù)優(yōu)化。

此類設(shè)定目標函數(shù)的參數(shù)優(yōu)化方法往往僅適用于某種特殊頻域特性的時間序列，針對頻域特性多變的GNSS 時間序列，目標函數(shù)的魯棒性不足，無法保證良好的分解效果。同時，VMD 算法中初始中心頻率參數(shù)的優(yōu)化以及及拉格朗日乘子參數(shù)的設(shè)定往往被忽略，沒有針對這兩組參數(shù)的相關(guān)研究。

針對上述問題，本文從原始序列以及分解結(jié)果的頻域特性出發(fā)，自適應(yīng)調(diào)整分解模態(tài)數(shù)、懲罰因子、初始中心頻率及拉格朗日乘子四組參數(shù)，建立多參數(shù)自適應(yīng) VMD（Multi-parameter Adaptive-VMD,MA-VMD）算法，并通過仿真序列與實測GNSS 序列對算法的分解精度和可靠性進行驗證。

1 VMD 算法特性分析

1.1 VMD 算法原理

算法分解得到的IMF 為一個有帶寬限制的調(diào)幅-調(diào)頻函數(shù)uk(t)，表達式為：

其中，k為IMF 的序號；t為歷元標識；Ak(t)為IMF的幅值函數(shù)；?k(t)為頻率函數(shù)。

算法首先基于分解模態(tài)數(shù)M與預(yù)估各IMF 的中心頻率{ωk}，利用Hilbert 變換將各IMF 的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶，并求其梯度平方的范數(shù)，則可建立受約束的變分問題，如式(2)所示。

其中，{uk}代表分解得到的M個IMF；{ωk}表示各IMF 對應(yīng)的中心頻率；?t表示對時間t求偏導(dǎo)；δ(t)表示單位沖激函數(shù)；j表示單位虛數(shù)；f(t)表示原時間序列。

為了求解該變分問題，引入懲罰因子α和拉格朗日乘子λ(t)，將約束性變分問題轉(zhuǎn)化為非約束性變分問題。增廣拉格朗日的表達式為：

利用交替方向乘子迭代算法（Alternate Direction Method of Multipliers,ADMM）對式(3)進行求解：

①根據(jù)設(shè)定的分解模態(tài)數(shù)M、初始中心頻率及初始拉格朗日乘法算子1對各個IMF 進行初始化，得到

其中，τ為拉格朗日乘子的更新倍率。

④ 重復(fù)②③，直至滿足精度判據(jù)。

其中，? 為精度閾值。

1.2 VMD 算法特性分析

在VMD 算法中，可以對分解模態(tài)數(shù)M、懲罰因子α、初始中心頻率與拉格朗日乘子λ(t)進行調(diào)整，參數(shù)變化會直接影響序列分解結(jié)果的精度與準確性。

1）拉格朗日乘子λ(t)

由式(4)與式(6)可見，拉格朗日乘子λ(t)的主要作用是保證分解出的各個IMF之和與原序列的差值盡量接近0。該參數(shù)主要應(yīng)用于信噪比較高的序列，對于低信噪比序列，λ(t)的引入會使VMD 算法的迭代次數(shù)大大增加，且分解出的IMF 中包含過多噪聲。

2）懲罰因子α

由式(4)可見，IMF 在頻域中偏離中心頻率{ωk}的部分會受到削弱，而懲罰因子α在算法中負責(zé)控制削弱作用的強度，即α越大，整體的削弱作用越強，IMF的帶寬越低。在其他參數(shù)不變的情況下，若α過低，則各個IMF 中會包含過多的噪聲；若α過高，則提取出的各個IMF 帶寬與幅值會出現(xiàn)縮減，導(dǎo)致部分有效信息殘留在分解殘差中無法被有效提取。

3）分解模態(tài)數(shù)M

分解模態(tài)數(shù)M控制算法最終分解得到的IMF 數(shù)量。當分解模態(tài)數(shù)M過小時，由于分解出的IMF 數(shù)量小于序列實際包含的信號分量數(shù)量，故需要采用遠小于最佳值的懲罰因子α。通過擴大IMF 帶寬的方式使得序列中的有效信息被完全提取，但由于IMF 數(shù)量過小，故分解結(jié)果中會出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象（即某個IMF中同時含有多個不同頻率的信號分量），同時某些IMF基本僅由隨機噪聲組成。

當分解模態(tài)數(shù)M過大時，由于分解出的IMF 數(shù)量大于序列實際包含的信號分量數(shù)量，故分解結(jié)果中會出現(xiàn)過分解現(xiàn)象（即某一個信號分量被分解成多個IMF）。

2 MA-VMD 算法

基于VMD 算法的上述特性，為了達到最佳的分解效果，首先需要確定最佳的分解模態(tài)數(shù)M與懲罰因子α，同時還需確定合適的初始中心頻率，避免算法出現(xiàn)模態(tài)混疊、過分解等問題。因此，本文提出了一種根據(jù)時間序列的頻域特性自適應(yīng)確定分解參數(shù)的MA-VMD 算法。通過對VMD 分解結(jié)果與殘差進行頻域分析，自適應(yīng)調(diào)節(jié)懲罰因子α、分解模態(tài)數(shù)M與初始中心頻率，使算法提取出盡可能多的有效信息，同時使分解殘差基本只含隨機誤差等噪聲。

首先，根據(jù)序列本身的頻域特性自適應(yīng)確定分解閾值T，認為原序列在頻域中大于分解閾值的部分包含有效信息，小于分解閾值的部分為噪聲。然后，利用當前參數(shù)對序列進行VMD 分解，并對分解結(jié)果的頻域特性進行分析，判斷是否分解成功、是否產(chǎn)生過分解等，由此更新下次分解的各個參數(shù)，直至求得最優(yōu)分解結(jié)果。

圖1 為MA-VMD 算法的流程圖，具體步驟為：

圖1 MA-VMD 算法流程圖Fig.1 Flow chart of MA-VMD algorithm

1）初始化

對于GNSS 時間序列，由于序列中較高頻的部分基本僅含隨機噪聲，故可計算序列高頻部分（對于1 Hz采樣率的序列，則為0.4～0.5 Hz 部分）在頻域的均值μ與標準差σ，將分解閾值設(shè)置為T=μ+5σ。

將初始的分解模態(tài)數(shù)M設(shè)置為1，采用原序列的峰值頻率ωpeak（頻譜最大值所在頻率）作為算法的初始中心頻率。由于GNSS 時間序列為含噪序列，故將λ(t)設(shè)置為0。

2）VMD 分解

利用當前參數(shù)，對原序列進行VMD 分解，分解得到各個IMF 序列與殘差序列。

3）分解結(jié)果分析

①峰值頻率計算：首先對分解得到的各個IMF進行快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform,FFT），并計算各IMF 的峰值頻率{ωpeak}。

② 過分解判定：若兩個IMF 序列的峰值頻率{ωpeak}的比值過大或差值過小，則認為出現(xiàn)了過分解，跳轉(zhuǎn)至步驟4）；

③殘差頻譜分析：若此時分解殘差在頻域的幅值均小于分解閾值，則認為殘差中僅含噪聲，此次分解成功，跳轉(zhuǎn)至步驟4）；

④ 尋找新峰值頻率：若殘差頻譜中存在幅值大于分解閾值的部分，則找出幅值最大且與各IMF 峰值頻率不同的新頻率ωnew，并將各IMF峰值頻率{ωpeak}與ωnew一起組成下次VMD分解的初始中心頻率，將模態(tài)數(shù)M+1，重新進行步驟2）；若找不到新頻率ωnew，則認為產(chǎn)生了過分解現(xiàn)象，跳轉(zhuǎn)至步驟4）。

4）二分法迭代優(yōu)化懲罰因子

①若產(chǎn)生了過分解，則記錄產(chǎn)生過分解的最小懲罰因子αF，并將懲罰因子向成功分解方向移動αnew=（αG+α）2；若分解成功，則記錄成功分解的懲罰因子αG、分解模態(tài)數(shù)M與初始中心頻率，并將懲罰因子向過分解方向移動

② 將分解模態(tài)數(shù)M重置為1，用新的懲罰因子αnew開始步驟2）。若懲罰因子的改變步長小于最小步長 Δαmin，則最后一次成功分解的懲罰因子、分解模態(tài)數(shù)與初始中心頻率即為最終確定的分解參數(shù)。

3 仿真與實驗驗證

為了驗證本文算法的有效性，分別采用一組仿真序列與橋梁GNSS 測站的實測序列對分解效果進行分析，以驗證MA-VMD 算法的多參數(shù)優(yōu)化效果以及算法的序列分解精度。實驗中MA-VMD 算法的初始懲罰因子αstart=5000，懲罰因子的最小步長Δαmin=1000。

由于構(gòu)成仿真序列的各個真實信號分量已知，故可采用互相關(guān)系數(shù)（Correlation）與均方根誤差（Root Mean Square Error,RMSE）作為信號分解精度的評價指標。

其中，ρ為互相關(guān)系數(shù)；σ為均方根誤差；fk(t)為第k個真實信號分量分別為真實序列分量與分解結(jié)果分量的均值；N為序列長度。

在仿真實驗中，采用MA-VMD 算法對仿真序列進行分解，并對MA-VMD 算法確定的各組分解參數(shù)進行偏移，利用偏移后的參數(shù)進行VMD 分解，從而驗證MA-VMD 算法的多參數(shù)優(yōu)化效果。同時采用EMD、SSA 算法與文獻[10]提出的改進變分模態(tài)分解算法（Improved Variational Mode Decomposition,IVMD）對同一組仿真序列進行分解，從而驗證MA-VMD 算法的優(yōu)越性。

在實測數(shù)據(jù)實驗中，由于無法求得各項信號分量的真值，故將MA-VMD 算法的分解結(jié)果與原序列在時域、頻域兩方面進行對比，并對不同時段、不同方向上的GNSS 坐標序列進行分解，以驗證算法魯棒性。

3.1 仿真序列實驗與分析

首先建立一組仿真GNSS 坐標時間序列。仿真序列在考慮GNSS 時間序列中可能存在的多路徑效應(yīng)等周期性誤差、觀測噪聲及粗差的基礎(chǔ)上采用GNSS 變形分析中常用的坐標時間序列模型[14]。模型可表示為式(10)。

其中，x(ti)為仿真時間序列；F(ti)為序列中的趨勢部分，采用隨機樣條曲線；m0為諧波個數(shù)；am、bm為信號中多路徑誤差等周期項的振幅；fm為周期項頻率；為隨機噪聲；err為粗差。

構(gòu)成仿真序列的周期分量共有8 個，頻率分別為0.005 Hz、0.01 Hz、0.1 Hz、0.12 Hz、0.2 Hz、0.3 Hz、0.35 Hz；周期分量的振幅均為隨機生成。采用式(10)所示的坐標時間序列模型隨機生成100 組仿真時間序列，并用MA-VMD 算法對仿真序列進行分解。以其中一組仿真序列為例進行分析，如圖2 所示。圖2(a)為該仿真序列的時域圖，圖2(b)為構(gòu)成該仿真序列的真實分量。

圖2 仿真實驗中的時間序列Fig.2 Simulated sequence in simulation experiment

圖3 為該仿真序列的MA-VMD 分解結(jié)果。圖3(a)為MA-VMD 算法分解得到的9 個IMF 分量的時域序列與頻率譜，其中前8 個IMF 為不含趨勢的周期項，第9 個IMF 為序列的趨勢分量。MA-VMD 算法在進行 16 次迭代后確定最優(yōu)參數(shù)：最優(yōu)分解模態(tài)數(shù)M=9，初始中心頻率為{0,0.005,0.01,0.1,0.12,0.15,0.2,0.3,0.35} Hz，分解模態(tài)數(shù)及各分量的初始中心頻率均與真實構(gòu)成序列的各分量相同；最優(yōu)懲罰因子為α=2144780，懲罰因子迭代過程如圖3(b)所示。將分解得到的趨勢分量與原序列對比，如圖3(c)所示，MA-VMD 算法分解得到的趨勢分量與真實趨勢分量的吻合程度較好，僅在序列起始處受到周期項波動的影響，表明MA-VMD 算法可有效提取序列趨勢項。從圖3(a)中分解殘差的頻譜可見，分解殘差中僅由隨機噪聲構(gòu)成，不含有效信息；同時，算法有效提取了8 個周期分量，在頻率與幅值方面均與圖2(b)所示的真實分量相匹配，且沒有出現(xiàn)模態(tài)混疊與過分解現(xiàn)象。計算提取出的各個分量與真實分量的互相關(guān)系數(shù)與RMSE，互相關(guān)系數(shù)的均值為0.9877，RMSE 均值為0.1365，說明分解結(jié)果與真實分量的吻合程度較好。

圖3 仿真序列的MA-VMD 分解結(jié)果Fig.3 MA-VMD decomposition result of simulated sequence

為了探討算法將拉格朗日乘子λ(t)固定為0 的必要性，在其他參數(shù)不變的情況下，設(shè)置不同的λ(t)進行VMD 分解，解算結(jié)果如表1 所示。由表1 可知：當λ(t)=0時，VMD 算法僅迭代9 次就得到了較好的分解效果；當λ(t) ≠ 0時，算法迭代次數(shù)隨著λ(t)的增大而大幅增加，且由于各IMF 包含過多噪聲，導(dǎo)致分解的準確程度下降。由此可見，對于序列特性類似于GNSS 時間序列的含噪序列，將λ(t)設(shè)置為0 有助于提升算法的效率與分解精度。

表1 不同拉格朗日乘子對算法分解效果的影響Tab.1 Effect of different Lagrange multipliers to decomposition

圖4 無初始中心頻率約束時的VMD 分解結(jié)果Fig.4 VMD decomposition result without initial center frequency constraint

為進一步驗證MA-VMD 算法對各分解參數(shù)的優(yōu)化效果，對生成的100 組時間序列都進行分解。分解結(jié)果顯示，100 組序列均正確確定了分解模態(tài)數(shù)M=9，且初始中心頻率均與真實分量相同。

將MA-VMD 算法確定的各序列的懲罰因子α進行偏移，在其他參數(shù)不變的情況下，利用偏移后的懲罰因子對100 組序列進行VMD 分解。分別計算MA-VMD 分解結(jié)果以及參數(shù)偏移后的分解結(jié)果與真實分量之間的互相關(guān)系數(shù)均值與RMSE 均值，結(jié)果如圖5 所示。由圖5 可見，MA-VMD 算法確定的懲罰因子具有最高的互相關(guān)系數(shù)與最低的RMSE；隨著懲罰因子偏移程度增大，分解準確程度下降明顯。

圖5 采取不同懲罰因子時的互相關(guān)系數(shù)與RMSEFig.5 Correlation and RMSE of different penalty factors

綜合上述實驗可見，對于隨機生成的多組仿真序列的分解，MA-VMD 算法均能確定正確地分解模態(tài)數(shù)M，且算法確定的初始中心頻率與懲罰因子α接近全局最優(yōu)。

為了對比驗證MA-VMD 算法相對于其他現(xiàn)有算法的優(yōu)越性，分別采用EMD、SSA、IVMD 算法對相同的仿真序列進行分解，結(jié)果如圖6 所示。其中，圖6(a)為MA-VMD 算法分解結(jié)果。圖6(b)為IVMD 算法的分解結(jié)果，該算法最終確定的分解模態(tài)數(shù)M=8，懲罰因子為α=316685，分解模態(tài)數(shù)與序列實際分量數(shù)不同；第6 個與第7 個分量的中心頻率幾乎相同，出現(xiàn)過分解現(xiàn)象；分解殘差中仍含有0.1 Hz 與0.2 Hz 的振動分量未被提取。圖6(c)為EMD 算法的分解結(jié)果，可見分解結(jié)果出現(xiàn)了明顯的模態(tài)混疊與過分解現(xiàn)象，且分解殘差中仍存在明顯趨勢分量，分解效果不佳。圖6(d)為SSA 算法的分解結(jié)果，可見第2 個與第3 個分量、第4 個與第5 個分量、第6 個與第7 個分量的中心頻率幾乎相同，出現(xiàn)了明顯的過分解現(xiàn)象，并且分解殘差中仍存在多個頻率的振動分量。

圖6 現(xiàn)有算法的仿真序列分解結(jié)果與MA-VMD 分解結(jié)果的對比Fig.6 Comparison of decomposition result of simulated sequence between existing algorithms and MA-VMD

綜合上述實驗，MA-VMD 算法能夠?qū)⒎纸饽B(tài)數(shù)M、懲罰因子α以及初始中心頻率收斂至接近全局最優(yōu)，且分解效果優(yōu)于多種現(xiàn)有信號分解算法。

3.2 實測數(shù)據(jù)實驗與分析

為了檢驗算法分解效果，采用蘇通大橋數(shù)據(jù)對算法分解能力進行分析。測試采用的時間序列為蘇通大橋上的GNSS 測站在2022 年11 月18 日共32400 歷元（9 h）的觀測數(shù)據(jù)，采樣頻率為1 Hz；根據(jù)Nyquist定律，序列可用于分析0～0.5 Hz 的頻域特征。由于交通荷載、溫度變化及長江潮汐的影響，橋梁各個部分均會發(fā)生變形，且橋梁本身也存在一定的結(jié)構(gòu)振動。

首先截取其中1～3600 歷元的監(jiān)測序列，并對Z方向的序列進行分解實驗。圖7(a)為該序列的時域圖像，圖7(b)為序列頻譜圖。由圖7(a)可見，該監(jiān)測序列存在大量觀測噪聲；由圖7(b)可見，序列在頻域中的主要能量集中在其趨勢部分（頻域中接近0 Hz 的部分），橋梁本身的振動特性在頻域中被淹沒，無法有效進行分析。

圖7 蘇通大橋測站Z 方向變形監(jiān)測數(shù)據(jù)Fig.7 Deformation monitoring data of Sutong Bridge measurement station in Z direction

利用MA-VMD 算法對該序列進行分解，結(jié)果如圖8 所示。MA-VMD 算法經(jīng)過6 次迭代后確定最優(yōu)懲罰因子α為750，最優(yōu)分解模態(tài)數(shù)M為6。圖8(a)為算法分解得到的6 個IMF 以及分解殘差的時域序列與頻譜，由分解殘差的頻譜可知：殘差低頻部分的幅值基本與高頻部分的隨機噪聲幅值相同，說明分解殘差中已不含有效信息。在分解結(jié)果中，IMF 6 為序列的趨勢分量，由其頻譜可見趨勢分量的能量主要集中在0 頻率附近，同時可見測站Z方向在1 h 內(nèi)呈逐漸下降趨勢，共下降約160 mm。

圖8 蘇通大橋測站Z 方向序列的MA-VMD 分解結(jié)果Fig.8 MA-VMD decomposition result of the time series from Sutong Bridge measurement station in Z direction

圖8(b)為提取出的趨勢分量與原序列的對比圖，可見MA-VMD 算法提取出的趨勢分量與原序列吻合度較高。

IMF 1～5 為序列中的五個周期分量，代表測站在不同頻率范圍的振動信息。由于原序列的趨勢分量能量過大，影響對周期分量提取效果的分析，故首先將原序列減去趨勢分量（IMF 6），得到去趨勢的時間序列并求其頻譜，算法提取出的各個周期分量的頻譜與去趨勢序列頻譜的對比如圖8(c)所示。由圖8(c)可知：MA-VMD 算法成功提取了序列在不同頻率范圍的主要振動信息，各IMF 的峰值頻率與原序列頻譜的局部峰值相吻合。

從各周期分量的頻譜與時域序列可知，IMF 2～5主要為橋梁在Z方向上由于車輛載荷等作用而產(chǎn)生的較寬頻振動，主要分布在0.01～0.25 Hz 區(qū)間。將該頻段的各個IMF 相加得到總體振動序列，該序列的平均振幅為94.34 m。除此之外，IMF 1 的峰值頻率為0.309 Hz，平均振幅為21.76 mm，說明測站在0.3 Hz附近也有頻率范圍較窄的顯著振動，應(yīng)為橋梁的自振部分。

為了驗證MA-VMD 算法分解的穩(wěn)定性，對測站X-ECEF 與Y-ECEF 方向上相同時刻的變形監(jiān)測序列進行分解，并對比去趨勢序列的頻譜與提取出的各個周期分量的頻譜，結(jié)果如圖9 所示，其中圖9(a)為X方向，圖9(b)為Y方向。可見X方向與Y方向上各個周期分量的頻域構(gòu)成與Z方向類似：算法均在0.01～0.25 Hz 區(qū)間提取出因載荷等作用而產(chǎn)生的寬頻振動分量；在0.3 Hz 附近提取出存在較窄頻帶的振動分量，驗證了MA-VMD 進行序列分解的穩(wěn)定性。

圖9 X 方向與Y 方向序列的MA-VMD 分解結(jié)果Fig.9 MA-VMD decomposition result of time series from X-direction and Y-direction

為了監(jiān)測測站Z方向的長期變形振動情況，對Z方向連續(xù)9 h（共32400 歷元）的監(jiān)測數(shù)據(jù)按小時進行分割，并對九段序列分別進行MA-VMD 分解。分解完成后，分別統(tǒng)計峰值頻率在0.01～0.25 Hz 頻段以及0.25～0.35 Hz 頻段的IMF 分量，并計算其平均振幅，計算結(jié)果如圖10 所示。由圖10 可知，0.01～0.25 Hz頻段（因載荷產(chǎn)生的振動）的振幅在93 mm 左右波動，0.25～0.35 Hz 頻段（自振頻率）的振幅在20 mm 左右波動。兩種不同頻段的振幅變化趨勢大致相同，第5 h的振幅均為最低。由此可見，本文算法可對形變監(jiān)測序列的長期運動趨勢及各類振動特性進行定量分析與持續(xù)監(jiān)測。

圖10 蘇通大橋測站Z 方向各時段的振動特性Fig.10 Vibration characteristics of Sutong Bridge measurement station in Z direction

4 結(jié)論

本文首先對變分模態(tài)分解算法中多項參數(shù)對分解效果的影響進行了綜合分析，并從原始序列以及分解結(jié)果的頻域特性出發(fā)，自適應(yīng)調(diào)整分解模態(tài)數(shù)、懲罰因子、初始中心頻率及拉格朗日乘子四組參數(shù)，建立MA-VMD 算法。利用MA-VMD 算法對多組仿真序列及真實形變監(jiān)測序列進行分解。仿真序列實驗表明，MA-VMD 算法的分解結(jié)果與真實值之間的互相關(guān)系數(shù)為98.77%、均方根誤差為0.1365 mm，均接近全局最優(yōu)，并優(yōu)于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解、奇異譜分析、改進變分模態(tài)分解等算法；同時算法對真實GNSS 形變監(jiān)測序列具有優(yōu)良的分解效果，能夠避免模態(tài)混疊與過分解問題，正確提取序列趨勢及各類振動相關(guān)頻率特征。MA-VMD 算法可有效應(yīng)用于構(gòu)筑物變形趨勢與振動特性的精細化定量分析。